從物像等光程性探討光成像規律及其推廣應用

王 勇

(江蘇省常州高級中學,江蘇常州 213003)

幾何光學中成像規律研究基于3個基本實驗定律:(1)光在均勻的介質中直線傳播定律;(2)光通過兩種介質分界面時的反射定律和折射定律;(3)光的獨立傳播定律和光路可逆原理.在已有的文獻中絕大多數都是基于反射和折射定律推導近軸光線傳播和球面折射成像規律.本文將從波動光學的角度基于費馬原理中的物像間等光程分析光線傳播問題和球面折射成像規律,并將球面折射成像規律推廣到平面折射成像規律、球面反射和平面反射成像規律;基于物像之間的光程特點分析物理競賽中一些特殊的光學成像系統.

費馬原理可以表述為:光線沿光程為平穩值的路徑而傳播.當光在指定的兩點之間存在多條路徑時,若某條光線光程是極小或極大,則意味著其鄰近光線光程不處于平穩值,這違背費馬原理,所以物像之間光程只能是相等的.

1 物像等光程性推導成像規律

1.1 反射定律的推導

如圖1所示,兩平行光從無窮遠處入射到分界面,反射光也為兩條平行光,兩虛線O1A、O2B為等光程面,在兩等光程面O1A和O2B之間光程O2A=O1B,則兩直角三角形△O1AO2與△O2BO1全等.全等直角三角形中兩直角邊O1A=O2B,根據直角邊與斜邊關系有O1O2cosθ1=O1O2cosθ2,所以反射角與入射角相等.

圖1

1.2 折射定律的推導

如圖2所示,兩平行光從無窮遠處射到分界面發生折射,O1A、O2B為等光程面,在光程面O1A和O2B之間光程相同,所以有n1AO2+0=0+n2O1B,在兩直角三角形中有AO2=O2O1sinθ1,O1B=O2O1sinθ2,將AO2、O1B代入,有n1sinθ1=n2sinθ2.

圖2

1.3 球面折射成像規律推導

1.3.1 物距與像距關系

如圖3所示,處于主光軸上的物點A經球面成像于主光軸的另一側像點B,球面兩側的折射率分別為n1、n2,主光軸與球面的交點為O,球面球心為C,若物距AO長s,像距BO長s',球的半徑為r,MC與主光軸的夾角為θ,由物像等光程性有n1AO+n2OB=n1AM+n2MB,則有

圖3

對于近軸光線θ→0,則有化簡后有

當θ→0時作泰勒展開后,化簡可得

對于任意θ小角都成立,則有

化簡后有球面折射成像物距與像距關系

1.3.2 物高與像高關系

將主光軸繞圓心C旋轉一小角度,形成如圖4所示一虛線副光軸,物點與像點繞圓心C轉動后物點與像點的弧線長度近似為物高和像高,若物高為y,像高為y',則有

圖4

將式(1)代入可得

若規定主光軸上方物高與像高為正,主光軸下方物高與像高為負,考慮物高與像高的符號,則得物高與像高關系為

1.3.3 折射成像規律的推廣

當為平面折射成像時,平面曲率半徑r→∞,有,只要代入式(1)就可得平面折射成像的物距與像距關系式,化簡后物距與像距關系為

當研究平面鏡的反射成像規律時,不同光線物像之間的路程不同,若要保持物像之間等光程,則平面鏡成像后物像之間的光程和必為0.當入射光線一側的光程為nl時,平面鏡另一側光線光程必為虛光程,虛光程為-nl,平面鏡另一側的折射率可等效為-n.

當為球面反射成像時,可認為球面鏡另一側的折射率可等效為-n,只要代入式(1)就可得球面反射成像規律為,化簡后可得球面反射物距與像距的關系為.球面折射成像的像方在入射光線的另一側,但球面反射成像的像方在入射光線的同側,所以球面反射中的s'＜0表示球面反射成實像,球面反射中的s'＞0表示球面反射成虛像.為了統一像距為負值時成虛像這一約定,可將球面反射物距與像距的關系改寫為,其中-s'為球面反射的像距.

