具有擾動(dòng)項(xiàng)的雙曲守恒律系統(tǒng)的PI反饋與穩(wěn)定性分析

趙東霞, 鮑芳霞

(中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 太原 030051)

雙曲型分布參數(shù)系統(tǒng)在數(shù)學(xué)及其它各領(lǐng)域中一直有著廣泛的應(yīng)用,很多運(yùn)輸現(xiàn)象和流動(dòng)現(xiàn)象均可用雙曲型偏微分方程來描述.如:熱交換器模型,生物種群模型,交通流模型,渠道模型等等[1-4].近年來,一階雙曲型偏微分方程受到專家學(xué)者的廣泛關(guān)注,尤其致力于研究它的控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析.對(duì)于雙曲型系統(tǒng)的控制問題,工程上通常采用PI(比例積分)或PID(比例積分微分)控制器,通過調(diào)整反饋參數(shù),使柯西問題的解收斂到一個(gè)期望的平衡態(tài)上[5-6].對(duì)于雙曲型系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,主要有特征根分析法和Lyapunov函數(shù)法[7-8].文獻(xiàn)[9]針對(duì)擬線性雙曲系統(tǒng),利用特征根分析法,建立了系統(tǒng)沿著特征曲線的解的指數(shù)穩(wěn)定性.對(duì)于帶有非齊次項(xiàng)的雙曲守恒律系統(tǒng),文獻(xiàn)[10]結(jié)合黎曼坐標(biāo)變換、特征線和李雅普諾夫函數(shù)方法研究了系統(tǒng)的魯棒性問題.文獻(xiàn)[11]針對(duì)具有一般形式的二維雙曲守恒律系統(tǒng),首先采用黎曼坐標(biāo)變換將其對(duì)角化處理,然后構(gòu)建了一個(gè)嚴(yán)格的李雅普諾夫函數(shù),并證明在某個(gè)參數(shù)條件下,李雅普諾夫函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)嚴(yán)格負(fù)定,從而驗(yàn)證系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[12]針對(duì)一類非線性雙曲偏微分方程,構(gòu)造顯式二次李雅普諾夫函數(shù)作為穩(wěn)態(tài)小擾動(dòng)的加權(quán)函數(shù),通過選擇適當(dāng)?shù)倪吔绶答伩刂?得到在H2范數(shù)下系統(tǒng)的局部指數(shù)穩(wěn)定性.針對(duì)一階運(yùn)輸方程:

?tr(t,x)+λ?xr(t,x)=0,t∈[0,∞),x∈(0,L),

(1)

其中,r(t,x)表示t時(shí)刻、x位置處的系統(tǒng)狀態(tài),λ>0表示系統(tǒng)的特征速度.文獻(xiàn)[13]研究了系統(tǒng)(1)在PI邊界反饋控制器下的穩(wěn)定性以及系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的參數(shù)取值范圍和相應(yīng)的時(shí)滯容許區(qū)間.此外,基于龐特里亞金定理,得出無論參數(shù)如何選取,系統(tǒng)(1)在PID邊界反饋控制器下總是不穩(wěn)定的結(jié)論．

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文研究如下帶有非齊次擾動(dòng)項(xiàng)的一維雙曲守恒律系統(tǒng):

?tr(t,x)+λ?xr(t,x)=r(t,x),

t∈[0,∞),x∈(0,L),

(2)

其中,r(t,x)表示在時(shí)刻t、位置x處的系統(tǒng)狀態(tài),λ>0為常數(shù),表示系統(tǒng)的特征速度.該系統(tǒng)可以刻畫種群生態(tài)學(xué)中生物種群受年齡結(jié)構(gòu)影響的現(xiàn)象,從而反映種群的現(xiàn)實(shí)狀況并推測(cè)種群的發(fā)生、發(fā)展過程．

對(duì)于系統(tǒng)(2),考慮具有如下形式的PID邊界反饋控制器:

(3)

