雙減促提質(zhì)作業(yè)落素養(yǎng)
——以“尺規(guī)作圖”作業(yè)設(shè)計為例

浙江省杭州云谷學(xué)校(310000)張東東

1 作業(yè)設(shè)計的背景

2021 年7 月,中共中央、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》(以下簡稱《意見》),明確要求“減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)”.在這樣的背景下,學(xué)校成為“雙減”政策順利落地的重要一環(huán),一線學(xué)科教師需要根據(jù)本校學(xué)生的特點,制定符合個體發(fā)展的作業(yè),通過提高作業(yè)質(zhì)量來滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

《意見》中指出:“明確作業(yè)總量,初中書面作業(yè)平均完成時間不超過90 分鐘;提高作業(yè)設(shè)計質(zhì)量,發(fā)揮作業(yè)診斷、鞏固、學(xué)情分析等功能,系統(tǒng)設(shè)計符合年齡特點和學(xué)習(xí)規(guī)律、體現(xiàn)素質(zhì)教育導(dǎo)向的基礎(chǔ)性作業(yè),鼓勵布置分層、彈性和個性化作業(yè),堅決克服機械、無效作業(yè),杜絕重復(fù)性、懲罰性作業(yè)”.

2 作業(yè)設(shè)計的類型與形式

喻平教授認(rèn)為數(shù)學(xué)作業(yè)可以劃分為三種形式和四種類型,并設(shè)計了數(shù)學(xué)作業(yè)類型與形式的二維結(jié)構(gòu)框架[1].將這個二維結(jié)構(gòu)框架進(jìn)行編碼, 如表1, 這個結(jié)構(gòu)框架能夠清晰的反映數(shù)學(xué)作業(yè)的三種形式包括閱讀作業(yè)(M1)、習(xí)題作業(yè)(M2)、寫作作業(yè)(M3), 四種類型包括基礎(chǔ)類(T1)、綜合類(T2)、探究類(T3)、實踐類(T4).

表1 數(shù)學(xué)作業(yè)類型與形式的二維結(jié)構(gòu)

3 基于核心素養(yǎng)的作業(yè)水平劃分

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》中的核心素養(yǎng)表現(xiàn)為小學(xué)9 個,初中7 個[2];《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020 年修訂)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)中核心素養(yǎng)表現(xiàn)為6個[3],史寧中校長將中小學(xué)核心素養(yǎng)歸為數(shù)學(xué)眼光,數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)語言,如表2.從小學(xué)到高中,表2 能夠清晰看出核心素養(yǎng)表述的變化,不同階段對學(xué)生素養(yǎng)的要求是不同的,但又是一脈相承的.

表2 中小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》對高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分了三級水平,為了體現(xiàn)中小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一致性與層次性,現(xiàn)將初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分為三級水平,如表3 為初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對應(yīng)的水平的描述.

表3 初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對應(yīng)的水平描述

4 作業(yè)設(shè)計的目標(biāo)解析

筆者以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八上“1.6 尺規(guī)作圖”的作業(yè)設(shè)計為例,將數(shù)學(xué)作業(yè)的類型與形式,初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等內(nèi)容落實到具體課時.表4 是課時作業(yè)的目標(biāo)解析,對本節(jié)課的課時目標(biāo)進(jìn)行編碼為O1、O2、O3;由于部分題目同時考察多個目標(biāo)[4].

表4 課時作業(yè)的目標(biāo)解析

5 課時作業(yè)設(shè)計的內(nèi)容

1.下列作圖語言中,正確的是( )

A.過點P作直線AB的垂直平分線

B.延長射線OA到B點

C.延長線段AB到C,使AB=BC

D.過∠AOB內(nèi)一點P,作∠AOB的平分線

2.根據(jù)下列條件,能作出唯一的ΔABC的是( )

A.AB=4,BC=7,AC=2

B.∠A=35°,AC=4,BC=3

C.∠A=90°,BC=5

D.∠B=35.5°,∠C=42°,AB=4

3.如圖,用尺規(guī)作圖作∠AOC= ∠AOB的第一步是以點O為圓心,以任意長為半徑畫弧①,分別交OA、OB于點E、F,那么第二步的作圖痕跡②的作法是( )

A.以點F為圓心,OE長為半徑畫弧

B.以點F為圓心,EF長為半徑畫弧

C.以點E為圓心,OE長為半徑畫弧

D.以點E為圓心,EF長為半徑畫弧

(第3 題)

(第5 題)

4.如圖,已知ΔABC,AB＜BC,用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P,使得PA+PC=BC,則下列選項中,正確的是( )

5.給出下列關(guān)于三角形的條件: ①已知三邊; ②已知兩邊及其夾角; ③已知兩角及其夾邊; ④已知兩邊及其中一邊的對角.利用尺規(guī)作圖,能作出唯一的三角形的條件是____.