若設-s'=s″,球面反射物距與像距的關系為

當為平面反射成像時,平面曲率半徑r→∞,有,只要代入式(3)就可得平面反射成像的物距與像距關系式,化簡后關系為s″=-s.

2 競賽中應用

2.1 物像等光程在負折射率競賽題中應用

例1.(第35屆物理競賽決賽題)介質的折射率n可以大于0,也可以小于0,n小于0的介質稱為負折射介質.光在負折射介質內傳播,其光程為負值(相位隨傳播距離的變化規律與在折射率為正的介質中的相反).如果定義折射角與入射角在界面法線同側時折射角為負,可以證明折射定律在界面兩邊有負折射介質時仍然成立,即n1sinθ1=n2sinθ2,其中n1和n2均可以大于0或小于0.

(1)設想一束平行光入射到界面上,在答題紙上畫出圖5(a)和圖5(b)所示情況下進入介質2的光線及對應的子波的示意圖,并依此證明折射定律成立.

圖5

(2)如圖5(c)所示,半徑為R的球面將空間隔開為兩個區域,其折射率分別記為n1(n1＞0)和n2(n2＜0)C點是球面的球心,圖中已畫取某一光軸與球面的交點O為原點.圖中已畫出此情形下一段入射光線和折射光線,x和y分別為入射光線、折射光線與光軸的交點坐標.記物距為s1,像距為s2.在傍軸近似下導出球面的成像公式和橫向放大率公式.請明確指出最后結果中各個量的正負號約定.

(3)設介質1為空氣,即n1≈1,n2可大于0也可小于0.在球面[參考圖5(c)]前放置一普通薄凸透鏡,透鏡的光軸通過球心C,焦點位于負折射介質區域內,透鏡的焦距f=1.5R,透鏡中心O'點與O點的距離為d.一束沿光軸傳播的平行光入射到薄透鏡.分別就表中4組參數計算入射光在光軸上會聚點離O點的距離,并在答題紙上畫4組參數計算入射光在光軸上會聚點離O點的距離,并在答題紙上畫4情形的光路示意圖.

解析:(1)圖5(a)中兩邊介質都是正折射率,證明和作圖如上.對于負折射率介質中成像問題可類比光的折射定律、折射成像規律推導.若光線在負折射率介質一側折射到法線的另一側時,光從正折射率一側到負折射率一側時,兩等光程面之間的兩條光線的光程一正一負,光程差不可能相等,折射光線只能偏折到法線的同側才能保證兩等光程面之間光程相等,且兩等光程面間光程為0.即n1AO2+n2O2B=0,光的折射如圖6所示,由于AO2=O1O2sinθ1,O2B=-O1O2sinθ2,負號由于θ2＜0,代入可得n1O1O2sinθ1-n2O1O2sinθ2=0,化簡后可得n1sinθ1=n2sinθ2.

圖6

(2)如圖7所示,當在負折射率介質中球面折射時,根據物像間等光程,有n1AO+n2OB=n1AM+n2MB,化簡后同樣有

圖7

(3)略.

2.2 物像等光程性在透鏡成像中的應用

例2.(第38屆物理競賽復賽題)(1)如圖8所示,一寬束平行光正入射到折射率為n的平凸透鏡左側平面上,會聚于透鏡主軸上的點F,系統過主軸的截面如圖8所示.已知凸透鏡頂點O到F點的距離為r0.試在極坐標系中求所示平凸透鏡的凸面形狀,并表示成直角坐標系中的標準形式.

圖8

(2)在如圖8所示的光學系統中,共軸地插入一個折射率為n'的平凹透鏡(平凹透鏡的平面在凹面的右側,頂點在O、F點之間的光軸上,到F的距離為r0',r0'＜r0),使原來匯聚到F點的光線經平凹透鏡的凹面折射后平行向右射出.

①在極坐標系中求所插入的平凹透鏡的凹面形狀,并表示成直角坐標系中的標準形式;

②已知通過平凸透鏡后的匯聚光線與主軸的夾角θ的最大值為θmax,求入射平行圓光束與出射平行圓光束的橫截面半徑之比.

