抓住關鍵點滲透模型意識

文|孫保華（特級教師）

數學模型是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，表征研究對象的主要特征和數量關系所形成的一種數學結構。小學數學課程中的數概念、關系、運算、圖形、數據等都直接源于現實生活，是對現實模型數學化的結果，而當這些數學對象被用于解決現實世界的問題時，又需要借助具體的模型表達實際意義。通過建立這種數學與現實世界的雙向聯系，學生可以形成初步的模型意識。考慮到小學生年齡特征和認知能力，模型意識的發展應以滲透的方式為主。如何來滲透模型意識呢？筆者結合自己的教學實踐，歸納總結了以下幾個滲透的關鍵點。

一、聯想拓展——一般性

數學模型是解決一類問題的基本數量關系結構。要讓學生體會數學模型的一般性特征，一方面要從具體、形象的實例或現實情境開始，通過多次的抽象、概括，建立數學模型；另一方面，也要通過思維發散和聯想加以拓展和推廣，賦予所教內容的“模型”意義。因此，教師在引領學生經歷模型的建構過程中，讓學生進行分析、比較、抽象和歸納等，逐步逼近數學模型的本質特征，在認知過程中建立起一種統攝性、符號化的“模型”載體，感悟數學模型的一般性。

例如，蘇教版五年級上冊《用字母表示數》的教學，教師首先從學生的生活入手創設情境并運用情境圖：買1 個排球60 元，買2 個排球要2×60 元，買3 個排球要3×60 元……買10 個排球要多少元？買100個排球呢？買a 個排球多少元？當學生得出了60a 元后，將情境圖去掉，讓學生用自己的語言表達60a 的含義，即60a 表示什么？可以表示買一個排球嗎？可以表示買10 個排球嗎？可以表示買100 個排球嗎？這里，學生在教師的追問中感受到“60a”這一模型的一般性。即60a 表示“單價×數量=總價”。當學生建構了數學模型之后，教師又引導學生運用結構化的思維，尋找類似的數量關系。“60a 還可以表示什么？”學生認為可以表示1 小時行的路程，也可以是10 小時行的路程……這里60a 還可以表示“速度×時間=路程”。教師適時引導學生理解這兩種模型的本質聯系，使學生結構化地掌握這兩種模型。因此，學生理解了“單價”表示“1 袋多少元”“1 噸多少元”等，“速度”表示“1小時行多少千米”“1 分鐘行多少米”等，“單價”“速度”都表示1 份數，“數量”“時間”都表示有這樣的幾份（份數），“總價”“路程”則表示一共有多少份（總數）。于是，“每份數×份數=總數”更上位的數學模型自然產生。借助這樣一個數學模型，賦予“每份數×份數=總數”更多的“模型”意義，引導學生進行聯想尋找生活原型。例如“工程隊每天修路120 米，共修了8天，一共修了多少米？”“春梅家庭農場一共有12 公頃土地，今年每公頃大約產糧9 噸，一共產糧多少噸？”等等。通過實際運用，“每份數×份數=總數”這一數學模型的一般性、包攝力和表征力才能彰顯出來，讓學生充分體驗到了數學模型的魅力。

二、多元表征——簡約化

在教學中，教師應該引導學生從日常生活或真實情境中發現問題和提出問題、建立數學模型，讓學生學會用數學符號表征數量關系和變化規律。數學模型的表征是學生個性化的解讀與理解，有助于學生對數學模型內涵的認知和清晰化，有利于模型的推廣。因此在數學建模過程中，教師應不失時機地引導學生嘗試用符號語言建構和表征模型，充分體現數學模型的簡約化。

例如，蘇教版四年級下冊《乘法分配律》的教學。學生前期例舉了各種類型的例子來證明乘法分配律的可靠性。如何簡潔地表示出乘法分配律，于是教師設計了“你能不能用一個式子表示這一運算律？”這樣的問題引導學生思考。學生通過探索認為可以用“（幾+幾）×幾=幾×幾+幾×幾”來表示這一運算律。但有學生認為這樣的表達不夠清楚和簡潔，用幾來表示，可以是任何數，這樣寫體現不出左邊和右邊的聯系，認為可以改成“（□+△）×○=□×○+△×○”來表示這一運算律。教師及時讓學生說一說這樣表示的理由，因為□代表括號里的第一個加數，△代表第二個加數，○代表括號外面的乘數，可以寫成括號里的兩個數都和括號外的數乘一次，再相加。最后有學生認為這樣表示還不夠簡潔，又提出了用字母表示的方法“（a+b）×c=a×c+b×c”，用a 和b 代表括號里的兩個加數，c 代表括號外面的乘數。教師設計了“你更喜歡哪一種”這一問題讓學生來評價這三種方法，讓學生體驗到用字母來表征乘法分配律更簡潔，更容易書寫。鼓勵學生用字母表達所發現的運算律，使學生意識到乘法分配律的一般性，并經歷體驗由文字表達到圖形表達再到符號表達的轉化過程。讓學生經歷用字母表達運算律的學習過程，不僅培養了學生的符號意識，也讓學生感受到了數學模型表征的簡約化。

三、適度變式——結構化

數學模型的共同點都是由原型結構抽象出數學結構。建立模型的過程，本質上就是“數學化”的過程，在學習中獲得某種帶有“模型”意義的數學結構的過程。因此在教學中，教師要引導學生對已建立的數學模型進行適度變式，結合解決實際問題的教學，設計“多題一解”和“一題多變”的練習，有助于學生感悟模型間的聯系，強化對模型的結構認知，體會數學結構的整體性。

