對2023年高考物理全國甲卷第20題的深度剖析

楊培軍 王偉民

(1.安徽省阜陽市教育科學研究所,安徽阜陽 236031;2.安徽省太和縣宮集鎮中心學校,安徽阜陽 236652)

1 原題呈現

例1.(2023年高考物理全國甲卷第20題)光滑剛性絕緣圓筒內存在著平行于軸的勻強磁場,筒上P點開有一個小孔,過P的橫截面是以O為圓心的圓,如圖1所示.一帶電粒子從P點沿PO射入,然后與筒壁發生碰撞.假設粒子在每次碰撞前、后瞬間,速度沿圓上碰撞點的切線方向的分量大小不變,沿法向方向的分量大小不變、方向相反;電荷量不變.不計重力.下列說法正確的是

圖1

(A)粒子的運動軌跡可能通過圓心O.

(B)最少經過2次碰撞,粒子就可能從小孔射出.

(C)射入小孔時粒子的速度越大,在圓內運動時間越短.

(D)每次碰撞后瞬間,粒子速度方向一定平行于碰撞點與圓心O的連線.

2 題目剖析

本題是一道綜合性很強的題目,知識層面重點考查學生對洛倫茲力公式、圓周運動的向心力公式等內容的掌握情況,能力層面考查學生是否具備推測、設想、周密論證的能力及綜合運用數學知識解決相關物理問題的能力.[1]

由題目條件可知,帶電粒子進入磁場后由于受洛倫茲力的作用,會在勻強磁場中作勻速圓周運動.因為帶電粒子每次與筒壁碰撞之后,粒子運動速度的大小不變,而粒子在碰撞前后瞬間的速度與過碰撞點半徑的夾角相等(這一碰撞規律類似于光在反射現象中角度的變化規律),所以,在圓形有界磁場范圍內,帶電粒子的運動軌跡是一系列連續排列的相等的圓弧.因為粒子是沿對著圓心的方向由P點進入圓形磁場的,所以,帶電粒子在磁場中運行軌跡的第一段圓弧所在圓,是與直線PO相切于P點的圓,如圖2所示(我們以帶電粒子帶負電情形進行的研究,帶電粒子帶正電時粒子的運動規律不變),設帶電粒子的質量為m,電荷量為q,磁感應強度為B,當粒子以速度v進入磁場后軌跡圓的半徑為R,則有

圖2

由該公式可知,當帶電粒子的質量、電荷量、磁場的磁感應強度一定的情況下,粒子軌跡圓的半徑正比于它進入磁場時的初速度.所以,同一個帶電粒子先后以不同初速度由P點進入磁場,如果它的初速度是連續遞增的,那么,它進入磁場后軌跡圓的半徑也將是連續遞增的.圖2繪出的3條軌跡圓的圓弧,指的就是同一個帶負電的粒子,先后以不同速度進入磁場后的運動軌跡.這些半徑不等的軌跡圓的圓心都在過點P與直線PO垂直的直線上.由圖2可知,軌跡圓的半徑增加時,它與磁場邊界的交點逐漸地向右移動,但是,無論軌跡圓的半徑有多大,軌跡圓與磁場邊界圓的交點都不可能到Q點,所以,粒子在磁場中運行的第1段圓弧一定不過O點.帶電粒子的運動軌跡以后的相鄰各段圓弧都是相等的圓弧,可視為第1段圓弧繞O點按逆時針旋轉一定角度得到的,所以,以后各圓弧軌跡也不可能過O點,因此,選項(A)錯誤.

因為軌跡圓的第1段圓弧與磁場邊界的交點,一定在磁場邊界圓弧下面的半圓弧上(指負電粒子,不含P、Q兩點),而且可以是半圓弧上除了兩個端點P、Q之外的任意一點,所以,如果粒子進入磁場的初速度大小合適,可以使得軌跡圓弧與磁場邊界的第一個交點在磁場邊界上截得的圓弧(劣弧)恰為磁場邊界圓周長的1/3.在此情況下,帶電粒子進入磁場將與磁場邊界碰撞2次,沿3段相等的圓弧運動之后恰好從P點射出,選項(B)正確.

選項(C)對應的物理情景比較復雜,為了分析得更為透徹,后面作為一個獨立的問題單獨詳細討論,先分析選項(D)是否正確.