6.如圖,在ΔABC中,∠C= 90°,分別以點A,B為圓心,大于AB長為半徑作弧,兩弧分別交于M,N兩點,過M,N兩點的直線交AC于點E,交AB于點D.若AC=6,BE=4,則CE的長為____.

7.如圖,是一塊破損的三角形模具的一部分.

(1)只要從殘留的模具片中度量出哪些邊、角,就可以不帶殘留的模具片到店鋪加工一塊與原來的模具ABC形狀和大小完全相同的模具A′B′C′? 請簡要說明理由.

(2)作出模具ΔA′B′C′的圖形(要求: 尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明).

(第7 題)

(第8 題)

8.如圖所示,已知∠AOB及點M,N,求作一點P,使點P到∠AOB兩邊的距離相等,且PM=PN,不必寫出作法.

※9(選做)閱讀作業(yè): 尺規(guī)作圖的簡史.

中國古代“規(guī)”就是圓規(guī),是用來畫圓的工具,在我國古代甲骨文中就有“規(guī)”這個字.“矩”就像木工使用的角尺,由長短兩尺相交成直角而成,兩者間用木杠連接以使其牢固,其中短尺叫勾,長尺叫股.

《史記》卷二記載大禹治水時“左準(zhǔn)繩,右規(guī)矩”.趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之勢,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先測量地勢的高低,就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠(yuǎn)的中國古代.

古希臘由于《幾何原本》的巨大影響,希臘人所崇尚的尺規(guī)作圖也一直被遵守并流傳下來.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題: 立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.1637 年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何,關(guān)于尺規(guī)作圖的可能性問題才有了準(zhǔn)則.到了1837 年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬于尺規(guī)作圖不可能問題.1882 年林德曼證明了π 是超越數(shù),化圓為方問題不可能用尺規(guī)作圖解決,這才結(jié)束了歷時兩千年的數(shù)學(xué)難題公案.

6 作業(yè)設(shè)計的實施結(jié)果

根據(jù)學(xué)生完成作業(yè)的情況繪制成表5,表中可以看出第1-8 題的形式是M2,第9 題(選做)的形式是M1;第1、2、3、5、9 的題目類型是T1,第4、6、7、8 的題目類型是T2;第1 題考察了空間觀念,第2 至8 題考察了幾何直觀.

表5 課時作業(yè)實施結(jié)果

第1 題的目標(biāo)為O1,考察了空間觀念,達(dá)成水平一的要求,學(xué)生作業(yè)用時較少,正確率是0.975,說明學(xué)生對基礎(chǔ)知識的記憶與鞏固情況比價扎實;第3、4、6、8 題的目標(biāo)為O2,考察了幾何直觀, 達(dá)成水平二的要求, 4 個問題的層次性明顯,用時也有了明顯的差異,但都能達(dá)到0.75,符合預(yù)期;第2、5、7 題的目標(biāo)為O3,考察了幾何直觀,從符號語言的特例到文字語言的一般化,再到動手畫出圖形,不同的考察形式,可以了解學(xué)生掌握知識的情況,從正確率的角度看,幾個問題略有差異但都符合預(yù)期.第9 題的形式為M1,目標(biāo)為O1,是針對能力較強學(xué)生的一項有關(guān)數(shù)學(xué)文化的閱讀作業(yè),從中國的簡史中可以讓學(xué)生了解到中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,讓學(xué)生感受到在不同時間、不同空間尺規(guī)作圖的演變,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣.

本節(jié)課第1-8 題的平均用時約為17 分鐘,閱讀(選做)作業(yè)約1 分鐘,共約18 分鐘,符合“雙減”要求,作業(yè)設(shè)計圍繞著教學(xué)目標(biāo)有效進(jìn)行,基礎(chǔ)知識訓(xùn)練到位,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能夠有效落實,符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律,通過作業(yè)能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣,發(fā)揮作業(yè)診斷、診斷、學(xué)情分析等功能.