其中,kp,ki,kd分別表示比例、積分、微分反饋控制參數(shù).特別地,當(dāng)kd=0時(shí),PID邊界反饋控制器(3)退化為PI邊界反饋控制器,即:

(4)

另外,本文還將進(jìn)一步研究如下形式的向量守恒律系統(tǒng):

(5)

在PI控制器

(6)

下的穩(wěn)定性問題．

本文主要針對(duì)文獻(xiàn)[13]在文末中所提出的開放性問題“對(duì)于具有擾動(dòng)項(xiàng)或者向量形式的雙曲守恒律系統(tǒng),是否可以采用類似的辦法對(duì)其分析”進(jìn)行詳盡討論.對(duì)于具有非齊次項(xiàng)的一維標(biāo)量守恒律系統(tǒng)(2)和一維向量守恒律系統(tǒng)(5),采用特征根分析法,討論了系統(tǒng)在PI和PID邊界反饋控制下的穩(wěn)定性,建立了系統(tǒng)參數(shù)的穩(wěn)定性區(qū)域,確定了時(shí)滯參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)間．

1 一維標(biāo)量守恒律系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本節(jié)將分析系統(tǒng)(2)、(4)及系統(tǒng)(2)、(3)的穩(wěn)定性．

1.1 系統(tǒng)(2)在PI控制器(4)下的穩(wěn)定性分析

1.1.1 特征多項(xiàng)式的建立 首先,利用特征線法計(jì)算系統(tǒng)(2)的解．

該系統(tǒng)的特征方程為

(7)

特征線為

x-λt=C.

(8)

作變量替換

ξ=x-λt,η=t.

(9)

此時(shí),

(10)

則系統(tǒng)(2)化為

(11)

對(duì)η積分得通解

r=eηg(ξ)=etg(x-λt),

(12)

其中,g為具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù).不妨設(shè)初始條件為t=0∶r=y(x),則有

t=0∶r=g(x)=y(x),

(13)

從而系統(tǒng)(2)的形式解為

r(t,x)=ety(x-λt).

(14)

將(14)代入到邊界條件(4)中,得到特征多項(xiàng)式為

(15)

系統(tǒng)(2)在PI控制器下所得的特征多項(xiàng)式(15)是含有一個(gè)指數(shù)項(xiàng)的超越多項(xiàng)式,為了分析閉環(huán)系統(tǒng)(2)(4)的穩(wěn)定性,即分析式(15)的所有零點(diǎn)是否位于復(fù)平面的左半平面,故引入單時(shí)滯系統(tǒng)的Walton-Marshall穩(wěn)定性準(zhǔn)則．

1.1.2 單時(shí)滯系統(tǒng)的Walton-Marshall穩(wěn)定性準(zhǔn)則 對(duì)于單時(shí)滯系統(tǒng),其特征多項(xiàng)式可表示為

c(μ)=f(μ)+g(μ)e-τμ,

(16)

其中,μ∈C表示系統(tǒng)的特征值,f(μ)與g(μ)是互素的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,記f(μ)和g(μ)的次數(shù)分別為p,q,且p≥q．

單時(shí)滯系統(tǒng)的Walton-Marshall穩(wěn)定性準(zhǔn)則分為下面三個(gè)步驟(詳見文獻(xiàn)[14]第五章和文獻(xiàn)[15])．

1) 分析時(shí)滯τ=0時(shí)的參數(shù)穩(wěn)定性條件．

2) 分析時(shí)滯從0增加到τ>0時(shí),特征值μ是如何變化的.根據(jù)f(μ)和g(μ)的次數(shù)可分為以下兩種情況.

當(dāng)p>q時(shí),系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的所有零點(diǎn)均位于復(fù)平面的左半平面內(nèi),不會(huì)發(fā)生穩(wěn)定性的切換．

當(dāng)p=q時(shí),系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的根可能穿過虛軸,此時(shí)考慮純虛根μ=iω,ω∈R.利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì),如果μ=iω是c(μ)=0的根,則-μ=-iω也是c(μ)=0的根.將μ=iω代入特征多項(xiàng)式(16)中并消去指數(shù)項(xiàng),得到一個(gè)關(guān)于ω2的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,用P表示:

P(ω2)=f(iω)f(-iω)-g(iω)g(-iω).