解析:(1)平行光正入射到平凸透鏡左側平面上后聚焦到主光軸上的F點,無窮遠處的物與像點F之間等光程,由于平凸透鏡左側為平行光,則如圖9所示,虛線為等光程面.虛線到像點F的光程相等,則有MF=nHO+OF,當以聚焦點F為極點建立極坐標系,若極徑MF為r,極角為θ,則有r=n(rcosθ-r0)+r0,化簡后可得r=當以主光軸為x軸,垂直于主光軸過F點的直線為y軸時,可得在直角坐標系中的凸面形狀方程為

圖9

(2)①如圖10所示,當聚焦光線進入一折射率為n'的平凹透鏡,使原來匯聚到F點的光線經凹面折射后平行射出,在平凹透鏡內的虛光線對應為虛光程,在虛物與N'F平面間光線等光程,有-FM'+n'M'N'=-FO'+n'O'F.當以F為極坐標的極點時有-r+n'rcosθ=-r0'+n'r0',化簡后可得當以主光軸為x軸,垂直于主光軸過F點的直線為y軸時,可得在直角坐標系中的凸面形狀方程為

圖10

②解略.

3 物像等光程性的推廣應用

例3.(第30屆物理競賽復賽題)一斜劈形透明介質劈尖,尖角為θ,高為h.今以尖角頂點為坐標原點,建立坐標系如圖11所示;劈尖斜面實際上是由一系列微小臺階組成的,在圖11中看來,每一個小臺階的前側面與xz平面平行,上表面與yz平面平行.劈尖介質的折射率n隨x而變化,n(x)=1+bx其中常數b＞0.一束波長為λ的單色平行光沿x軸正方向照射劈尖;劈尖后放置一薄凸透鏡,在劈尖與薄凸透鏡之間放一擋板,在擋板上刻有一系列與z方向平行、沿y方向排列的透光狹縫,如圖12所示,入射光的波面(即與平行入射光線垂直的平面)、劈尖底面、擋板平面都與x軸垂直,透鏡主光軸為x軸.要求通過各狹縫的透射光彼此在透鏡焦點處得到加強而形成亮紋.已知第一條狹縫位于y=0處;物和像之間各光線的光程相等.

圖11

圖12

(1)求其余各狹縫的y坐標;

(2)試說明各狹縫彼此等距排列能否仍然滿足上述要求.

解析:(1)如圖12所示,斜劈直角邊左側的平行光等光程.通過透光狹縫后的平行光經過凸透鏡成像于焦點,斜劈虛線右側平行光到焦點的光線也是等光程.當要使全部平行光聚焦到焦點處得到加強而形成亮紋,所以斜劈直角邊與虛線間的光程理應相等,但由于斜劈介質的折射率n隨x而變化,斜劈直角邊到虛線間距離又相等,所以斜劈直角邊到虛線間的光程不可能相等.因此若要使全部平行光聚焦到焦點得到加強而形成亮紋,只能斜劈直角邊到虛線間相鄰透光狹縫位置處的光程差為波長的整數倍,才能確保所有平行光到焦點時振動同步.

射到斜劈y處的光線,光程為

y處通過非斜劈部分的光程δ2(y)=hytanθ,斜劈y處的直角邊與虛線間的光程為以上兩光程和δ(y)=δ1(y)+δ2(y)=

由于位于y=0處無介質光程為h,斜劈y處與O處的光程差為

當斜劈y處與y=0處的光程差滿足時(k=1,2,3…),通過各狹縫的透射光將在透鏡焦點處振動同步而得到加強的亮紋.

綜上所述,本文基于費馬原理中物像間的等光程性從理論上推導出光的反射定律、折射定律、球面折射成像規律,從波動角度進一步認識了光的成像本質.當前物理競賽中光學競賽題也正在由純幾何光學逐步向特殊光學元件研究設計和光學儀器的原理考查轉變,如波帶片、邁克爾遜干涉儀等,從波動角度利用光程分析也是解決光學競賽題的一大利器.