具有無癥狀感染者和時滯的媒介傳染病模型的分析

閆娟娟, 雒志學, 高文哲

(蘭州交通大學數理學院, 蘭州 730070)

傳染病嚴重危害人類的健康,如登革熱,霍亂等給人類的生存帶來了巨大的災難.眾所周知,疾病發展的過程中,了解傳染率至為關鍵,目前已有大量學者建立了具有雙線性發生率和標準發生率的傳染病模型.在現實生活中,傳染病一般會有潛伏期,當易感者與染病者接觸感染后,先是攜帶病毒,但病毒不會立即爆發,而是經過一段時間才發病成為染病者,這一過程在數學模型中通常用時滯來表示.文獻[1]對具有雙線性發生率的時滯傳染病模型進行了分析,對平衡點進行了討論,證明了滿足某些條件時時滯可以導致Hopf分支的產生,并討論了分支的性質.隨著染病者行為的變化,發生率會趨近于飽和狀態,因此采用飽和發生率更加符合實際.文獻[2]研究了具有飽和發生率的媒介傳染病模型,文獻[3-9]對具有飽和發生率和潛伏期時滯的傳染病模型進行了分析,討論了在一定條件下平衡點的穩定性,間接說明時滯也許不會給疾病的傳播帶來影響.文獻[10]研究了具有飽和發生率和免疫期時滯的傳染病模型,給出了平衡點全局穩定性的條件,證明了時滯可以導致地方病平衡點的穩定性發生變化從而在該平衡點存在Hopf分支.在文獻[11-13]中,學者對具有時滯的媒介傳染病模型進行了研究.無癥狀感染者由于沒有明顯的特征而被忽略,從而低估疫情爆發的風險.上述模型均沒有考慮無癥狀感染者.本文在文獻[2]的基礎上討論了一類具有無癥狀感染者和時滯影響的媒介傳染病模型．

1 模型的建立

在文獻[2]的基礎上本文建立如下具有時滯的媒介傳染病模型:

(1)

其中,Sh(t)、Ia(t)、Ib(t)、Rh(t)分別表示人群中的易感者,無癥狀的感染者,有癥狀的感染者,恢復者.Sv(t)、Iv(t)分別表示易感媒介,染病媒介.Λh,Λv分別表示人群和媒介的補充率,β1表示染病媒介對易感人群的感染率,β2表示染病人群對易感媒介的感染率,μh表示人群中的自然死亡率,μv表示媒介的自然死亡率,γa表示無癥狀感染者的恢復率,γb表示有癥狀感染者的恢復率,da表示無癥狀感染者的因病死亡率,db表示有癥狀感染者的因病死亡率,αi(i=1,2,3)表示飽和發生率,p表示無癥狀感染者向易感媒介傳播疾病的概率,θ表示易感者與染病媒介所接觸成為無癥狀感染者的概率,τ為時滯,表示疾病的潛伏期.

模型的初始條件滿足:

Sh(θ)=φ1(θ),Ia(θ)=φ2(θ),

Ib(θ)=φ3(θ),Iv(θ)=φ4(θ),φi(θ)>0,φi(0)>0(i=1,2,3,4),θ∈[-τ,0].

(2)

(3)

下面證明Ω是系統(3)的正向不變集．

引理1設(Sh(t),Ia(t),Ib(t),Iv(t))是系統(3)滿足初值條件(2)的解,當t≥0時,(Sh(t),Ia(t),Ib(t),Iv(t))是有界的．

2 平衡點的存在性和基本再生數

R0=

k1=μh+γa+da,k2=μh+γb+db.

(4)

其中,

3 穩定性分析

3.1 平衡點E0的穩定性分析

局部穩定性的證明類似于文獻[14]中的證明,因此得到如下定理．

定理2當R0<1且τ≥0時,平衡點E0是局部漸近穩定的;當R0>1時,E0是不穩定的．

定理3當R0<1時,系統(3)的平衡點E0是全局漸近穩定的．

證明構造Lyapunov函數

V=Z1Ia+Z2Ib+Iv+

其中,

k1=μh+γa+da,k2=μh+γb+db,

則V關于系統(3)的導數為

3.2 平衡點E*的穩定性分析及Hopf分支存在的條件

定理4當R0>1時,平衡點E*是局部漸近穩定的．

證明系統(3)在平衡點E*處所對應的特征方程為

λ4+c1λ3+c2λ2+c3λ+

(d1λ2+d2λ+d3)e-λτ+c4=0,

(5)

其中,

c1=h1+k1+k2+h2,c2=k2h2+k1k2+k1h2+h1k2+h1h2+h1k1,c3=h1k2h2+k1k2h2+h1k1k2+h1k1h2,c4=h1k1k2h2,d1=cm2+m1b,d2=cm2k1+cm2h1-adm1-aem2+(h1+k2)m1b,d3=h1cm2k1+h1m1bk2-adm1k2-aem2k1,

其中,

k1=μh+γa+da,k2=μh+γb+db,

1) 當τ=0時,方程(5)變為

λ4+c1λ3+(c2+d1)λ2+(c3+d2)λ+

d3+c4=0.

