具有高階色散和立方-五次非線性項的薛定諤方程的孤立波的保持性

高曉涵 李 威

(北京化工大學 數理學院, 北京 100029)

引 言

光纖信號傳輸在日常生活中有著廣泛的應用,其傳輸特性主要利用非線性薛定諤方程(NLSE)[1-3]進行研究。 由于非線性薛定諤方程的光孤立波解能夠長距離傳播而不會衰減和改變形狀,因此光孤立波的存在性一直是研究的熱點問題。

Shao 等[4]比較了基于拆分型傅里葉技術的各種方案來求解NLSE。 Asvial 等[5]提出了一種新的方法來檢測和分析光纖信號脈沖內發生的脈沖拓寬、振蕩和光譜演化的現象。 Palacios 等[6]對于光纖信號的脈沖寬度低于10 fs 的短波脈沖,給出了高階色散和立方-五次非線性項的NLSE

式中,E(z,t)是電場的慢變包絡,β2是群速度色散的參數,β3和β4分別是三階和四階色散參數,γ1和γ2分別是三次和五次非線性項系數。 之后學者們通過雅可比橢圓函數法、改進的Fan-子方程法、Exp函數法、首次積分法等各種方法得到了該方程的精確解[7-9]。

事實上,信號傳播不可能存在于理想環境中,光纖信號在實際傳播過程中多少會受到外部影響。 在擾動干預時,很多非線性問題中可觀測到混沌現象。Saha[10]研究了外部周期擾動Mew-Burgers 方程的分岔行為。 Li[11]研究了準周期擾動下的Sin-Gordon 方程,發現了同宿軌破裂產生的混沌。 Zhao等[12]利用Melnikov 方法和數值模擬研究了周期擾動和阻尼擾動下的NLSE。

周期擾動和阻尼擾動是現實中常見的兩種干擾模式,光孤子在傳播過程中勢必也會受到此類模式干擾,因此光孤子在外部干擾下進行傳播是否發生混沌現象是一個具有研究意義的課題。

受周期擾動和阻尼擾動的高階色散和立方-五次非線性項的NLSE 為

式中,f(z,t) =α1cosμ(v0z-vt),參數α1,μ,α2＞0 分別為周期擾動幅度及頻率擾動和阻尼擾動幅度,本文將分析方程(2)混沌發生的可能性,并給出孤立波的保持區域。

1 模型簡化

假設方程(1)的行波解為

2 未擾動系統與擾動系統

2.1 未擾動系統

當ε=0 時,方程(6)為

方程(7)具有Hamilton 函數

H(?,y) =y2-c2?2-c4?4-c6?6=h

不妨設c2＞0,根據c4、c6、Δ=c24 -3c2c6的值將平面(c4,c6)分為4 個區域(圖1(a)),對應的平衡點類型如下。

圖1 (c4,c6)參數平面,區域Ⅲ所對應相圖和|E|的三維波形圖Fig.1 The parameter plane of (c4,c6), the phase portrait for region Ⅲand the three-dimensional waveform of |E|

區域Ⅰc4＞0,c6＞0 或c24 ＜3c2c6且c4＜0,平衡點及其類型:O(0,0)鞍點。

左邊的軌線為

其中ξ∈( -∞,+∞),對應于方程(1)的一條孤立波解,圖1(b)和(c)是相應的相圖和波形圖。

2.2 擾動系統

當ε≠0 時,選用Melnikov 方法測量Poincaré 截面上同宿軌的穩定流形與不穩定流形之間的距離。將方程(6)簡寫為

由Melnikov 理論可知,若M(ξ0)存在不依賴于ξ的簡單零點,即存在ξ0使得M(ξ0) =0 且M′(ξ0)≠0,則穩定流形和不穩定流形會橫截相交,這表示系統會產生Smale 馬蹄意義下的混沌。

定理 如果α1,α2滿足

方程(6)可能產生Smale 馬蹄意義下的混沌。

該定理不僅給出了擾動系統預測混沌的參數關系式(14),而且通過設置關系式(14)的互補區域,即|α1/α2|≤|A/B|,來保持孤立波的持久穩定性。

3 數值仿真

本文選取參數v=v0=ω0=α1=α2=μ=1,以二階色散參數β2與頻率ω之間的關聯性及三次非線性項參數γ1與頻率ω之間的關聯性為例,可類似討論其他參數如三階、四階色散項及五次非線性項與頻率ω之間的關系。

