繩牽引腰部康復(fù)訓(xùn)練并聯(lián)機(jī)器人的建模和控制仿真

江銘煜 李宏勝 王宇奇

摘要：隨著腰部康復(fù)需求增加，為了給患者提供更有效的治療服務(wù)，本文設(shè)計(jì)了一種適用于腰部康復(fù)訓(xùn)練的四繩三自由度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人?；谒O(shè)計(jì)的機(jī)器人結(jié)構(gòu)，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型；針對(duì)牽引繩拉力問(wèn)題，將機(jī)器人繩拉力分解為有效驅(qū)動(dòng)力和內(nèi)力，從而確保機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足動(dòng)力學(xué)方程；針對(duì)康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人需要對(duì)位置和力同時(shí)控制的要求，設(shè)計(jì)了一種力/位混合控制律，并以典型人體腰部康復(fù)訓(xùn)練軌跡為實(shí)例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的機(jī)械結(jié)構(gòu)可行，所設(shè)計(jì)的控制律正確、可靠，力/位控制精度良好。

關(guān)鍵詞：繩牽引并聯(lián)機(jī)器人；康復(fù)訓(xùn)練；數(shù)學(xué)建模；力/位混合控制；仿真分析

中圖分類(lèi)號(hào)：TP242 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.11.008

文章編號(hào)：1006-0316 （2023） 11-0053-09

Modeling and Control Simulation of a Cable-Driven Waist Rehabilitation Parallel Robot

JIANG Mingyu，LI Hongsheng，WANG Yuqi

（ School of Automation， Nanjing Institute of Technology， Nanjing 211167， China ）

Abstract：With the increasing demand for waist rehabilitation， in order to provide more effective treatment services for patients， a four-cable three-degree-of-freedom cable-driven parallel robot for waist rehabilitation training is designed in this paper. Based on the designed robot structure， kinematics and dynamics models are established. To solve the problem of traction cable tension， the robot cable tension is decomposed into effective driving force and internal force， to ensure that the robot meets the dynamic equation during motion. A force-position hybrid control law is designed to meet the requirements of simultaneous control of position and force for rehabilitation training robots， and the simulation experiment based on a typical human waist rehabilitation training trajectory is conducted. The results indicate that the designed mechanical structure is feasible， the designed control law is correct and reliable， and the force-position control accuracy is good.

Key words：cable-driven parallel robot； rehabilitation training；mathematical modeling；force-position control；simulation analysis

隨著機(jī)器人技術(shù)的蓬勃發(fā)展，機(jī)器人與康復(fù)醫(yī)療的結(jié)合成為當(dāng)今社會(huì)的研究熱點(diǎn)[1]，由此衍生出了康復(fù)機(jī)器人?？祻?fù)機(jī)器人通過(guò)重復(fù)性牽伸或重復(fù)性主動(dòng)式訓(xùn)練來(lái)改善患者肌肉的運(yùn)動(dòng)功能，其有效性在康復(fù)治療實(shí)驗(yàn)中得到了證明[2]。與傳統(tǒng)的康復(fù)機(jī)器人相比，繩牽引康復(fù)訓(xùn)練并聯(lián)機(jī)器人具有模塊化程度高、柔順性好、易拆裝、工作空間大等優(yōu)點(diǎn)[3-4]，可適用于不同體型的患者，使康復(fù)訓(xùn)練方法更具多樣化和個(gè)性化[5]。

