“三正切公式”的巧用:基于一道教材習(xí)題的探究

陳 婷

? 江蘇省海安高級中學(xué)

隨著新高考改革的不斷推進(jìn),回歸教材、嚴(yán)抓基礎(chǔ)已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵詞與熱點(diǎn),特別是新高考中,越來越多的高考數(shù)學(xué)試題都可以在教材中尋覓到其“影蹤”.此類高考數(shù)學(xué)試題基于教材,通過深入挖掘、合理改編、巧妙變形、創(chuàng)新應(yīng)用等手段,賦予教材中的例(習(xí))題等一個(gè)全新的情境、創(chuàng)新的生命,進(jìn)而合理承載教學(xué)示范,引導(dǎo)教學(xué)改革,倡導(dǎo)創(chuàng)新應(yīng)用,逐步成為新高考數(shù)學(xué)試卷命題的一種新導(dǎo)向與新熱點(diǎn).

1 源于教材

習(xí)題〔人教版《數(shù)學(xué)》(必修第一冊)復(fù)習(xí)參考題5第254頁第12題第(1)小題〕證明:tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β).

2 新結(jié)論展示

對于以上習(xí)題,取其特殊情況:在斜三角形ABC中,令α=A,β=B,則有A+B=α+β=π-C,代入上面習(xí)題對應(yīng)的三角關(guān)系式中,可得tanA+tanB=tan(A+B)-tanAtanBtan(A+B),則有tanA+tanB=tan(π-C)-tanAtanBtan(π-C),結(jié)合誘導(dǎo)公式有tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

這是在以上習(xí)題的特殊情境下導(dǎo)出的新結(jié)論,也是斜三角形中三個(gè)內(nèi)角的正切函數(shù)值之間的一個(gè)重要恒等式.

結(jié)論：在斜三角形ABC中,恒有關(guān)系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立.

以上三角恒等式中,合理構(gòu)建了斜三角形中三個(gè)內(nèi)角的正切值之和與正切值乘積相等的特殊結(jié)構(gòu)特征,因而將以上這個(gè)斜三角形中有關(guān)三內(nèi)角所滿足的三角恒等式稱為三角形的“三正切公式”.

將以上有關(guān)三角形的“三正切公式”進(jìn)一步加以深入與推廣,發(fā)散思維,變式拓展,得到以下幾個(gè)對應(yīng)的推廣結(jié)論.

推廣1若角A,B,C滿足A+B+C=kπ(k∈Z),且tanA,tanB,tanC都有意義時(shí),恒有關(guān)系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立.

推廣2若tan(x-y),tan(y-z),tan(z-x)都有意義時(shí),恒有關(guān)系式tan(x-y)+tan(y-z)+tan(z-x)=tan(x-y)tan(y-z)tan(z-x)成立.

3 結(jié)論應(yīng)用

借助三角形的“三正切公式”及其相應(yīng)的推廣,可以直接跳過兩角和正切公式的應(yīng)用與變形處理,在解決一些與三角形有關(guān)的正切函數(shù)問題中有奇效,可以優(yōu)化解題過程,提升解題效益.

3.1 三角求值問題

分析：通過條件中三角函數(shù)關(guān)系式的通分變形及恒等轉(zhuǎn)化,利用三角形的“三正切公式”構(gòu)建三角形三內(nèi)角正切值的關(guān)系式,再次代入三角形的“三正切公式”即可求解.

化簡,得tanAtanBtanC=2(tanA+tanB).

根據(jù)三角形的“三正切公式”,整理可得2(tanA+tanB)=tanA+tanB+tanC,則有tanA+tanB=tanC.

代入三角形的“三正切公式”,有tanAtanBtanC=2tanC,即tanAtanB=2.

故填答案:2.

點(diǎn)評：抓住題設(shè)中的三角函數(shù)關(guān)系式,合理進(jìn)行三角恒等變換并兩次利用三角形的“三正切公式”,借助整體思維與方程思維,為問題的破解與三角函數(shù)式的求值指明方向.在具體求值與應(yīng)用的過程中,三角函數(shù)式的整體思維與應(yīng)用是關(guān)鍵.

