數學課程資源建設探索研究

倪新東 吳嘉琳 王海蘭

衡陽師范學院南岳學院數學與計算科學系 湖南衡陽 421200

數學課程的教學資源比較缺乏。好的教學資源是教師精心準備的,隨著課時以及需求不斷更新的。擁有好的課上課下教學資源,對于學生和老師而言在課上都會更加輕松。目前一些教學資源已經可以由教師通過雨課堂這種在課堂上與學生產生即時互動。借助一些開源工具,可以讓學生接觸到高質量的數學課程資源。教師可以通過多種方式來展示課程資源,從而豐富教學活動形式,提高教學質量,進而促進學生各方面的發展。

徐繼存等認為課程資源的開發與利用不能隨意而行,應遵循開放性原則、經濟性原則、針對性原則和個性原則。教師可以采用實踐——體驗、問題——探究和情境——陶冶等方式引入課程資源[1]。

王愛玲教授認為教師要開發數學課程資源,一要合理拓寬數學教材資源,用“活”教材;二要積極開發軟件和網絡資源;三要充分挖掘數學中的人力資源;四要整合學科綜合資源;五要善于利用學生生活中的數學資源[2]。其中第三點挖掘數學中的人力資源主要是以學生為中心。第四點整合學科綜合資源是將語文、英文、化學等各科知識綜合起來。

吳剛平等認為首先要解決課程資源建設中的三個問題:一是教材不是唯一的課程資源,二是教師是最重要的課程資源,三是課程資源的建設必須納入課程改革計劃[3]。

1 文字資源、實物資源、活動資源和信息化資源

根據物理特性和呈現方式,課程資源可分為文字資源、實物資源、活動資源和信息化資源。

1.1 文字資源

隨著社會經濟的發展,大部分的學生更希望遇到通俗易懂的教材,而不是一本關于這門科目的字典。所以推薦一些經典的紙質教材是非常有必要的。Gilbert Strang教授的《線性代數導論》可以配合對應的公開課的視頻使用。David C.Lay編寫的《線性代數及其應用》或對應的中文翻譯版本也是十分優秀的教材。另外有一些講義、書評、雜文等都可以作為文字資源使用。

1.2 實物資源

在講解立體幾何時可以利用的實物資源包括教室里的三面墻則剛好可以充當三個坐標平面。在講直線方程的時候,可以拿一根長長的棍子作為演示。在講直線方程的一般形式時,打開一本書,書脊剛好構成書封面形成的兩個平面的交線。可惜解析幾何中其他常見的曲面則沒有能夠買到的模型,只有圓柱體等中小學中常見模型。

1.3 活動資源

活動資源也是十分重要的。老師的某些言語可能無形之中影響了學生,造成學生的學習興趣下降。相反,如果多鼓勵學生,那么學生的積極性會變得更強。

1.4 信息化資源

信息化資源建設是有無限發展空間的,其包含的形式也非常多。

1.4.1 電子教材

學校購買的教材部分包含電子資源,這樣學生回家可以不帶紙質教材。如韓旭里、謝永欽主編的《概率論與數理統計》教材可以在書中的二維碼掃碼得到正版的電子資源。Dr.Gregory Hartman等教授編寫的著名的APEXCalculus。在線互動式的英文線性代數教材InteractiveLinearAlgebra,里面有一些可以交互的資源。Jim Hefferon教授的LinearAlgebra,與《線性代數應該這樣學》對應的Sergei Treil教授的LinearAlgebraDoneWrong內容也都十分豐富。

1.4.2 網易公開課、慕課等視頻形式

網易公開課中與數學公共課相關的視頻有麻省理工Gilbert Strang教授的《線性代數》,麻省理工Denis Auroux教授的《多變量微積分》。這些視頻教室里有學生在場也比較有代入感。

中國大學慕課國家精品課程中對應同濟大學第七版的高等數學有浙江大學蘇德礦教授的《微積分》。蘇教授的課程內容豐富,知識點講得特別詳細,對于學習難度比較大的同學有幫助,非常適合理工科的同學。