繩牽引康復(fù)訓(xùn)練并聯(lián)機(jī)器人作為一種新型康復(fù)機(jī)器人被國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了深入研究，并取得了一些成果。Niyetkaliyev等[6]設(shè)計(jì)了一種新型五自由度混聯(lián)式機(jī)器人，采用剛性連桿和繩索結(jié)合的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了人體關(guān)節(jié)與外骨骼關(guān)節(jié)的匹配，仿真結(jié)果證明了其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的有效性。Lamine等[7]設(shè)計(jì)了一種繩牽引腿部康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人，并針對(duì)繩系結(jié)構(gòu)提出了一種繩拉力優(yōu)化算法，該算法使得不同身高的患者訓(xùn)練時(shí)所需的繩拉力可以達(dá)到最小值，結(jié)果表明該康復(fù)機(jī)器人具有良好的普適性。Cafolla等[8]設(shè)計(jì)了一種可家用的繩牽引上下肢康復(fù)機(jī)器人CUBE，在樣機(jī)控制實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)出良好的舒適性。Ferdaws Ennaiem等[9]設(shè)計(jì)了一種用于上肢康復(fù)的平面三自由度并聯(lián)機(jī)器人，并設(shè)計(jì)了一種扭矩控制器，仿真實(shí)驗(yàn)表明該控制器可以有效減小跟蹤誤差。李想[10]設(shè)計(jì)了一種用于髖關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練的繩牽引并聯(lián)機(jī)器人，采用了力位混合控制策略和微分先行PID控制算法，并加入了安全監(jiān)控控制算法，通過(guò)仿真結(jié)果證明了所設(shè)計(jì)的控制方法具有良好的魯棒性。Zhao等[11]采用繩牽引機(jī)器人和外骨骼結(jié)合的方案，設(shè)計(jì)了一種雙套索運(yùn)動(dòng)傳輸結(jié)構(gòu)，提出了一種基于模糊集理論的最優(yōu)自適應(yīng)魯棒控制方法，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其良好的跟蹤特性。Xie等[12]設(shè)計(jì)了一種手臂和手康復(fù)機(jī)器人，采用了外骨骼驅(qū)動(dòng)手指關(guān)節(jié)、繩牽引手臂的結(jié)構(gòu)，并提出了一種基于肌電圖的導(dǎo)納控制器，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明其相比于基于力傳感器的導(dǎo)納控制具有更好的平滑性。徐子薇等[13]設(shè)計(jì)了一種繩牽引柔性外骨骼康復(fù)訓(xùn)練裝置，并在機(jī)器人的導(dǎo)納控制器中加入了預(yù)測(cè)模型，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明預(yù)測(cè)模型可以實(shí)現(xiàn)步態(tài)糾正所需力的跟蹤，并靈活調(diào)整輔助頻率。

上述參考文獻(xiàn)研究成果大多忽略了繩索彈性動(dòng)力學(xué)模型，為了保證腰部繩牽引康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制的準(zhǔn)確性和安全性，本文建立了其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和包含繩索彈性的動(dòng)力學(xué)模型，并采用力/位混合控制策略。通過(guò)仿真分析驗(yàn)證了所建立的數(shù)學(xué)模型的正確性及所設(shè)計(jì)控制策略的有效性。

1 機(jī)器人系統(tǒng)描述

人體腰部運(yùn)動(dòng)通常為前屈后伸、左右側(cè)移和轉(zhuǎn)動(dòng)[14]，分別對(duì)應(yīng)在機(jī)器人工作空間水平面的平移運(yùn)動(dòng)和繞垂直軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，共計(jì)3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)形式。結(jié)合人體腰部結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)特性所設(shè)計(jì)的繩牽引康復(fù)訓(xùn)練并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī)平臺(tái)如圖1所示。

其結(jié)構(gòu)系統(tǒng)由方型鋁型材、驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、控制系統(tǒng)等組成，樣機(jī)平臺(tái)采用歐標(biāo)4080L、8080L鋁型材搭建，以保證平臺(tái)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性。機(jī)器人采用高性能伺服驅(qū)動(dòng)器，相應(yīng)的伺服電機(jī)配備高分辨率編碼器滿足了控制系統(tǒng)的高性能和實(shí)時(shí)性要求。控制系統(tǒng)由控制計(jì)算機(jī)、EtherCAT實(shí)時(shí)工業(yè)以太網(wǎng)的伺服驅(qū)動(dòng)器、滾珠絲桿、I/O模塊、力傳感器以及其它配套的電氣控制系統(tǒng)組成。EtherCAT工業(yè)以太網(wǎng)總線支持多設(shè)備間的高速數(shù)據(jù)交互，極大提高了系統(tǒng)的可拓展性和可靠性，可很好地滿足控制實(shí)時(shí)性的要求。