為便于分析,繪出帶電粒子從進入磁場開始,在磁場中與磁場邊界連續碰撞而形成一系列圓弧的前面3段圓弧及其所在的圓,如圖3所示.這些圓分別是☉O1、☉O2、☉O3,它們與磁場邊界的交點分別為P1、P2、P3.因為圓弧PP1與☉O的半徑OP相切,而圓弧一定是軸對稱圖形,對稱軸為過圓弧中點的圓弧半徑所在的直線,所以,圓弧PP1與☉O的另一條半徑OP1一定相切.同理,后續的各段軌跡圓弧都與過各碰撞點的☉O的半徑相切.這就是說,每次碰撞前后的瞬間,粒子速度方向一定平行于碰撞點與圓心O的連線,選項(D)正確.

圖3

3 進入磁場的粒子未必都能夠從P點射出

假設☉O的周長為C,帶電粒子進入磁場之后與磁場邊界連續碰撞,☉O上相鄰兩個碰撞點之間的弧長為L,因為粒子速度連續變化時,L的大小也是連續變化的,因此,L/C是小于1/2的任意實數,其中v→∞時,L/C→1/2.若L/C是有理數,不妨設為k/n(k/n是一個既約分數),則帶電粒子進入磁場,與磁場邊界連續碰撞(n-1)次后從P點射出.如果L/C是一個無理數,則帶電粒子進入磁場之后,無論與磁場邊界碰撞多少次,它都不會從P點射出.因為題目并沒有限制帶電粒子進入磁場的速度,所以,它可以任意速度進入磁場,因此,L/C既可能是有理數,也可能是無理數,所以,進入磁場的帶電粒子最終未必都能夠從P點射出.

4 帶電粒子在磁場中運行時間長短分析

因為不是所有的帶電粒子最終都可以從P點離開磁場,所以,進入磁場之后永遠無法離開磁場的帶電粒子,也就無所謂運行時間長短的比較了,因此,我們只需分析L/C為有理數時,帶電粒子在磁場中運行時間的長短即可.下面以和兩種情形分別討論.[2]

4.1 =的情形

在☉O的圓周上,從P點起按逆時針方向把☉O的周長分成n等份,各分點依次為P1,P2,…Pn-1.如果帶電粒子(帶負電荷)從P點進入磁場之后,與☉O的圓周發生多次碰撞,第1次只“跨越”一段圓弧而與邊界圓的圓周相交于P1,那么,粒子將分別沿著各軌跡圓所在的n條相等的圓弧繞O點運動一圈之后,最終恰好從P點射出,如圖4所示(圖4中僅畫出了第1段軌跡圓弧,即圓弧PMP1).設∠POP1=α,∠PO1P1=β,則,α=所以

圖4

設軌跡圓☉O1的半徑為R,由可得,因為帶電粒子沿軌跡圓運動1周需要的時間為,所以,粒子沿圓弧PMP1運動需要的時間為

因此,帶電粒子從由P點進入磁場到最終由P點離開磁場的整個過程中,運行了與圓弧PMP1相等的n段圓弧,運行的總時間為

4.2 =的情形

在☉O的圓周上,從P點起按逆時針方向把☉O的周長分成n等份,各分點依次為P1,P2…Pn-1.如果帶電粒子(帶負電荷)從P點進入磁場之后,第1次便“跨越”☉O圓周上的k個圓弧,而與☉O的圓周相交于第k個分點Pk點,如圖5所示.那么,以后粒子每次都“跨越”☉O圓周上的k個圓弧(k＜n/2).這樣,帶電粒子將分別沿著各軌跡圓所在的n條相等的圓弧,繞O點運動若干圈之后,最終恰好從P點射出——圖5中僅畫出了第1段軌跡圓弧,即圓弧PMPk.設∠POPk=α,∠PO1Pk=β,則α=,所以

圖5

軌跡圓☉O1的半徑為R=,由于帶電粒子沿軌跡圓運動1周需要的時間為所以,粒子沿圓弧PMPk運動需要的時間為

因此,帶電粒子由P點進入磁場到最終由P點離開磁場的整個過程中,運行了與圓弧PMPk相等的n段圓弧,運行的總時間為

當k=1時,t=,這正是我們在上面情形中分析得出的結果.

以n=13,k=1,2,3,4,5,6的情形為例,繪出了帶電粒子從P點進入磁場開始,在圓形磁場內與磁場邊界發生多次碰撞,最終由P點離開磁場的整個過程中,粒子運動軌跡示意圖分別如圖6(a)-(f)所示.為方便作圖,粒子的運動軌跡本應為圓弧,這里全部畫成直的線段了,這樣畫圖主要是為了尋找粒子運動軌跡的變化規律,線段替代圓弧并不影響我們對問題的分析.