其他課程比如有可汗學院,但因為是英文的視頻,沒有字幕,所以學生使用起來比較困難。

1.4.3 傳統的辦公軟件及其與學習通、雨課堂的結合

使用傳統的辦公軟件制作課程資源是非常高效率的。學習通與雨課堂在近幾年線上教學與線上線下混合式教學中起到十分重要的作用。二者可以在教學的過程中與學生產生互動。雨課堂可以讓學生在教學過程中發彈幕來與教師進行交流。學習通在課后能夠為師生們提供方便。老師們可以掌握同學們的學習進度,查看作業和布置考試。

1.4.4 Geogebra等可視化演示

在解釋微積分的定義過程中,使用geogebra的課程資源動態地展現這個極限的過程是非常有意思的,學生的興趣也很好。這個軟件的優點包括開源免費,有接口支持自己二次開發,有其他作者已經制作好了的豐富的課堂資源,等等。

使用geogebra嵌入網頁可以制作出自己風格的網頁,積極開發軟件和網絡資源。因為是自己制作的網頁,可以離線使用,適用于網絡信號不穩定的時候。這與教室里的電腦可能不兼容自己制作的資源一樣,有時需要自己帶電腦去教室以確保教學教程正常開展以及達到設定的教學效果。在講解高等數學(下)空間解析幾何部分時可以把直線、平面以及很多類型的曲面都用geogebra嵌入網頁里展示。

與geogebra類似的還有desmos,幾何畫板等。Desmos與geogebra功能十分類似,但不具有二次開發的功能。而幾何畫板是付費軟件,使用起來不是很方便。

同樣用于可視化演示的還有blender、3dmax等三維軟件。其中blender是開源的,而且有比較多的教程。圖1是用blender展示求z=xy與x2+y2≤1所圍成的曲面的表面積時的三維動畫截圖。

圖1 求曲面表面積的動畫截圖

1.4.5 3Blue1Brown開發的制作視頻的工具及其視頻

3Blue1Brown賬號的作者Grant Sanderson老師基于Python開發的開源視頻動畫制作工具manim是一個非常有吸引力的工具。大量的學生能從其視頻中直觀地感覺到微積分、線性代數的本質。也有很多視頻創作者借助于manim做出了非常出色的數學知識視頻。不過manim軟件安裝使用起來有一些復雜。

1.4.6 LaTeX資源

使用LaTeX工具可以很方便地開發出優秀的課程資源。其制作的beamer功能上類似于PPT。其優點是穩定、跨平臺,不同設備使用起來效果一致,等等。LaTeX中包含的宏包可以讓老師方便地完成復雜形式的素材,比如借助siunitx宏包可以產生國際單位制中的符號,借助exam宏包可以制作試卷,借助tikz、pgfplots宏包可以畫出融入文本的各種圖形。網絡上也有很多制作好的素材,對此進行學習或者編輯可以方便得到自己想要的素材,并再次分享出去供別人使用。

1.4.7 使用asymptote等制作圖形

Asymptote一詞名為漸近線,在此特指這個繪圖工具。除了有非常豐富的案例用于學習,很多老師也用這些工具來繪圖。Samuel S.Watson教授在多元微積分中用asymptote所畫的圖也十分漂亮。在講解拉格朗日乘數法時,為了展示極值點處條件函數的梯度與目標函數的梯度是平行時,利用Inkscape制作了矢量圖[4]。

1.4.8 markdown等程序的使用

借助LaTeX相關的markdown可以方便地制作出含數學公式等豐富內容的課程資源。使用vscode中的插件還能生成html等易瀏覽的文件。在線上教學的時候,不太好使用板書的時候,可以用vscode寫markdown代替用鼠標手寫。MathJax則可以生成網頁上的公式,而且stackexchange上公式的動態展示就是用的這個JavaScript工具。

1.4.9 計算工具

一些計算工具可以推薦給學生,方便學生課下核對答案等。Wolfram Alpha求平方函數在0到1上的定積分可以通過輸入integrate x^2 from 0 to 1得到。

線性代數中的一些計算可以通過octave來實現。學生可以在課下時檢驗自己計算是否正確。老師也可以在課上已經講過一些題目的計算后,跳過一些類似的計算過程,由學生們課下推導,并用octave檢驗。