根據(jù)繩的單向受力特性，機(jī)器人必須實(shí)現(xiàn)冗余驅(qū)動(dòng)，即機(jī)器人關(guān)節(jié)數(shù)需大于運(yùn)動(dòng)自由度數(shù)目，因此至少需要四根繩索才能保證實(shí)現(xiàn)對(duì)人體腰部3個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度的完整約束。本文采用四根高強(qiáng)度的凱夫拉繩作為機(jī)器人關(guān)節(jié)連接動(dòng)平臺(tái)，牽引繩通過(guò)滑輪變向與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)連接，由伺服電機(jī)控制繩索收縮和伸長(zhǎng)，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)平面內(nèi)2個(gè)自由度的平動(dòng)和1個(gè)自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)（1R2T）。四根牽引繩兩兩呈中心對(duì)稱分布，互不干涉，整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔有效，空間利用率高。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

本文設(shè)計(jì)的腰部繩牽引康復(fù)訓(xùn)練并聯(lián)機(jī)器人幾何關(guān)系圖如圖2所示。

定義全局坐標(biāo)系原點(diǎn)為機(jī)架底面正中心點(diǎn)O，建立全局坐標(biāo)系O-XYZ。以動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P為原點(diǎn)，建立局部坐標(biāo)系P-xyz，滑輪上繩引出點(diǎn)定義為 （i＝1， 2， 3， 4），在繩與動(dòng)平臺(tái)末端鉸接點(diǎn)定義為 （i＝1， 2， 3， 4）。動(dòng)平臺(tái)位

置向量為 ，定義姿態(tài)角為 。

工作空間內(nèi)繩長(zhǎng)矢量 可表示為：

（1）

式中： 為原點(diǎn)到繩出點(diǎn) 的向量； 為全局坐標(biāo)系到局部坐標(biāo)系原點(diǎn)的向量； 為局部坐標(biāo)系下點(diǎn) 相對(duì)于原點(diǎn)P的向量； 為局部坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，其表達(dá)式為：

（2）

第i根繩長(zhǎng)表達(dá)式為：

（3）

定義動(dòng)平臺(tái)繞Z軸旋轉(zhuǎn)角速度矢量為 ，根據(jù)微分運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，繩長(zhǎng)速度矢量為 ，與動(dòng)平臺(tái)速度矢量 關(guān)系為：

（4）

式中： 為機(jī)器人速度雅克比矩陣，其中， （i＝1， 2， 3， 4）、 （i＝1， 2， 3， 4）為第i根繩的單位向量。

3 動(dòng)力學(xué)建模與繩拉力分解

3.1 動(dòng)力學(xué)分析

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模主要包括三個(gè)部分，一是繩末端牽引的動(dòng)平臺(tái)。二是繩另一末端的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。三是繩索彈性動(dòng)力學(xué)模型。

首先對(duì)動(dòng)平臺(tái)模型進(jìn)行建模分析，動(dòng)平臺(tái)

由四根繩線牽引，考慮到使用的凱夫拉線直徑小，強(qiáng)度大，因此可以忽略繩線質(zhì)量。動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

（5）

式中： 為動(dòng)平臺(tái)的慣性矩陣； 為科氏力和離心力矩陣； 為廣義外力向量； 為機(jī)器人的力雅克比矩陣，與速度雅克比矩陣 互為轉(zhuǎn)置； 為繩索拉力。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

（6）

式中： 為伺服電機(jī)軸轉(zhuǎn)角矢量； 為電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣； 為等效粘滯系數(shù)矩陣； 為電機(jī)軸輸出力矩到絲桿軸向力的

傳動(dòng)系數(shù)； 為絲桿導(dǎo)程； 為電機(jī)軸輸出力矩矢量。

牛頓－歐拉方程僅適用于剛體動(dòng)力學(xué)模型，繩索是有限剛度關(guān)節(jié)，考慮到應(yīng)用對(duì)象的特殊性（患者），保證控制的準(zhǔn)確性和安全性，建立如下繩索彈性動(dòng)力學(xué)模型[15]。

