解三角形問題中“爪”型結構的解題策略研究

楊媛媛 田萬華

(湖北省赤壁市第一中學)

解三角形是高考中的重要考查內容,是考查學生思維能力、核心素養的重要載體,其中“爪”型結構的解三角形問題屢見不鮮,如中線、角平分線、高線等.下面通過對2023年高考部分解三角形真題的分析,總結這類問題的常見解題策略.

類型一、解三角形中有關高線問題

【例題1】(2023·新課標Ⅰ卷·17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(Ⅰ)求sinA;

(Ⅱ)設AB=5,求AB邊上的高.

(Ⅱ)思路1.結合三角函數求解

如圖,過點C作CD⊥AB于點D.

∴CD=BCsinB=6.

思路2.結合等面積法求解

思路3.結合兩個直角三角形求解

如圖,過點C作CD⊥AB于點D.

設CD=h.

∴h=6,即CD=6.

【歸納總結】

類型二、解三角形中有關中線問題

(Ⅱ)若b2+c2=8,求b,c.

【解析】(Ⅱ)思路1.借助向量工具

如圖,

∴4=b2+c2+2bccos∠BAC.

∵sin2∠BAC+cos2∠BAC=1,

∴bc=4,∴b=c=2.

思路2.利用背靠背角的互補關系

如上圖,∵cos∠ADB+cos∠ADC=0,

∴b2+c2=2(AD2+BD2),

∴sin∠ADB=1,

∴由勾股定理,得b=c=2.

【歸納總結】

類型三、解三角形中有關角平分線問題

【解析】思路1.等面積法

如圖,

令BC=a,AC=b,AB=c,

a2=b2+c2-2bccos∠BAC,

∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,

∴AD=2.

思路2.向量法

如上圖,在△ABC中,

∴AD=2.

【歸納總結】

類型四、其他“爪”型問題

【例題4】(2023·全國乙卷理·18)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.

(Ⅰ)求sin∠ABC;

(Ⅱ)若D為BC上一點,且∠BAD=90°,求△ADC的面積.

【分析】本題在第(Ⅰ)問的基礎上非常容易,但如果拋開第(Ⅰ)問,第(Ⅱ)問的解法就非常多,而且體現了爪型問題的常見解法.

(Ⅱ)思路1：如圖,

∵BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos∠BAC,

在Rt△ABD中,

∵∠BAC=120°,

∴∠DAC=30°,

思路2：∵∠BAC=120°,∴∠DAC=30°.

∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,

思路3：∵∠BAC=120°,

∵sin∠ADB=sin∠ADC,

∴BD=4CD,

思路5：過C作AB的垂線,交BA的延長線于點E,

∵AC=1,∠CAE=60°,

∵AD∥CE,

∵∠DAC=30°,

【歸納總結】