1.多題一解

（1）水果超市的蘋果比香蕉多200 千克，賣出的蘋果是賣出香蕉的2 倍，這時蘋果和香蕉都還剩100千克，賣出香蕉多少千克？

（2）水果超市的蘋果比香蕉多200 千克，賣出的蘋果是賣出香蕉的2 倍，這時蘋果還剩100 千克，香蕉還剩150 千克，賣出香蕉多少千克？

（3）水果超市的蘋果比香蕉多200 千克，賣出的蘋果是賣出香蕉的2 倍，這時蘋果還剩150 千克，香蕉還剩100 千克，賣出香蕉多少千克？

學生匯報：設賣出香蕉x 千克，賣出的蘋果2x 千克。（1）（2x+100）－（x+100）=200；（2）（2x+100）－（x+150）=200；（3）（2x+150）－（x+100）=200。發現學生不約而同地都選擇了方程，因為這三道題的數量關系是一致的，都是“蘋果的質量－香蕉的質量=200 千克”，這樣列方程就使問題解決變得很簡單。不管條件怎么變化，只要數量關系（數學模型）不變，方程的框架就不變。

2.一題多變

（1）一輛汽車從甲地到乙地，共行了9 小時，前4小時每小時行85 千米，后5 小時每小時行105 千米，甲地到乙地一共有多少千米？

（2）鴻燕服裝公司要生產一批襯衫，前3 天每天做105 件，后4 天每天做120件，一共做了多少件？

（3）工廠要購買一些煤，第一批運進了8 噸，每噸售價800 元，第二批運進了4 噸，每噸售價700 元，兩批煤共需多少元？

三個實際問題雖然情節不同，但數量關系（數學模型）是相同的，都是求“兩積之和”。學生通過這樣的情境變換訓練，多角度分析、比較看清了這些實際問題的本質，都具有相同的數學結構，掌握不變的數量關系（數學模型），就能以“不變”應“萬變”，有助于學生體會不同問題中所蘊含的相同本質，感悟原型間的聯系，感受數量關系（數學結構）的魅力。

四、經歷演繹——應用性

人的認識過程是一個由感性認識上升到理性認識、再由理性認識回到實踐的循環往復、螺旋上升的過程。數學模型意識的滲透應充分關注模型的具體應用，要引導學生從具體的問題抽象提煉出相應的數學模型，再從形式化的數學模型出發，將數學模型還原為具體的數學直觀或可以感觸的數學現實，使已經構建的數學模型不斷得到豐富。讓學生經歷演繹的過程來解決實際問題，深刻理解數學的包容性和應用性，進一步提升數學應用能力，同時有助于加深學生對模型的理解，增強其應用數學模型的意識，體會模型的價值。

例如，針對蘇教版四年級下冊《三角形的三邊關系》的教學，教師設計了基礎性、拓展性、綜合性三個層次的練習。

1.基礎性應用

下面每組題中的3 條線段能圍成三角形嗎？（單位：厘米）

（1）4，10，6；（2）9，8，7；

（3）4，10，5；（4）6，7，10。

通過出示四組數據的線段，讓學生判斷能否圍成三角形并做出合理的解釋，對三角形三邊關系的特征進行一個基礎性的鞏固與應用。在這里大部分學生都能準確進行判斷，部分學生從中體會到三角形任意兩邊之和大于第三邊，其實只要最短兩條邊之和大于第三邊就可以，同時推理能力也得到進一步的提升。

2.拓展性應用

已知兩條線段的長度分別是4 厘米和9 厘米，尋找第三邊。

（1）另有長度分別為5 厘米、6 厘米、7 厘米、13厘米的線段，其中能夠與前兩條線段組成三角形的線段有哪幾條？（學生獨立思考，小組交流結果）

（2）第三條線段還可以是哪些長度（取整厘米數）？它最長是多少厘米？最短是多少厘米？（小組合作找出第三條邊的所有可能，說說你是怎么想的）

本題需要逆向思考，如果教師一下子就把題目完整地拋出來，學生解題存在一定的困難。所以教師把問題分為兩個小問題，通過第一個問題的鋪墊，給學生作為思考的階梯，利用已有的知識（三角形任意兩邊之和大于第三邊）進行演繹推理選取合適的第三條邊，長度可以是6 厘米和7 厘米；第二個問題，學生除了對第一個層次中得出的兩短邊之和大于第三邊的體會更加深刻外，還發現與要保證兩邊之和有關系，那么兩邊之差也同樣存在關系，三角形中兩邊之差必定小于第三邊，合情推理與演繹推理相互融合。所以有部分學生得出了兩個關系式即：4+9>第三邊邊長，9-4<第三邊邊長，并由這兩個關系式輕松推導出第三條線段長度的取值范圍：5 厘米<第三條線段的長度<13 厘米，即第三條線段的長度可以是6、7、8、9、10、11、12 厘米，其中最長是12 厘米，最短是6 厘米。

3.綜合性應用

從學校到少年宮有幾條路線？走哪一條路最近？

該練習的設計，將數學模型還原成具體的實際問題，讓學生在解決問題的過程中加深對數學模型的理解。一方面讓學生體會到通過探究得到的結論不僅可以解決數學上的問題，而且也能解決生活中的問題，使學生獲得濃厚的學習興趣與成就感，也為進一步滲透與培養模型意識打下良好的基礎。另一方面，學生通過已有的知識（三角形的三邊關系），又推出了一個新的結論：兩點間線段最短。兩個知識點得到了很好的融合。

數學模型不僅為數學表達和交流提供有效途徑，也為解決現實問題提供重要工具，可以幫助學生準確、清晰地認識和理解數學的意義。我們要多措并舉，以發展學生的模型意識為契機，滲透到知識的形成過程中，滲透到知識的應用中，滲透到學生思維過程中，從而更好地培養學生用數學的眼光來觀察現實世界。