將繩索視為繩－彈簧模型，依據(jù)胡克定律，繩索上拉力可表示為[16]：

（7）

式中：K為繩索剛度系數(shù)矩陣。

繩索的彈性形變量為：

（i＝1， 2， 3， 4） ? ? ? （8）

式中： 為原繩長(zhǎng)； 為繩受力形變后的繩長(zhǎng)。

將式（7）代入式（5）、式（6），可得出機(jī)器人整體動(dòng)力學(xué)模型為：

（9）

3.2 繩拉力分解

在實(shí)際工程應(yīng)用中，不同于剛性連桿的可雙向受力特性，繩僅能承受正向拉力。為確保動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩始終保持張緊狀態(tài)，文獻(xiàn)[17]提出了一種基于最小P范數(shù)解的優(yōu)化繩拉力分布方法，并證明了其可行性。本文采用該方法對(duì)繩拉力進(jìn)行分解，該方法的優(yōu)點(diǎn)在于控制簡(jiǎn)潔，且動(dòng)平臺(tái)的力軌跡連續(xù)。

受繩自身物理特性和電機(jī)輸出功率的限制，

繩拉力 （i＝1， 2， 3， 4）需保持在一定范圍內(nèi)，

且實(shí)際康復(fù)訓(xùn)練時(shí)繩對(duì)人體腰部的有效驅(qū)動(dòng)力遠(yuǎn)小于繩能承受的最大拉力?？紤]到患者的安全性和繩拉力分配的合理性，因此對(duì)繩拉力進(jìn)行如下約束：

（10）

式中： 為預(yù)設(shè)的期望繩拉力最小值； 為期望繩最大拉力值。

四繩三自由度繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)數(shù)目多于末端自由度，為冗余驅(qū)動(dòng)，由式（5）可得：

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

式中： 為矩陣方程的特解項(xiàng)，是動(dòng)平臺(tái)的有效驅(qū)動(dòng)力； 為矩陣方程的通解項(xiàng)，是運(yùn)動(dòng)過(guò)程中維持繩張緊的內(nèi)力； 為力雅克比矩陣 的偽逆[18]； 為平均力系數(shù)。

具有如下性質(zhì)：

（16）

即在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，繩內(nèi)力不會(huì)對(duì)動(dòng)平臺(tái)的位姿產(chǎn)生影響。

4 控制方法的設(shè)計(jì)

為保證康復(fù)訓(xùn)練的效果與安全性，對(duì)康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人的軌跡跟蹤和繩拉力跟蹤的控制精度提出了要求[19]。整體控制策略如圖3所示，本文采用PD控制律實(shí)現(xiàn)機(jī)器人軌跡跟蹤，采用PI控制律實(shí)現(xiàn)繩拉力跟蹤。

系統(tǒng)控制律如下：

（17）

（18）

（19）

式中： 為位置控制律，位置閉環(huán)由伺服電機(jī)的編碼器實(shí)現(xiàn)；伺服電機(jī)期望轉(zhuǎn)角 可由位姿Xd逆解求得，高精度的編碼器反饋伺服電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)角 ； 為電機(jī)期望轉(zhuǎn)角速度； 為電機(jī)需克服的動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)負(fù)載，主要用于克服動(dòng)平臺(tái)的慣性力和阻尼力等[20]； 為力控制律，力閉環(huán)由拉力傳感器實(shí)現(xiàn)反饋； 、 分別為位置閉環(huán)比例和微分控制系數(shù)； 、 分別為力閉環(huán)比例和積分控制系數(shù)； 、 、 、 均為對(duì)角正定增益矩陣。

5 仿真結(jié)果與分析

5.1 系統(tǒng)參數(shù)

使用Matlab軟件對(duì)所設(shè)計(jì)的控制律和系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真分析。動(dòng)平臺(tái)采用30：1縮比模型，仿真模型質(zhì)量取成年人體重60 kg，繩出點(diǎn)oAi與鉸接點(diǎn)pBi坐標(biāo)、其他系統(tǒng)各項(xiàng)參數(shù)值如表1、2所示。

采用Matlab Simulink分別進(jìn)行位置控制器和力控制器參數(shù)整定。整定后參數(shù)如表3所示。

5.2 往復(fù)運(yùn)動(dòng)實(shí)例

給定動(dòng)平臺(tái)初始位姿X＝[0 0 1155 0 0 0]T，設(shè)定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡為沿X軸的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，模擬腰部康復(fù)訓(xùn)練中的前屈、后伸動(dòng)作，移動(dòng)范圍為-50～50 mm，周期為5 s，期望運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：