(17)

對(duì)于充分大的ω,只要實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式

P(ω2)>0

(18)

成立,則單時(shí)滯系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的．

3) 確定P的正根和時(shí)滯τ的容許區(qū)間,以及當(dāng)τ增加時(shí)這些根是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的.首先考慮方程P(ω2)=0是否存在正實(shí)根y=ω2,如果沒有,那么不會(huì)發(fā)生穩(wěn)定性切換,即:若無時(shí)滯情形下系統(tǒng)是穩(wěn)定的,則當(dāng)τ>0時(shí)系統(tǒng)將始終保持穩(wěn)定.如果方程P(ω2)=0有正實(shí)根,則必然會(huì)導(dǎo)致特征方程有純虛根,從而使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生切換.此時(shí),利用特征方程f(iω)+g(iω)e-iωτ=0,若g(iω)≠0,得到時(shí)滯τ滿足

(19)

求得時(shí)滯τ的臨界值后,進(jìn)而分析當(dāng)τ持續(xù)增大時(shí),特征根是否從左半平面穿過虛軸進(jìn)入右半平面,從而判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的．

注1文獻(xiàn)[15]還指出,對(duì)于非負(fù)根y≥0,如果P′(y)<0,則P是穩(wěn)定的;如果P′(y)>0,則P是不穩(wěn)定的.這里′表示的是對(duì)y求一階導(dǎo)數(shù)．

1.1.3 系統(tǒng)(2)(4)的穩(wěn)定性分析 接下來,利用單時(shí)滯系統(tǒng)的Walton-Marshall穩(wěn)定性準(zhǔn)則進(jìn)行分析．

1) 當(dāng)τ=0時(shí),特征多項(xiàng)式(15)變?yōu)?/p>

(1-kp)(1-μ)=ki,

(20)

即

(21)

此時(shí),無時(shí)滯系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)

(1-kp)(1-kp-ki)<0,

(22)

即

1-kp<0,1-kp-ki>0,

(23)

或

1-kp>0,1-kp-ki<0.

(24)

2) 在式(15)中,多項(xiàng)式f(μ)和g(μ)的次數(shù)p=q=1,故考慮純虛根μ=iω,ω∈R+.此時(shí),多項(xiàng)式(17)變?yōu)?/p>

P(ω2)=f(iω)f(-iω)-g(iω)g(-iω)=

(kp+ki-ikpω)(kp+ki+ikpω)-(1-iω)(1+iω)=

(25)

顯然,當(dāng)且僅當(dāng)

|kp|>1

(26)

時(shí),對(duì)充分大的ω,P(ω2)>0．

3) 確定P的正根和對(duì)應(yīng)的時(shí)滯臨界值．

由(25)和(26)可得,當(dāng)且僅當(dāng)

|kp+ki|<1

(27)

時(shí),多項(xiàng)式P存在正根,記作

(28)

此時(shí),由(19)可得

(29)

則

(30)

解得

j=0,±1,±2,….

考慮到τ>0,ω0>0,于是,

min{τ}?τ0=

(31)

其中,

(32)

定理1設(shè)邊界反饋參數(shù)kp,ki滿足條件(22)和(26),進(jìn)而,

1) 若|kp+ki|≥1,則對(duì)?τ>0,系統(tǒng)(2)、(4)均穩(wěn)定;

2) 若|kp+ki|<1,則系統(tǒng)(2)、(4)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)τ∈(0,τ0),其中,τ0的定義見(31)式．

1.2 系統(tǒng)(2)在PID控制器(3)下的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(2)在PID控制器(3)下的特征方程為

c(μ)=-[kd(1-μ)2+kp(1-μ)+ki]+

(1-μ)e-μτ=0,

(33)

這屬于Walton-Marshall穩(wěn)定性準(zhǔn)則中p>q的情形．

首先考慮極限情形τ=0,(33)退化為

-[kd(1-μ)2+kp(1-μ)+ki]+(1-μ)=0,

(34)

即

kd(1-μ)2+(kp-1)(1-μ)+ki=0.

