基于概率密度函數的織物染色侵入動力學分析

姜紹華, 梁帥童, 裴劉軍, 張紅娟, 王際平

(1.上海工程技術大學 紡織服裝學院, 上海 201620; 2.上海市紡織化學清潔生產工程技術研究中心, 上海 201620)

流體的動壓、界面效應和織物結構顯著影響織物的染色過程[1]。織物內部在任意時間和空間上的染料濃度的預測,是科學研究和實際生產中不可缺少的關鍵技術。此外,非水介質染色相關理論、工藝和配套技術發展迅速[2-4];但很多織物內部的染料濃度分析和評估僅取決于初始和最終狀態,且缺少必要的相界面信息,而相界面信息對于諸多非水介質染色體系至關重要,因此有必要開發一個包含織物結構信息和界面效應的模型來預測織物中的染料濃度。

織物的染色過程通常是染料與織物材料之間的物理、化學作用隨時間變化的連續過程,因此織物中的染料濃度是時間和位置的函數[5]。此外,織物在染色過程中自身的結構對其物理性質如密度、孔隙結構等有著較大影響,進而影響纖維與染液的液-固界面特性,如黏度、表面張力等,這些性質在織物內部流動和物質轉移過程中都起著至關重要的作用[6-7]。以棉織物染色過程中的染料轉移過程為例,染料分子溶于水中,經過水的流動與織物纖維接觸,染液在纖維表面形成擴散邊界層,進而染料分子通過擴散邊界層向纖維內部擴散[8]。

由于織物中纖維間孔隙尺度約為10-6m,因此纖維與染液之間的相互作用主要由毛細作用力主導[9],毛細作用廣義上是指固體與流體之間的界面相互作用產生于液體內部的凝聚,所以纖維間的染液流動以哈根-泊肅葉定律描述的毛細管效應為主[9]。隨著X射線顯微層析成像技術的發展,三維成像技術[10-11]已成為研究多孔介質中孔隙尺度過程的方法。應用先進的后處理程序和同步加速器顯微成像技術,研究人員可實時成像甚至慢速觀察流動過程,并從孔隙空間的界面提取相關的材料參數[12-13],如接觸角等。與其它天然多孔介質不同的是,纖維僅依靠摩擦形成了相對穩定的毛細管[14]。有研究人員使用纖維取向概率密度函數開發了基于毛細管假設的模型[15-16],結果表明:織物結構和毛細管流動半徑影響流速;同時,毛細管流動半徑取決于纖維半徑和纖維體積分數。

本文研究的目標是構建織物內部一維毛細管流速v(x,t)和染料質量濃度c(x,t)預測模型。基于這些模型,以C.I.活性紅195和棉織物為例,通過給出初始條件和邊界條件來驗證數值解,并討論了纖維體積分數、接觸角、表面張力和流體黏度的影響。

1 織物中的毛細管流動和濃度模型

基于纖維取向概率密度函數對織物的毛細管半徑建立數學模型,從而推導出毛細管流動模型和濃度模型。x代表織物坐標,x=0和x=L分別代表織物的起點和終點。

哈根-泊肅葉(Hagen-Poiseuille)方程是一種經典的描述由壓力驅動的毛細流動方程[17]:

(1)

式中:Q為體積流量, m3;t為時間, s;rc為平均毛細管流動半徑,取值為4.14×10-6m[18];μ為流體黏度,取值為8.9×10-4Pa·s[15];x為流動距離, m;∑p為流動總壓力,Pa,其計算公式為

∑p=pc+pd+pg

(2)

式中:pc為毛細管壓力, Pa;pd為動壓, Pa;pg為重力導致的靜壓, Pa。計算公式分別為:

(3)

(4)

pg=-xρg

(5)

將式(2)～(5)代入式(1)得到:

(6)

式中:γ為流體表面張力,取值為0.072 N/m[15];θ為接觸角[15],取值為0.7 rad;ρ為流體密度,取值為997 kg/m3;u為流體初始流速, m/s;g為重力加速度,取值為9.8 m/s2。