（20）

由圖4～6可知，動(dòng)平臺(tái)的期望軌跡和實(shí)際軌跡基本吻合，軌跡誤差范圍為1.7～2.6 mm，繩1、4長(zhǎng)度變化趨勢(shì)相同，繩2、3長(zhǎng)度變化趨勢(shì)相同，由于繩系布局非完全對(duì)稱，同組繩長(zhǎng)非完全相同，繩長(zhǎng)變化曲線連續(xù)且平滑，符合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，間接驗(yàn)證了所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

圖7顯示的繩拉力變化曲線表明繩拉力在2 s后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，繩拉力變化平緩且連續(xù)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各繩拉力始終處于17 N左右，符合期望的約束要求。圖8為繩拉力誤差曲線，繩拉力誤差范圍在±0.05 N內(nèi)，力環(huán)控制精度良好。

5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)實(shí)例

給定動(dòng)平臺(tái)初始位姿X＝[0 0 1155 0 0 0]T，設(shè)定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡為繞Z軸的周期性旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，模擬腰部康復(fù)訓(xùn)練中的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)作，轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍為-0.1744～0.1744 rad，周期為5 s，期望運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：

（21）

由圖9～10可知，動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度變化曲線與期望角度曲線基本吻合，轉(zhuǎn)動(dòng)角度誤差范圍在±0.0141 rad內(nèi)。

由圖11可知，繩1、3長(zhǎng)度變化曲線基本相同，繩2、4長(zhǎng)度變化曲線基本相同，同組繩長(zhǎng)完全相同，符合中心對(duì)稱繩系布局的特征，繩長(zhǎng)變化連續(xù)，符合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律。

由圖12可知，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的繩拉力變化曲線連續(xù)且平滑，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各繩拉力始終處于15 N左右，符合期望拉力約束要求。由圖13可知繩拉力誤差范圍在±0.6 N內(nèi)，力環(huán)控制精度良好。

5.4 圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)例

給定動(dòng)平臺(tái)初始位姿X＝[50 0 1155 0 0 0]T，設(shè)定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡為以原點(diǎn)O'＝[0 0 1155]為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，模擬康復(fù)訓(xùn)練中的復(fù)合平移運(yùn)動(dòng)，半徑為50 mm，周期為5 s，期望軌跡方程為：

（22）

由圖14～16可知，在兩個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)平臺(tái)沿X軸的運(yùn)動(dòng)軌跡與期望軌跡幾乎完全吻合，誤差范圍為-0.5～0.25 mm，沿Y軸的運(yùn)動(dòng)軌跡誤差范圍為2.1～3.1 mm。由于啟動(dòng)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)沿Y軸位移變化率較大，產(chǎn)生較大的拉力，因其產(chǎn)生的誤差力環(huán)控制無(wú)法快速消除。運(yùn)動(dòng)中繩長(zhǎng)變化連續(xù)且平滑，符合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律。

圖17表明，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的繩拉力變化曲線連續(xù)且平滑，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各繩拉力始終處于17 N左右，符合期望拉力約束要求。由圖18可知繩拉力誤差范圍在±0.14 N內(nèi)，力環(huán)控制精度良好。

上述仿真結(jié)果表明，在滿足運(yùn)動(dòng)控制精度的條件下，位置控制環(huán)響應(yīng)快速，力控制環(huán)精度高，所設(shè)計(jì)的力/位控制律是正確有效的，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定可靠的。

6 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種四繩三自由度繩牽引腰部康復(fù)訓(xùn)練并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)模型，并建立了康復(fù)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。所建立的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型考慮了繩索彈性，進(jìn)一步考慮控制策略中加入力控制閉環(huán)，從而維持動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩始終保持張緊。本文采用了基于電機(jī)轉(zhuǎn)角和繩拉力反饋的力/位混合控制策略，Matlab仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)控制策略能夠有效跟蹤典型軌跡的運(yùn)動(dòng)，并維持繩拉力始終為正，證明了其有效性。上述研究成果可為運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的軟件設(shè)計(jì)、實(shí)時(shí)性和柔順性控制提供研究基礎(chǔ)。

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