圖6

由公式t=可知,n一定時,粒子在磁場中運行的時間,隨著運行軌跡中一個圓弧“跨越”的☉O圓周被等分圓弧個數的增加而增大.由圖6可以推測,對于n一定,且粒子最終都可以離開磁場的各種情形.k越大,對應粒子的運動速度就越大,所以,n一定時,對于最終可以離開磁場的帶電粒子,射入小孔時粒子的速度越大,在圓內運動時間越短”的運動規律也是正確的.

那么,如果綜合考慮公式中n和k的變化,對于最終能夠離開磁場的帶電粒子,上述運動規律是否還正確?

答案是否定的.從公式t=可以看出,對于n=11,k=1,和n=13,k=2,這兩種不同的運動情況,帶電粒子在磁場中運行的時間卻是相同的,都是t=,但是,后者對應的軌跡圓弧在☉O圓周上截得的圓弧較長,其對應的帶電粒子進入磁場時的速度較大.所以,“射入小孔時粒子的速度越大,在圓內運動時間越短”的運動規律是錯誤的.當n、k取不同數值時,我們還可以得出很多類似的反例來進行佐證說明.

上述分析是從定量的視角分類討論,得出(C)選項的說法是錯誤的.從定性角度來看,我們只要能夠判斷粒子運動的軌跡圓弧在磁場邊界圓上截得的圓弧長度與邊界圓周長之比L/C,可以是小于1/2的任意非負實數,而當L/C是無理數時,帶電粒子永遠無法離開磁場這一結果,便可以判斷“射入小孔時粒子的速度越大,在圓內運動時間越短”的運動規律是錯誤的.

該題主要考查學生關鍵能力中的思維認知能力.考查學生是否從多個視角思考同一個問題,思維是否具有發散性,是否分類假設并進行推理論證,主要考查學生的高階思維能力.[3]

5 對高考題目的變式創新

筆者認為,該題目設置出能夠經過深入推理可以判斷結果的物理情境.為充分發揮背景材料的應用價值,不妨稍微改動一下題設,創設一道開放性的高考題目變式,以便于培養學生的高階思維能力.

例2.光滑剛性絕緣圓筒內存在著平行于軸的勻強磁場,筒上P點開有一個小孔,過P的橫截面是以O為圓心的圓,如圖7所示,P,P1,P2…Pn-1是按逆時針方向排列☉O圓周的n等分點.一帶負電粒子從P點沿PO射入,然后與筒壁發生碰撞.假設粒子在每次碰撞前后速度大小不變,只是速度方向發生改變,碰撞前瞬間速度方向與過碰撞點法線的夾角等于碰撞后瞬間速度方向與法線的夾角.已知粒子的荷質比為q/m,磁感應強度為B,☉O的半徑為R0.

圖7

(1)粒子進入磁場的速度滿足什么條件,它在磁場中運動一段時間之后會從P點射出而離開磁場?

(2)若帶電粒子進入磁場之后第一次與☉O圓周的碰撞點恰好為Pk點(k＜n/2),試求帶電粒子在磁場中運行的時間?

可以發現,跟原來的高考題目相比,該變式給出的背景材料基本沒有變化,只是更改了部分題設和要求解的問題,但是,題目難度卻增加了很多.

解析:(1)設帶電粒子進入磁場后第1次與☉O圓周的碰撞點為A,設軌跡圓的半徑為R,∠POA=α,如圖8所示.設帶電粒子的速度為v時,它在磁場中運動一段時間之后會從P點射出而離開磁場,由題目條件可知R=,所以

圖8

(2)由上面的分析可知,帶電粒子在磁場中運行的時間為t=(詳細的解答過程在上面的分析中已經給出,這里不再重復).

6 結語

2023年高考物理全國甲卷這道選擇題目,編者創設了對著圓心方向讓帶電粒子進入有界圓形磁場后,與磁場邊界發生碰撞的物理情境,并精心編制4個很有代表性的選項.對選項(A),根據帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動時軌跡圓的位置特征即可定性判斷,選項(B)(D)利用與圓有關的幾何知識也可判定,(A)(B)(D)3個選項考查學生利用所學知識定性分析問題的能力,體現出高考考查的基礎性.而對選項(C),需要對粒子的運動情況進行歸納分類,并分別進行嚴密的邏輯推理,考查學生定量分析問題的能力,體現出高考考查的綜合性和創新性.[3]它能引導高中物理課堂教學加強學生發散性思維能力的培養,指導學生學會推測、分類假設并進行周密論證,進而提升學生的高階思維能力.[1]