1.4.10 問答網站

還有一些數學類型的問答網站可以推薦給學生課下使用。中文社區的包括哆嗒數學網、博士論壇等。英文的問答網站有stackexchange下的mathoverflow與math.stackexchange。

1.4.11 自媒體

現在很多人會做自媒體來分享自己的知識,比如微博里浙江大學的蘇德礦教授的賬號礦爺課堂經常給學生答疑。南京大學的朱富海教授的公眾號會發布啟發學生的內容。北京大學周蘭珺個人公眾號會發布一些具有啟發性的物理與數學方面的問題,比如泰勒展開影響質點自由嗎?還有更多地分享題目、題型、試卷的自媒體。

2 數學課程資源建設以及數學課程資源探索

2.1 基本的教學資源

2.1.1 教學課件的制作

為了方便改寫與獲得較好的數學公式的展示效果,采用了LaTeX的beamer來制作教學課件。雖然傳統辦公軟件可用素材很多,但LaTeX可用的宏包也多,例如上面提到的tikz宏包用于繪圖。圖2就是一個使用tikz與pgfplogts宏包制作的圖形。

圖2 求陰影部分的面積

2.1.2 平時作業與測試的編寫

如果是編寫一個題目,可以使用tikz的standalone宏包。再截圖放到學習通里,這樣的效果比較好。如果是很多題目,則自定義一個模板類,這樣可以使用自己beamer講義中的資源。學校的試卷模板就寫過一個LaTeX版本的。

2.1.3 答案的制作

答案與測試的編寫都可以使用LaTeX中的exam宏包。宏包作者Philip S.Hirschhorn教授將答案可以調顏色高亮顯示是一個非常不錯的功能,很容易辨別題目與答案部分。

新版Word或WPS都很容易編輯公式了,但適配不同的電腦還是有很大的問題。

2.2 值得學習探索的教學資源

我們可能還會時不時遇見讓人眼前一亮的教學資源。雖然有些資源可能不是特別適合課堂教學,但是也可以給我們一些啟發。

2.2.1 獨特的視頻效果

北師大李老師在視頻網站上傳的關于高等代數等的視頻所呈現出來的效果是李老師站在玻璃的后面,用手指著玻璃上彩色簽字筆寫的知識點并講解。這種形式特別有意思,相信同學們學起來很有勁,這是一個讓人感動驚喜的實物資源與電子資源。

2.2.2 使用手動PPT

羅永浩先生在某場辯論上使用了手動PPT的方法,即拿著很多大紙板,上面寫著一些觀點和數據。它基本起到了一個PPT的作用。這種方式給了我很大啟發,我也偶爾使用,學生應該能有很深的印象。這是一個不太容易想到或實施的實物資源。

2.2.3 塞爾達講物理、圖尋學地理

借助年輕人感興趣的東西與學生交流,可能會事半功倍。我看到過利用塞爾達講解小船過河問題,利用圖尋找到街景中的地理要素并指出該地區位于哪里來學習地理。自己坐在很多釘子上解釋關于壓強的知識,這一系列很特別的教學視頻也給我們帶來啟發。

概率論中有一個經典的三羊問題,在課上講解三羊問題應該是非常常見的教學內容,但是讓學生們怎么參與進來,可能需要一些探索。現在有很多程序可以做到實時游玩,而且保證了可操作性、隨機性。我在線上上課的時候,就曾經讓同學體驗過,幾個同學學習都非常積極。

網易公開課《單變量微積分》的課里麻省理工教授在說到鏈式法則的時候,拿出了一條長鏈,相信很多同學對此會很感興趣。在講到解析幾何里的單葉雙曲面時,我總會以廣州塔為例,這也恰好是王愛玲教授所說的第五點——善于利用學生生活中的數學資源。

結語

筆者雖然已經做好了滿足基本教學需求的課件,也使用了inkscape等工具制作圖形形象化地解釋某些知識點。但對于學習成本比較高的利用manim制作視頻等需要大量的時間與熟練的技巧。暫時還只是搭建了運行環境,并未做出更多豐富的實用的教學視頻。