(7)

根據Washburn和Trabi的結果,當u=0時,得到式(7)的解析解[9,17]:

(8)

式中,L為織物總長,取值為0.1 m。

染液沿著由織物纖維形成的毛細管在織物中流動,基于纖維取向概率密度函數[16]給出平均毛細管流動半徑rc的計算公式:

(9)

(10)

流體內的染料質量濃度c(x,t)[19]為

(11)

式中:φfab為織物孔隙率,取值為0.812 9;v為染液流速, m/s;c為染料質量濃度, g/L;D為質量擴散系數, m2/s;Sdep為染料在纖維上的沉積速率,g/(L·s)。

2 織物表征和模型參數

2.1 織物表征

織物是纖維、空氣、水分的復合材料,然而在實際計算中,空氣和水分經常被忽略,一塊織物僅視為干纖維的集合。孔隙率φfab是式(11)的核心參數之一,它可用復雜的儀器測量,也可通過下式計算得到:

(12)

織物比表面積(Assa, 1/m)為

(13)

式中:df為纖維直徑[18], 取值為1.33×10-5m;lfb為纖維長度, 取值為0.01 m;N為纖維數量。

如前所述,纖維質量Mfb約等于織物質量Mfab,那么纖維數量為

N=Mfab/(ρfbVfb)

(14)

式中,Vfb為單根纖維體積, m3。

織物的厚度參照ISO 5840—1996《紡織品和紡織制品厚度的測定》,采用Y9141D型數字式織物測厚儀(寧波紡織儀器廠)測量。

2.2 擴散率和沉積率

流體中分子的質量擴散系數D由斯托克斯-愛因斯坦(Stokes-Einstein)方程[20]定義:

D=kbT/(6πμr)

(15)

式中:r為染料分子半徑[21],取值為10-10m;kb為斯特藩-玻爾茲曼(Stefan-Boltzmann)常數,取值為5.67×10-8W/(m2·K4);T為流體溫度,取值為313.15 K。

式(11)中的沉積速率Sdep可通過下式[22-23]估計:

Sdep=kφfabc

(16)

式中,k為沉積速率系數, 1/s,其計算公式為

k=ceEAssau。

式中:ce為纖維表面系數,取值為0.1[24];E為保留系數,取值為0.01[24]。

2.3 實驗驗證

使用YG87型毛效測試儀(寧波紡織儀器廠)進行實驗驗證。將寬度為2 cm的干燥純棉織物試樣垂直懸掛在毛效測試儀上,然后以極緩慢速度使試樣下降以達到準靜態過程,使式(7)和(10)中的u≈0。 毛效測試儀中裝有0.03 g/L的活性紅195溶液,其溫度維持在40 ℃。測試環境溫度為21 ℃,相對濕度為60%。本文研究使用了由Testmaterials B.V.測試中心生產的CN42標準白色棉織物。活性紅195染料由上海Adamas-Beta試劑有限公司提供。使用相機記錄了15 min的毛細流動過程,然后使用Datacolor 800分光測色儀(美國Datacolor公司)對樣品顏色進行了測量和比較。純棉織物樣品均使用了FOM 71 CLS滾筒洗衣機(瑞典伊萊克斯公司),采用ISO 5A洗滌程序進行3次預洗以避免內應力和雜質的影響,并放置在恒溫恒濕箱內在相對濕度為60%,溫度為25 ℃的條件下干燥、平衡備用。

2.4 邊界條件、初始條件和數值求解

在t=0時織物任何位置的毛細管流速v和染料質量濃度c均等于0,即v(x,0)=0,c(x,0)=0。入口處的初始質量濃度c(0,0)為0.03 g/L。計算時間間隔為0～900 s,即15 min。速度v(x,t)直接由式(10) 定義,同時Fries給出了u=0的解析解[22-25]。使用COMSOL 5.5 提供的一般形式邊界偏微分方程求解器求解式(11)的數值解[26]。

