“三正切公式”的巧用:基于一道教材習題的探究

陳 婷

? 江蘇省海安高級中學

隨著新高考改革的不斷推進,回歸教材、嚴抓基礎已經成為高中數學課堂教學與學習中的關鍵詞與熱點,特別是新高考中,越來越多的高考數學試題都可以在教材中尋覓到其“影蹤”.此類高考數學試題基于教材,通過深入挖掘、合理改編、巧妙變形、創新應用等手段,賦予教材中的例(習)題等一個全新的情境、創新的生命,進而合理承載教學示范,引導教學改革,倡導創新應用,逐步成為新高考數學試卷命題的一種新導向與新熱點.

1 源于教材

習題〔人教版《數學》(必修第一冊)復習參考題5第254頁第12題第(1)小題〕證明:tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β).

2 新結論展示

對于以上習題,取其特殊情況:在斜三角形ABC中,令α=A,β=B,則有A+B=α+β=π-C,代入上面習題對應的三角關系式中,可得tanA+tanB=tan(A+B)-tanAtanBtan(A+B),則有tanA+tanB=tan(π-C)-tanAtanBtan(π-C),結合誘導公式有tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

這是在以上習題的特殊情境下導出的新結論,也是斜三角形中三個內角的正切函數值之間的一個重要恒等式.

結論：在斜三角形ABC中,恒有關系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立.

以上三角恒等式中,合理構建了斜三角形中三個內角的正切值之和與正切值乘積相等的特殊結構特征,因而將以上這個斜三角形中有關三內角所滿足的三角恒等式稱為三角形的“三正切公式”.

將以上有關三角形的“三正切公式”進一步加以深入與推廣,發散思維,變式拓展,得到以下幾個對應的推廣結論.

推廣1若角A,B,C滿足A+B+C=kπ(k∈Z),且tanA,tanB,tanC都有意義時,恒有關系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立.

推廣2若tan(x-y),tan(y-z),tan(z-x)都有意義時,恒有關系式tan(x-y)+tan(y-z)+tan(z-x)=tan(x-y)tan(y-z)tan(z-x)成立.

3 結論應用

借助三角形的“三正切公式”及其相應的推廣,可以直接跳過兩角和正切公式的應用與變形處理,在解決一些與三角形有關的正切函數問題中有奇效,可以優化解題過程,提升解題效益.

3.1 三角求值問題

分析：通過條件中三角函數關系式的通分變形及恒等轉化,利用三角形的“三正切公式”構建三角形三內角正切值的關系式,再次代入三角形的“三正切公式”即可求解.

化簡,得tanAtanBtanC=2(tanA+tanB).

根據三角形的“三正切公式”,整理可得2(tanA+tanB)=tanA+tanB+tanC,則有tanA+tanB=tanC.

代入三角形的“三正切公式”,有tanAtanBtanC=2tanC,即tanAtanB=2.

故填答案:2.

點評：抓住題設中的三角函數關系式,合理進行三角恒等變換并兩次利用三角形的“三正切公式”,借助整體思維與方程思維,為問題的破解與三角函數式的求值指明方向.在具體求值與應用的過程中,三角函數式的整體思維與應用是關鍵.

例2已知△ABC的內角為A,B,C.若tanA,tanB,tanC均為正整數,則tanA+tanB+tanC=______.

分析：根據三角形中三內角的大小限定,通過反證法確定三角形中最小角的正切值,并結合三角形的“三正切公式”進行變形與轉化,構建關于三角形中另外兩個內角的三角關系式,借助正切值為正整數來解對應的方程得以確定對應的正切值,實現問題的破解.

解析：不失一般性,不妨設A0.

由題設知tanB,tanC均為正整數,且滿足B

所以tanA+tanB+tanC=1+2+3=6.

故填答案:6.

點評：根據三角形三內角的正切值都是正整數,借助反證法確定三角形中最小角的正切值,是問題解決的切入點與關鍵點,而進一步利用三角形的“三正切公式”構建涉及兩內角正切值的函數關系式,通過方程的求解與應用,可以實現問題的突破與巧妙求解.

3.2 最值應用問題

例3(2016年高考數學江蘇卷·14)在銳角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,則tanA·tanBtanC的最小值是______.

分析：根據三角形的內角和與誘導公式等,化題設條件中的三角關系式為角B和C的關系式,得到涉及這兩角正切值的關系式,綜合利用三角形的“三正切公式”和基本不等式,確定三角關系式的最值問題.

解析：在銳角三角形ABC中,tanA,tanB,tanC均為正數.

結合三角形的基本性質,可得sinA=sin(B+C)=2sinBsinC.

利用三角恒等變換公式,展開有sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,整理得tanB+tanC=2tanBtanC.

故填答案:8.

點評：以上問題中,巧妙把三角形的內角和定理、誘導公式、同角三角函數基本關系式、三角恒等變換以及基本不等式等眾多知識加以交匯融合,借助三角形“三正切公式”的轉化,綜合三角函數思維、函數與方程思維、不等式思維等的創設與應用,實現問題的解決.

4 教學啟示

4.1 回歸教材,落實基礎

眾里尋根千百度,根源卻在教材例(習)題處.各類試題,包括高考試題、競賽試題等,均呈現出回歸教材的趨勢.由此可見,高中數學教材是命題最好的“母題庫”.

回歸教材,從教材的基本知識點,以及例題、習題等眾多視角進行深入挖掘,從問題情境、數學背景、知識演變、知識交匯、思維融合等多個層面和多個視角進行合理深入與探究,全面領悟并傳承高中數學教材中對應例(習)題的教學價值,真正有效分享高中數學教材題源的經典與智慧,繼承并發揚數學精神.

4.2 總結規律,拓展提升

借助數學基礎知識與思想方法等,進行合理的拓展與探究,進一步總結歸納得到一些相應的規律或結論——“二級結論”,是對基礎知識與思想方法等的再加工、再探究,進而更加有效地解決一些相應的數學問題,實現對相關知識的理解與掌握,提升數學能力,優化解題過程,提升解題效益,拓展數學思維,培養數學核心素養.Z