數形結合在初中數學函數問題中的妙用

張西欣

(日照市新營中學,山東 日照 276800)

數形結合在初中數學函數問題中發揮著重要作用,特別是在求實數根和取值范圍方面,通過運用數形結合的方法,學生可以將抽象的數學問題轉化為具體的圖形問題,并通過觀察圖形的特性解決問題[1].數形結合在初中數學函數問題中的妙用不僅能幫助學生解決問題,還能夠提高學生對數學的興趣.數形結合為學生提供了更加直觀、形象的思維方式,使學生能夠更好地理解和掌握數學知識[2].

1 求實數根類型的函數問題

在求實數根的問題中,數形結合能夠幫助學生直觀地理解方程與函數圖象之間的關系.例如,在解決方程實數根問題時,可將方程實數根問題轉化為函數圖象的交點問題,通過觀察圖象與圖象相交的點得到方程的實數根.在這類問題中,常常會出現“是否有實數根”“有幾個實數根”“實數根的取值”等問題[3].數形結合通過將抽象的方程問題與具體的圖形聯系起來,不僅能夠提高學生的空間思維能力,還能使學生更加深入地理解抽象概念.

例1 已知x1、x2、x3為方程x3+3x2-9x-4=0的三個實數根,則下列結論一定正確的是( ).

A.x1x2x3<0 B.x1+x2-x3>0

C.x1-x2-x3>0 D.x1+x2+x3<0

圖2 等式左右兩側函數

圖3 直線與拋物線相交

A.0 B.1 C.2 D.大于2

點評本題可以轉化為兩個函數圖象求交點的問題,與例1類似.巧妙之處在于化簡之后發現,含變量部分的系數和次冪均相等,這意味著整理后的兩個函數圖象“僅存在上下平移”.需要注意的是,只有“上下平移”的時候,兩函數圖象才無交點,存在其他形式平移時,該推理不成立.

2 求取值范圍類型的函數問題

在求取值范圍的問題中,數形結合可以幫助學生直觀地理解函數的定義域和值域.通過將函數的定義域和值域與函數圖象對應起來,學生可以通過觀察圖形的特性來確定函數的取值范圍[4].這種直觀的方法不僅能夠提高學生對函數性質的認識,還能夠培養學生的幾何直覺和圖象處理能力.通過利用函數圖象表示函數的變化規律,學生可以理解函數的增減性、極值和最值等性質.

例3拋物線y=-x2+bx+3的對稱軸為直線x=-1,若關于x的一元二次方程-x2+bx+3-t=0(t為實數),在-2

A.-12

C.-12

解析方法1:因為拋物線y=-x2+bx+3的對稱軸為直線x=-1,所以b=-2,y=-x2-2x+3;此時一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實數根可以看作y=-x2-2x+3與函數y=t的圖象有交點,如3所示.

因為方程在-2

方法2:因為拋物線y=-x2+bx+3的對稱軸為直線x=-1,所以b=-2,此時一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實數根可以分情況討論,設f(x)=-x2-2x+3-t,如圖4所示.

圖4 一元二次函數有實數解的3種情況

(1)有兩個根:即f(-1)>0;f(-2)<0;f(3)<0,此時有4-t>0;3-t<0;-12-t<0;

(2)和(3)有一個根:f(-2)·f(3)<0,此時(3-t)(-12-t)<0.

從而可得-12

點評 本題根據給出的對稱軸求出函數解析式為y=-x2-2x+3,可將一元二次方程-x2+bx+3-t=0的實數根可以看作y=-x2-2x+3與函數y=t圖象的交點,再由-2

例4已知拋物線C:y=x2-2bx+c.

(1)若拋物線C的頂點坐標為 (1,-3),求b、c的值;

(2)當c=b+2,0≤x≤2時,拋物線C的最小值是-4,求b的值;

(3)當c=b2+1,3≤x≤m時,x2-2bx+c≤x-2恒成立,求m的最大值.

解析(1)因為拋物線C的頂點坐標為 (1,-3),所以y=(x-1)2-3=x2-2x-2,所以-2b=-2,b=1,c=-2.

(3)當c=b2+1 時,拋物線C的解析式為y=(x-b)2+1,如圖5所示,拋物線C的頂點在直線y=1上移動:

圖5 拋物線與直線

當3≤x≤m時,x2-2bx+c≤x-2恒成立,則可知拋物線C的頂點坐標為 (3,1),設拋物線C與直線y=x-2除頂點外的另一個交點為M,此時點M的橫坐標即為m的最大值.

點評本題第(1)問根據已知點的坐標代入解析式確定系數即可;第(2)問先根據已知條件確定拋物線的對稱軸,再分段討論拋物線在各段上取最小值時b的值;第(3)問需運用數形結合的思想,通過拋物線圖象的移動范圍確定.

總之,數形結合在初中數學函數題中的妙用是不可忽視的.數形結合不僅可以幫助學生直觀地理解抽象概念和解決問題,還能夠激發學生對數學的興趣和求知欲[5].因此在今后的教學中,教師應注重數形結合的應用,通過提供具體的圖形來引導學生解決數學問題,激發學生對數學的興趣,培養學生的幾何直觀.