3 結果與討論

3.1 預測和實驗結果的比較

使用分光測色儀測量t=900 s時樣品織物的K/S值以表征染料質量濃度,對數據進行歸一化處理來消除顏色和質量濃度單位的差異。表1列出不同時刻織物中染液流動距離的模型預測值與實驗測得值及相對誤差。圖1示出預測值與實驗結果的流速和質量濃度對比。

圖1 預測值與實驗結果對比Fig.1 Comparison of predicted values and experimental results.(a) Flow rate comparison between predicted and experimental measurements; (b) Concentration comparison between predicted and experimental measurements

表1 模型誤差Tab.1 Model prediction error

由表1可知,數值模型預測值與實驗結果的誤差均在4%以內,模型精度較高,可較好地模擬不同時刻織物內染液的流動距離。從圖1可看出,實驗測得流動距離與模型計算所得流動距離的變化趨勢相同,誤差較小,在質量濃度預測方面,預測顏色與實際顏色變化趨勢相同,誤差較小。

3.2 織物中活性紅195質量濃度

圖2示出當t=10,60,120,300,900 s時活性紅195在x=0～L范圍的質量濃度分布。可以看出,質量濃度c隨著時間的增加而增加。在較早的階段,例如在t=10～120 s時,質量濃度分布c(x,t)比300 s和900 s更陡峭,意味著此時染色部分與未染色部分的分界線更為明晰。

圖2 不同時刻下織物不同位置的染料質量濃度分布Fig.2 Concentration distribution at different position under different moments

3.3 纖維體積分數的影響

圖3 纖維體積分數對v(x,t)的影響Fig.3 Effect of fiber volume fraction on v(x,t)

圖4 纖維體積分數對c(x,t)的影響Fig.4 Effect of fiber volume fraction on c(x,t)

3.4 接觸角θ的影響

圖5、6分別示出接觸角θ對流速v(x,t)和質量濃度c(x,t)的影響。其中θf值為0.7 rad。對于v(x,t),隨著θ的增加,織物內部的染液流速逐漸減小。當θ>π/2時,界面將形成向上凸出的液面。在這種情況下,不會發生滲吸過程,如θ=2.5θf結果所示。此外,在流動的初始階段,即當t=10 s和60 s時,在不同的x位置,接觸角越大,質量濃度c(x,t)越低。

圖5 接觸角θ對v(x,t)的影響Fig.5 Effect of contact angle θ on v(x,t)

圖6 接觸角θ對c(x,t)的影響Fig.6 Effect of contact angle θ on c(x,t)

3.5 表面張力γ的影響

本文研究比較了不同表面張力0.5γf、γf和2γf的計算結果。其中γf取值為0.072 N/m。圖7、8分別示出流體的表面張力對織物中染液流速和染料質量濃度的影響。可以看出,隨著表面張力的增加,織物中的染液流速增加。在流動的初始階段t=10 s 和60 s時,較大的表面張力會導致更高的質量濃度。到了t=300 s,0.5γf所對應的質量濃度逐漸超過了γf的計算結果。在最后t=600 s時,0.5γf對應的質量濃度已經完全超過γf。

圖7 表面張力γ對v(x,t)的影響Fig.7 Effect of surface tension γ on v(x,t)

圖8 表面張力γ對c(x,t)的影響Fig.8 Effect of surface tension γ on c(x,t)

3.6 黏度μ的影響

圖9、10分別示出黏度μ對質量濃度c(x,t)和流速v(x,t)的影響。可以看出,隨著黏度μ的增加,織物中的染料流速逐漸降低。在織物空間x∈(0,L)中,黏度μ越大,織物中的染液質量濃度越低。就時間t而言,當黏度較低時,織物中的染料質量濃度c(x,t)上升得更快。當流體黏度較大(μ=10μf)時,織物內的染液流速較慢,進而導致織物中的染料擴散也比較緩慢。

圖9 黏度μ對c(x,t)的影響Fig.9 Effect of viscosity μ on c(x,t)

圖10 黏度μ對v(x,t)的影響Fig.10 Effect of viscosity μ on v(x,t)

4 結 論