3.1 二階色散參數β2 與頻率ω 之間的關聯性

選取β3=β4=γ1=γ2=1,ε=0.5,根據條件(14)給出(ω,β2)的平面混沌閾值圖,如圖2(a)所示,其中紅色區域滿足條件(14),藍色是其互補區域。 選擇ω= 0.98,由定理可知β2選擇范圍在(1.7,16.1)時,平面混沌閾值圖的紅色區域系統可能處于混沌狀態。 根據系統隨著參數β2變化的倍周期分岔圖(圖2(b))和最大Lyapunov 指數圖(圖2(c)),可知該系統經歷了周期加倍分岔到混沌后又最終回歸穩定狀態,并給出了系統在混沌區域的Poincaré 截面圖(圖2(d))以及對應的三維波形圖(圖2(e)、(f)),其中選取β2=2.5。

圖2 (ω,β2)的混沌閾值,方程(6)的周期倍分岔, 最大Lyapunov 指數, Poincaré 截面圖及方程(2)的三維波形圖Fig.2 Chaotic threshold of (ω,β2), period doubling bifurcation, maximum Lyapunov exponent, Poincaré section of equation (6) and the three-dimensional waveform of equation (2)

3.2 三次非線性項參數γ1 與頻率ω 之間的關聯性

選取β2=β3=β4=γ2=1,ω=1.2,根據條件(14)給出(ω,γ1)的平面混沌閾值圖,如圖3(a)所示,其中紅色區域滿足條件(14),藍色是其互補區域。 選擇ω=1.2,由定理可知當γ1選擇范圍在( -0.7,1.5)時在平面混沌閾值圖的紅色區域系統可能處于混沌狀態。 根據系統隨著參數γ1變化的倍周期分岔圖(圖3(b))和最大Lyapunov 指數圖(圖3(c)),可知該系統經歷了周期加倍分岔進入混沌后回歸穩定狀態,之后又經歷周期加倍分岔迅速進入混沌最終回歸穩定狀態,并給出了系統在混沌區域的Poincaré 截面圖(圖3(d))以及對應的三維波形圖(圖3(e)、(f)),其中選取γ1=1。

圖3 (ω,γ1)的混沌閾值, 方程(6)的周期倍分岔, 最大Lyapunov 指數, Poincaré 截面圖和方程(2)的三維波形圖Fig.3 Chaotic threshold of (ω,γ1), period doubling bifurcation, maximum Lyapunov exponent, Poincaré section of equation (6)and the three-dimensional waveform of equation (2)

通過圖2 和圖3 的混沌閾值圖、分岔圖和最大Lyapunov 指數圖可以發現,系統在外界周期擾動和阻尼擾動下很容易趨向于混沌狀態。 事實上,在光纖通訊系統的傳輸中,方程各參數都會直接影響其傳輸特性。 根據Melnikov 理論得到了一種保持孤立波的參數區域,即系統的參數滿足|α1/α2|≤|A/B|,可使系統避開混沌區域,光纖信號得以穩定傳輸。

4 結束語

本文對周期擾動和阻尼擾動下的NLSE 進行動態分析,觀測到了該系統產生的復雜而有趣的動力學行為。 首先對未擾動系統進行了定性分析,給出了平衡點分布圖,然后針對于孤立波的存在區域Ⅲ進行了重點研究,利用Melnikov 方法分析了擾動后同宿軌的穩定流形和不穩定流形的距離,給出了系統可能發生混沌的參數條件。 最后通過數值模擬得到了參數分岔圖、最大Lyapunov 指數圖、Poincaré 截面圖和三維波形圖,進一步驗證了系統的混沌行為,從而得到了孤立波在長距離傳播中保持穩定的參數區域。

未來我們將嘗試利用高階Melnikov 理論分析擾動高階非線性薛定諤方程,進一步探討孤立波在擾動影響下的保持性。