圖例在概率論教學中的應用

祝慧敏,趙天玉 (長江大學信息與數學學院,湖北 荊州 434023)

圖例在概率論教學中的應用

祝慧敏,趙天玉 (長江大學信息與數學學院,湖北 荊州 434023)

以蒙提霍爾悖論、事件間的關系和運算、正態分布、全概率公式等為例,具體闡述了教學過程中利用圖例講解概率論中的相關定義、性質和定理的教學方法,以幫助學生加強理解。實踐表明,該方法不僅能夠直觀地揭示相關概念之間的關系,而且有利于提高學生興趣,激發學生的思維,拓寬學生的解題思路,提高學生的解題能力。

概率論;圖例;蒙提霍爾悖論;事件的關系和運算;韋恩圖;正態分布;全概率公式

《概率論與數理統計》是我國高校的絕大部分工科、理科專業及管理類專業的一門重要的基礎課程[1-2],也是應用性極強的一門學科,不僅在各個領域中具有廣泛的應用,而且對人才素質的全面培養具有重要作用。進入21世紀之后,人們可以通過各種媒體獲得越來越多的統計信息,這些信息傳遞著政府部門的重要政策取向,沒有良好的數理統計知識就不可能很好地把握這些統計信息的特性,并善加運用。

概率論是對隨機現象統計規律演繹的研究,但在學習概率論的相關知識時,學生總是反應概念粗象,難以理解。圖例有著很好的直觀性,可以幫助學生加強理解。為此,筆者在概率論的教學過程中,提出了利用圖例講解概率論中的相關定義、性質和定理的教學方法?長江大學教學研究項目(JY2013026)。。

1 蒙提霍爾悖論

在概率論的第1節課,通過一個游戲來作開場白:先在黑板上畫三扇門,并在門上標上1、2、3,如圖1所示。然后對學生提出如下問題:這3扇門中其中有一扇門后面是車,另外2扇門后面是羊,假設猜中車就開走。現在請學生做選擇,如果學生猜1號門,然后告訴他們2、3號門中2號(或3號)門后面是羊,問學生是否要換3號(或2號)門?這個時候學生的反應是分成2種的,一部分是換,一部分是不換(答案是換)。

這個游戲的名字叫蒙提霍爾悖論,也稱為貝朗特箱子悖論。這個游戲非常有意思,即使老師把結果分析給學生之后,學生也會覺得不可思議,還會在課后進一步討論。學生的學習興趣一下子就被調動起來了。這個游戲就是通過在黑板上畫圖來表現的,非常直觀。

圖1 蒙提霍爾悖論示意圖

2 事件的關系和運算

其實在《概率論與數理統計》的大部分教材中,用集合論的關系和運算來刻畫事件的關系和運算時,是用韋恩圖來表示。

這一題很多教材上都有,關鍵是先分析出M、MN和MˉN之間的概率關系,然后再來解決后面的3個問題。書上是直接用集合的關系分析的,對于剛學概率的學生來說,這一步不太容易想到,如果用韋恩圖的話,三者之間的關系就非常清楚了。

圖2 事件關系韋恩圖

3 正態分布

正態分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution),是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布,在統計學的許多方面有著重大的影響力。單從正態分布的定義、概率密度上跟學生講正態分布,學生聽完之后對這個分布還不是很了解,根本不知道在日常生活中這個分布隨處可見。畫圖3所示的正態分布圖,告訴學生,只要符合“中間多,兩頭少”這種特點的都可認為是近似地服從正態分布的。如女生的身高,大多數是1.5m到1.7m,而低于1.5m和高于1.7m的占少數,符合上面這個圖形的特點,所以身高就近似地服從正態分布。還有體重、考試成績等等,都具有這個特點。

圖3 正態分布圖

4 全概率公式

在介紹全概率公式之前,要學習樣本空間劃分的概念。

定義1 設S為試驗E的樣本空間,為E的一組事件。若滿足:

則稱B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個劃分。

這個定義是比較抽象的,學生不太容易理解,但是在黑板上畫出相應的圖形,就很直觀,學生也能一下子理解,如圖4所示。從圖4可以很明顯的看到,樣本空間被B1,B2,B3,B4分成了4塊,即B1∪B2∪…∪Bn=S,滿足定義的第2個條件。這4塊彼此之間沒有交集,也就是說B1,B2,B3, B4互不相容,滿足定義的第1個條件。從而,圖中的B1,B2,B3,B4就是樣本空間的一個劃分。

此外,教材上還強調樣本空間的劃分不唯一,這個也可以從圖4表現出來,樣本空間S可以用圖4的幾條線分成這4塊,也可以用更多的線分成5塊、6塊,甚至更多塊,所以劃分是不唯一的。

在圖4中再作一個圓,設為事件A,如圖5所示。在圖5中,這個圓可以看成由哪幾部分組成呢?可以很明顯的看到,圓A與 B1,B2,B3,B4分別相交,記為AB1,AB2,AB3,AB4。即A=AB1∪AB2∪AB3∪AB4且AB1,AB2,AB3,AB4這4部分互不相容,由概率的有限可加性有:

圖4 樣本空間劃分圖

圖5中將樣本空間分成了4塊,以便于學生看得清楚。依次還可以推廣,假設樣本空間S被分成了B1,B2,…,Bn這n塊,由上面的推導可以推出:

5 結語

通過上面的研究發現,先通過一個小游戲將學生的學習積極性調動起來,在接下來的教學過程中,將一些晦澀難懂的定義或性質用圖形的方式在黑板上表現出來更直觀,并且讓學生更容易理解和接受,這樣就能讓各個專業的學生輕松、愉快的學好《概率論與數理統計》這門課程。

[1]李正耀,周德強.概率論與數理統計[M].北京:科學出版社,2009.

[2]魏宗舒.概率論與數理統計[M].北京:高等教育出版社,1983.

[編輯]張濤

N4;O211

A

16731409(2014)25012003

2014-02-14

祝慧敏(1979-),女,碩士,講師,現主要從事應用數學方面的教學與研究工作。