(6)

根據Hurwitz判別法,(6)式的每一個根均有負實部,因此,當R0>1且τ=0時,系統(3)的平衡點E*局部漸近穩定．

2) 當τ>0時,設λ=iω(ω>0)是方程(5)的一個純虛根,分離實部與虛部得

(7)

將(7)式的兩個方程分別平方后再相加得

ω8+B1ω6+B2ω4+B3ω2+B4=0,

(8)

其中,

(9)

令w2=y,則方程(8)變為

y4+B1y3+B2y2+B3y+B4=0.

(10)

定義

根據文獻[15]中根的分布可以得到方程(10)的根有以下結論.

1) 若B4<0,則方程(10)必有一個正實根．

2) 若Δ≥0,B4≥0,當且僅當y1>0,h(y1)<0時,方程(10)存在正實根．

3) 若Δ<0,B4≥0,當且僅當存在一個y*∈(y1,y2,y3),使得y*>0,h(y*)≤0,則方程(10)至少存在一個正實根．

其中,

當τ=τ0、λ=iω0時,可以得到

其中,

d2,

2d1ω0,

綜上所述,可以得到如下定理.

定理5當R0>1且β1V1+β2V2≠0時,

1) 當τ∈[0,τ0)時,系統(3)的地方病平衡點是局部漸近穩定的;

2) 當τ>τ0時,系統(3)的地方病平衡點是不穩定的;

3) 當τ=τ0時,系統(3)在地方病平衡點E*處產生Hopf分支．

4 Hopf分支方向和周期解的穩定性

4.1 建立抽象微分方程

如果τ=μ+τ0,則在μ=0處,系統(3)將會在地方病平衡點E*處產生Hopf分支,即μ=0為系統(3)產生Hopf分支的分支值．

x′(t)=Lμxt+f(μ,xt),

(11)

其中,x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t),x4(t))T∈R4,Lμ:D→D4,f:R×D→R4.

當φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)∈D([-1,0],R4)時,有

Lμ(φ)=

(12)

其中,

(13)

其中,

由Riesz表示定理可知,存在一個有界變差函數η(θ,μ),θ∈[-1,0],使得

(14)

事實上,可以令

(15)

其中,

對于φ∈C([-1,0],R4),定義

則系統(11)轉化為

x′(t)=Aμxt+Rμxt,

(16)

其中,xt(θ)=(x1(t+θ),x2(t+θ),x3(t+θ),x4(t+θ)),θ∈[-1,0]．

4.2 Hopf分支的方向和穩定性

對于φ∈C([-1,0],R4),定義A的伴隨算子A*如下,

對于φ,φ∈C,定義雙線性內積為

(17)

其中,η(θ)=η(θ,0),A(0)與A*是一對共軛算子.±iω0τ0是A(0)的特征根,則它也是A*的特征根,下面計算A(0)關于特征根iω0τ0的特征向量以及A*關于特征值-iω0τ0的特征向量．

假設p(θ)=(1,p1(0),p2(0),p3(0))Teiω0τ0θ是A(0)關于特征值iω0τ0的特征向量,于是有A(0)p(θ)=iω0τ0p(θ),計算可得

由(17)式得

〈p*(s),p(θ)〉=

(1,p1,p2,p3)Teiω0τ0ξdξ=

為了確保〈p*(s),p(θ)〉=1,令

根據文獻[16]中Hassard提出的方法可以得到一些重要的系數:

其中,

(18)

下面求B1,B2,當θ=0時,有

(19)

因此有

K11(0)=

(20)

將(18)式的第一個式子和(20)式的第一個式子代入(19)式的第一個式子得

等價于

同理將(18)式的第二個式子和(20)式的第二個式子代入(19)式的第二個式子得:

求出B1、B2的值后可分別代入W20(θ),W11(θ)的表達式中,進一步也可以算出g21.因此可以算出下列表達式的值:

(21)

綜上所述得到以下定理.

定理6當τ=τ0時,分支周期解的性質由(21)的各個表達式決定,因而得到以下3個結論.

1) Hopf分支的方向由μ2的符號決定,若μ2>0(μ2<0),則Hopf分支是超臨界的(亞臨界的)．

2) 分支周期解的穩定性由β2的符號決定,若β2<0(β2>0),分支周期解是穩定的(不穩定的)．

3) 分支周期解的大小由T2的符號決定,若T2>0(T2<0),分支周期解的周期增大(減小)．

5 結論

本文是在文獻[2]的基礎上,同時考慮無癥狀感染者和潛伏期時滯的媒介傳染病模型.通過分析得到以下結論:1) 當τ≥0且R0<1時,平衡點E0是全局漸近穩定的,疾病不再存在.當R0>1且τ=0時,平衡點e*是局部漸近穩定的;2) 當R0>1且0≤τ<τ0時,平衡點e*局部漸近穩定,τ>τ0地方病平衡點不穩定;3) 當R0>1且時滯τ經過臨界值τ0時,地方病平衡點的穩定性喪失,從而這個平衡點處出現Hopf分支,利用Hassard等[16]提出的規范型理論和中心流形定理分析了分支方向和周期解的穩定性.這種媒介傳染病模型的研究,對預防和控制此類傳染病有著非常重要的作用．