化斜為直思想在圓錐曲線問題中的應用

廣東省東莞市第一中學(523128)江明

平面解析幾何問題一直是高考命題的熱點和重點之一,而圓錐曲線大題作為高考必考題型,其考查的知識點覆蓋廣泛而細致,所涉及的數學思想內涵極為豐富,解題思路多樣,主要考查學生的數學抽象,邏輯推理,直觀想象,數學運算和數據分析等核心素養.由于高考中圓錐曲線大題往往位于試卷倒數第二題的位置, 對學生來說, 時間緊, 難度普遍較大,對計算能力的要求又較高,很多考生心生畏懼,束手無策,進而習慣性選擇放棄.本文將以化斜為直這一數學思想在圓錐曲線問題中的應用為切入點,以一道高考真題為例,以點帶面, 探究在求解圓錐曲線問題中運用合適的數學思想解題,從而達到化繁為簡,簡化運算,事半功倍,輕松解題的目的.

1 真題再現

1.1 引例

(2010 北京卷理19)在平面直角坐標系xoy中,點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于.

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)設直線AP與BP分別與直線x= 3 交于點M,N,問: 是否存在點P使得ΔPAB與ΔPMN的面積相等? 若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

1.2 分析

求解圓錐曲線問題的三個難點: 準確作圖,分析與轉化問題,強大的計算能力,而分析與轉化問題尤為重要,直接決定了求解該問題的走向和難易程度.

思路一問(1)易得動點P的軌跡方程為;問(2)一步步來,如圖1,設P,表示BP和AP,求N,M,求|MN|,再求SΔPMN和SΔPAB,最后求出P.

詳解設點P的坐標為(x0,y0),點M,N得坐標分別為(3,yM),(3,yN).則直線AP的方程為,直線BP的方程為.令x= 3 得.于是ΔPMN的面積,又直線AB的方程為x+y= 0,, 點P到直線AB的距離.于是ΔPAB的面積.當SΔPAB=SΔPMN時,得,又|x0+y0|0,所以,解得.因為,所以,故存在點P使得ΔPAB與ΔPMN的面積相等,此時點P的坐標為.

思路二設直線AB與直線x= 3 的交點為K, 連接BM與AN, 如圖2, 由直線AB方程為x+y= 0, 點K在x= 3 上, 易得點K坐標為(3,-3), 從而點B(1,-1)為AK的中點, 由SΔPMN=SΔPAB可得|PA|·|PB| =|PM| · |PN|, 即

圖2

,

然后得到ΔPAN與ΔPBM相似, 從而AN//BM, 點M為KN的中點, 根據三角形重心的定義, 可知點P為ΔAKN的重心, 由三角形重心坐標公式可得, 再根據可求得,故存在點P使ΔPAB與ΔPMN的面積相等,此時點P的坐標為.

思路三抓住兩個三角形有角對頂,∠APB= ∠NPM,如圖3,由SΔPMN=SΔPAB可得,化斜為直:,從而求出P.

圖3

詳解若存在點P使得ΔPAB與ΔPMN的面積相等,設點P的坐標為(x0,y0),則:.因為sin ∠APB= sin ∠MPN,所以, 所以即, 解得, 因為所以,故存在點P使得ΔPAB與ΔPMN的面積相等,此時點P的坐標為.

1.3 小結

從這道2010 年高考北京卷理19 的三種解題方法可以看出,思路一審題浮于淺層,導致運算繁瑣,思路二需要深入分析圖形,思維容量大,對考生的知識儲備,觀察分析和作圖能力要求較高,而思路三適當轉化條件,通過化斜為直,把斜線段之比轉化為直線段之比,化簡為繁,快刀斬亂麻,極大的簡化了運算,縮短了解題時間.

2 模擬精析

2.1 例題

(1)求雙曲線C的方程;

(2)過點P(0,3)的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A和B, 若直線l上存在不同于點P的點D滿足|PA|·|DB| = |PB|·|DA|成立,證明: 點D的縱坐標為定值,并求出該定值.

2.2 分析

判斷點D的位置很關鍵,若點D在AB延長線上,如圖4,此時|PA|·|DB| ＜|PB|·|DA|,不符合題意,若點D在BA延長線上,如圖5,此時,這與題設相矛盾,不符合題意,故點D只能在A與B之間,如圖6 所示:

圖4

圖5

圖6

詳解問(1) 易得; 問(2) 設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),直線l的方程為y=kx+3.將直線方程y=kx+3 代入(1)中雙曲線方程,化簡整理得(1-4k2)x2-24kx-52 = 0,Δ = (-24k)2+4×(1-4k2)×52=208-256k2,則, 要使直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點A和B, 則滿足解得, 由|PA| · |DB| = |PB| · |DA|,得, 化斜為直, 故, 所以, 又,所以點D的縱坐標為定值.

2.3 小結

該題主要考查化斜為直數學思想,采用化斜為直方法的典型特征是題干中出現或者隱含了等價線段比關系,但有時需通過作圖綜合分析確定線段比關系才能準備轉化,以免造成解題失誤.

3 鞏固提高

3.1 思考題

(1)求C的方程;

3.2 解析

問(1) 略, 易得C方程為; 問(2) 作圖有兩種情況, 以圖7 為例, 由題意, 可設,則|t| ＜ 3, 且,G(x1,y1),H(x2,y2).直線.由得, 所以.

圖7

圖8

思路1:化斜為直

4 總結

化斜為直作為求解圓錐曲線問題的重要解題思想,當題干中出現或者隱含了等價線段比關系時,通過化斜為直,把斜線段之比轉化為直線段之比,往往能夠達到化繁為簡,化抽象為具體,簡化運算,從而縮短解題時間,但有時也需通過作圖,認真分析,確定準確的線段比關系,才能確保解題的準確性.