(35)

于是,

(36)

其中,

Δ1=(kp-1)2-4kdki.

(37)

顯然,當(dāng)且僅當(dāng)如下三個(gè)條件:

(B1) Δ1≤0,kd(2kd+kp-1)<0;

(38)

之一成立時(shí),無時(shí)滯系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定.于是,結(jié)合Walton-Marshall穩(wěn)定性準(zhǔn)則得如下定理．

定理2系統(tǒng)(2)、(3)對(duì)任意的τ>0均穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)(38)中三個(gè)條件之一成立．

2 一維2×2雙曲守恒律系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

本節(jié)分析一維2×2向量守恒律系統(tǒng)(5)在PI控制器(6)下的穩(wěn)定性．

類似1.1.1小節(jié),利用特征線方法可求得系統(tǒng)(5)(6)的特征多項(xiàng)式為

c(μ)=(1-μ)(1+μ)-

(39)

接下來利用1.1.2部分單時(shí)滯系統(tǒng)的Walton-Marshall穩(wěn)定性準(zhǔn)則分析(39)的零點(diǎn)分布.結(jié)合(16)式,多項(xiàng)式f(μ)和g(μ)分別取為

f(μ)=1-μ2,

g(μ)=-[k3(1-μ)+k4][k1(1+μ)+k2].

(40)

(1-μ)(1+μ)-

[k3(1-μ)+k4][k1(1+μ)+k2]=0,

(41)

即

(k1k3-1)μ2-(k1k4-k2k3)μ-

(k1+k2)(k3+k4)+1=0,

(42)

解得

(43)

其中,

Δ2=(k2k3-k1k4)2-4(k1k3-1)·

[1-(k1+k2)(k3+k4)].

(44)

根據(jù)一元二次方程的性質(zhì),當(dāng)且僅當(dāng)

(C0) 1-(k1+k2)(k3+k4)≠0

(45)

及如下五個(gè)條件:

(C3) Δ2≤0且k1k4-k2k3>0,k1k3-1<0;

(C4) Δ2≤0且k1k4-k2k3<0,k1k3-1>0;

(C5)k1k3-1=0且(k1k4-k2k3)(k1k4+k2k3+k2k4)>0

(46)

之一成立時(shí),無時(shí)滯系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的．

2) 由(40)知,多項(xiàng)式f(μ)和g(μ)的次數(shù)均為2,故不妨考慮純虛根μ=iω,ω∈R+,此時(shí),多項(xiàng)式(17)變?yōu)?/p>

P(ω2)=f(iω)f(-iω)-g(iω)g(-iω)=

(1+ω2)2-

1-(k3+k4)2(k1+k2)2.

(47)

顯然,當(dāng)且僅當(dāng)

|k1k3|<1

(48)

或

(49)

時(shí),對(duì)充分大的ω,P(ω2)>0．

注2易知,針對(duì)情形(48),僅可取(46)中的條件(C1)或(C3)成立.針對(duì)情形(49),僅可取(46)中的條件(C1)、(C3)或(C5)成立．

3) 確定P的正根以及當(dāng)τ增加時(shí)這個(gè)根是否穩(wěn)定．

下面分兩種情形展開討論.

①針對(duì)情形(48),令y=ω2>0,由(47)可得

(50)

其中,

(51)

為方便討論,設(shè)如下條件:

(C6) Δ3<0;

(C7) Δ3≥0且y1,2<0;

(C8) Δ3≥0且y1,2>0;

(C9) Δ3≥0且y1>0,y2<0.