例2已知△ABC的內(nèi)角為A,B,C.若tanA,tanB,tanC均為正整數(shù),則tanA+tanB+tanC=______.

分析：根據(jù)三角形中三內(nèi)角的大小限定,通過反證法確定三角形中最小角的正切值,并結(jié)合三角形的“三正切公式”進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化,構(gòu)建關(guān)于三角形中另外兩個(gè)內(nèi)角的三角關(guān)系式,借助正切值為正整數(shù)來解對應(yīng)的方程得以確定對應(yīng)的正切值,實(shí)現(xiàn)問題的破解.

解析：不失一般性,不妨設(shè)A0.

由題設(shè)知tanB,tanC均為正整數(shù),且滿足B

所以tanA+tanB+tanC=1+2+3=6.

故填答案:6.

點(diǎn)評：根據(jù)三角形三內(nèi)角的正切值都是正整數(shù),借助反證法確定三角形中最小角的正切值,是問題解決的切入點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn),而進(jìn)一步利用三角形的“三正切公式”構(gòu)建涉及兩內(nèi)角正切值的函數(shù)關(guān)系式,通過方程的求解與應(yīng)用,可以實(shí)現(xiàn)問題的突破與巧妙求解.

3.2 最值應(yīng)用問題

例3(2016年高考數(shù)學(xué)江蘇卷·14)在銳角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,則tanA·tanBtanC的最小值是______.

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和與誘導(dǎo)公式等,化題設(shè)條件中的三角關(guān)系式為角B和C的關(guān)系式,得到涉及這兩角正切值的關(guān)系式,綜合利用三角形的“三正切公式”和基本不等式,確定三角關(guān)系式的最值問題.

解析：在銳角三角形ABC中,tanA,tanB,tanC均為正數(shù).

結(jié)合三角形的基本性質(zhì),可得sinA=sin(B+C)=2sinBsinC.

利用三角恒等變換公式,展開有sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,整理得tanB+tanC=2tanBtanC.

故填答案:8.

點(diǎn)評：以上問題中,巧妙把三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換以及基本不等式等眾多知識加以交匯融合,借助三角形“三正切公式”的轉(zhuǎn)化,綜合三角函數(shù)思維、函數(shù)與方程思維、不等式思維等的創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)問題的解決.

4 教學(xué)啟示

4.1 回歸教材,落實(shí)基礎(chǔ)

眾里尋根千百度,根源卻在教材例(習(xí))題處.各類試題,包括高考試題、競賽試題等,均呈現(xiàn)出回歸教材的趨勢.由此可見,高中數(shù)學(xué)教材是命題最好的“母題庫”.

回歸教材,從教材的基本知識點(diǎn),以及例題、習(xí)題等眾多視角進(jìn)行深入挖掘,從問題情境、數(shù)學(xué)背景、知識演變、知識交匯、思維融合等多個(gè)層面和多個(gè)視角進(jìn)行合理深入與探究,全面領(lǐng)悟并傳承高中數(shù)學(xué)教材中對應(yīng)例(習(xí))題的教學(xué)價(jià)值,真正有效分享高中數(shù)學(xué)教材題源的經(jīng)典與智慧,繼承并發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)精神.

4.2 總結(jié)規(guī)律,拓展提升

借助數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與思想方法等,進(jìn)行合理的拓展與探究,進(jìn)一步總結(jié)歸納得到一些相應(yīng)的規(guī)律或結(jié)論——“二級結(jié)論”,是對基礎(chǔ)知識與思想方法等的再加工、再探究,進(jìn)而更加有效地解決一些相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,實(shí)現(xiàn)對相關(guān)知識的理解與掌握,提升數(shù)學(xué)能力,優(yōu)化解題過程,提升解題效益,拓展數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).Z