三正弦定理、三余弦定理的應用
——以2023 年高考甲乙卷幾何題為例

云南師范大學數學學院(650500)何月 張勇

1 三余弦定理

三余弦定理(又稱最小角定理或者爪子定理):設點P為平面α上的一點,過點P的斜線在平面α上的射影為BO,BC為平面α上的任意直線,那么∠PBC,∠OBC,∠OBP三角的余弦關系為:cos ∠PBC=cos ∠OBC·cos ∠OBP即斜線與平面一條直線的夾角β的余弦值等于斜線與平面所成角γ的余弦值乘以射影與平面內直線夾角α的余弦值:cosβ=cosγ·cosα,如圖1 所示:

圖1

三余弦定理證明:如圖,過點P作BC的垂線交于點C,ΔPOB,ΔPCB,ΔOCB均為直角三角形,易知cosβ=cosγ·cosα,證畢.

三余弦定理解釋了線線角與線面角之間的大小關系,由定理可知,這三個角中,角β余弦值最小,其度數最大,等于另外兩個角的余弦值之積.斜線與平面所成角α是斜線與平面內所有直線所成的角中最小的角.

2 三正弦定理

三正弦定理(又稱最大角定理):如圖2 所示,設二面角M-AB-N的度數為γ,在平面M上有一條射線AC,它和棱AB所成的角為β,和平面N所成的角為α,則sinα=sinβ·sinγ.

圖2

三正弦定理證明與三正弦定理類似.

三正弦定理解釋了線面角與面面角的大小關系,由定理可知,α＜γ,所以二面角的半平面M內的任意一條直線與另一個半平面N所成的線面角不大于二面角,即二面角是線面角中最大的角.

3 三余弦定理的應用

例1(2023 年全國高考甲卷第11 題) 在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°,則ΔPBC的面積為()

解如圖3 所示,設P點在底面的射影為H,連接HC,設∠PCH=θ,∠ACH=α,且α∈ (0,π2),則∠HCD=45°-α,或∠HCD=45°+α,由余弦定理易知則根據三余弦定理可得:所以,所以,所以,或tanα=又因為,所以,從而,

圖3

圖4

圖5

評注在這道題需要計算ΔPBC的面積,又因為題目已知條件給出了BC和PC的長度,因此求∠PCB的正弦值是關鍵,該法分別利用了三次三余弦定理,首先利用三余弦定理列出關于線面角和地面線線角的二元一次方程組,然后再利用三余弦定理計算出∠PCB的正弦值,從而問題得以解決.

例2(2023 年高考甲卷第18 題) 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,A1到平面BCC1B1的距離為1.

(1)證明:AC=A1C;

(2)若直線AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

解(1) 略.(2) 取BB1的中點E,連接DE、A1E,過點A作A1D的平行線交C1C的延長線于點F,過點A作A1E的平行線交BB1的延長線于點G,連接AB1、B1F.由(1) 得A1D⊥BCC1B1,A1D=1 且點D為CC1中點,因為,A1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,所以,BC⊥平面ACC1A1,BC⊥C1C,又因為,D,E分別為C1C,BB1中點,所以,DE⊥CC1,故CC1⊥平面A1DE,所以A1E⊥B1B,由直線AA1與BB1距離為2 得:A1E=AG=2,從而易求得C1F=3,B1G=3,所以從而由三余弦定理可得,cos ∠AB1G=cos ∠AB1F·cos ∠FB1G,AB1與平面BCC1B1所成角∠AB1F的余弦值:因此,AB1與平面BCC1B1所成角∠AB1F的正弦值:

評注事實上該題計算出AB1和B1F的長度,又因為AF平行且等于A1D,所以AF=1,從而利用余弦定理即可求出AB1與平面BCC1B1所成角的余弦值,因此需要注意公式定理的合理利用,從而避免將問題的復雜化.

4 三正弦定理的應用

例3(2023 年全國乙卷理科數學第9 題)已知ΔABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,ΔABD為等邊三角形,若二面角C-AB-D為150°,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為()

解由ΔABC為等腰直角三角形、ΔABD為等邊三角形可知:若記O為線段AB中點,連接CO,DO,則可得二面角C-AB-D為∠COD=150°.設CA=a,則CB=CA=a,AB=AD=BD=

根據余弦定理可得:

故

由三角形全等,易知∠BCD=∠ACD,且∠ACB=90°,記CD與平面ABC線面角為φ,∠BCD=∠ACD=α,∠ACB=90°=β,二面角D-BC-A為γ,故利用二面角公式可得:再利用三正弦定理可得:

評注在本題主要利用了余弦定理、二面角公式以及三余弦定理,由此我們可知,在解題過程中需要注意公式或定理的結合應用.

5 總結

立體幾何中的位置關系是課標和高考要求重點考查的內容.在解決幾何對象的形狀、大小與位置關系的相關問題時,除可以用空間向量等方法來解決之外,很多立體幾何中的位置關系問題還可以用三正弦定理、三余弦定理解決,特別是對于空間夾角問題,其能夠實現線線角、線面角和面面角之間的相互轉化.