(52)

如果參數(shù)滿足條件(C6)或(C7),則P(ω2)=0無正根.如果參數(shù)滿足條件(C8),由于

(53)

所以y=y1這個(gè)較大根是不穩(wěn)定的,而y=y2是穩(wěn)定的根.如果參數(shù)滿足條件(C9),結(jié)論類似可得.進(jìn)而,考慮到

(54)

則

(55)

于是,

(56)

(57)

其中,

(58)

②針對(duì)情形(49),此時(shí),

1-(k3+k4)2(k1+k2)2.

(59)

于是,

(60)

是P(ω2)=0的唯一解.如果

(k3+k4)2(k1+k2)2-1>0,

(61)

則y=ω2為唯一正解,且容易驗(yàn)證,這是穩(wěn)定的正根.否則,P(ω2)=0無正根．

綜上分析,得出如下定理．

定理3假設(shè)邊界反饋參數(shù)滿足條件(C0):(k3+k4)(k1+k2)≠1．

1) 若ki滿足條件(48),且條件(C1)或(C3)成立,則

①當(dāng)(C6)或(C7)之一成立時(shí),對(duì)?τ>0,系統(tǒng)(5)(6)均穩(wěn)定;

2) 若ki滿足條件(49),且條件(C1)、(C3)或(C5)之一成立,則對(duì)?τ>0,系統(tǒng)(5)、(6)均穩(wěn)定．

注3對(duì)于系統(tǒng)(5),考慮如下的PID控制器:

(62)

則相應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

c(μ)=(1-μ)(1+μ)-

[k6(1-μ)2+k3(1-μ)+k4][k5(1+μ)2+

k1(1+μ)+k2]e-μτ,

(63)

f(μ)=(1-μ)(1+μ),

g(μ)=-[k6(1-μ)2+k3(1-μ)+k4][k5(1+μ)2+

k1(1+μ)+k2].

(64)

顯然,f的次數(shù)小于g的次數(shù),故Walton-Marshall穩(wěn)定性準(zhǔn)則不再適用．

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將利用MATLAB工具進(jìn)行數(shù)值模擬,進(jìn)一步說明系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(5)在PI控制器和PID控制器下的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)．

例1對(duì)于系統(tǒng)(2),設(shè)

取(4)中邊界反饋參數(shù)為

kp=2,ki=-2,|kp+ki|=0<1,

圖1 r(t,x)在系統(tǒng)(2)、(4)中的收斂性

例2對(duì)于系統(tǒng)(2)(3),取邊界反饋參數(shù)為

kp=-2,ki=2.25,kd=1,

此時(shí)滿足條件

(B1) Δ1=0且kd(2kd+kp-1)=-1<0,

圖2 r(t,x)在系統(tǒng)(2)、(3)中的收斂性

例3對(duì)于系統(tǒng)(5)(6),取邊界反饋參數(shù)為

k1=1,k2=2,k3=0.3,k4=1,

此時(shí)滿足條件

(C0):(k3+k4)(k1+k2)=3.9≠1,

且滿足條件

|k1k3|=0.3<1,

以及條件

(C3): Δ2=(k2k3-k1k4)2-4(k1k3-1)[1-(k1+k2)(k3+k4)]=-7.96<0,且k1k4-k2k3=0.4>0,k1k3-1=-0.7<0;

圖3 r(t,x)在系統(tǒng)(5)、(6)中的收斂性

4 結(jié)論

本文首先建立了具有非齊次擾動(dòng)項(xiàng)的雙曲型偏微分方程(組)系統(tǒng),利用特征線方法得到其形式解,并結(jié)合PI/PID邊界反饋控制條件計(jì)算特征多項(xiàng)式.其次,采用Walton-Marshall穩(wěn)定性準(zhǔn)則分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件,得到了反饋參數(shù)的耗散性條件以及相應(yīng)的時(shí)滯容許區(qū)間;最后,采用Matlab數(shù)學(xué)軟件仿真進(jìn)一步佐證結(jié)論的合理和有效性．