同構函數(shù),妙解三角

程全平

? 江蘇省揚州市仙城中學

三角函數(shù)是高中數(shù)學的基本知識內容之一,也是高考考查的主干知識之一.三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù),在解決一些相關的三角函數(shù)問題時,經(jīng)常可以借助同構函數(shù),回歸函數(shù)本質,挖掘函數(shù)內涵,利用函數(shù)的相關概念、基本性質、圖象等來巧妙轉化并加以處理.特別在解決三角函數(shù)中的參數(shù)取值、求函數(shù)值、大小比較、不等式證明等方面都有奇效[1].

1 參數(shù)取值

三角函數(shù)中的一些參數(shù)取值問題,經(jīng)常借助同構函數(shù)思維,結合函數(shù)的基本性質來恒等變形與轉化,為參數(shù)取值的求解提供條件[2].

例1(2022年廣東省汕頭市普通高考第二次模擬考試數(shù)學試卷·16)若cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ)(θ∈[0,2π)),則θ的取值范圍是______.

分析：根據(jù)題設條件,抓住三角關系式的共性特征進行恒等變形與巧妙轉化.利用三角函數(shù)同名歸類,借助不等式的恒等變形,尋找不等式兩邊的共性,巧妙同構函數(shù),進一步利用導數(shù),合理確定函數(shù)的單調性,進而利用函數(shù)單調性來轉化不等式,即可確定θ的取值范圍.

解析：由cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),移項整理,可得cos5θ+7cos3θ

同構函數(shù)f(x)=x5+7x3,x∈[-1,1],那么不等式cos5θ+7cos3θ

求導可得f′(x)=5x4+21x2≥0,則知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).

由f(cosθ)

點評：同構函數(shù)來處理,相比三角恒等變形與轉化來說,更加簡單快捷,處理起來也更加巧妙.當然,對于同構函數(shù)單調性的判斷,也可以采用其他方式,如以上問題中先判斷冪函數(shù)y=x3和y=x5在相應區(qū)間上的單調性,再綜合函數(shù)的運算形式與對應的單調性性質來確定函數(shù)f(x)的單調性.而由三角不等式確定角的取值范圍時,也可以利用輔助角公式,結合三角不等式,借助三角函數(shù)的圖象與性質來轉化.

2 求函數(shù)值

三角函數(shù)的求值問題中,有時比較復雜難以直接下手,可以觀察三角關系式的結構特征,合理恒等變形,巧妙同構函數(shù),利用函數(shù)的基本性質來變形與應用,實現(xiàn)求函數(shù)值的目的.

分析：根據(jù)題中三角函數(shù)的特殊值,有意識地確定兩個特殊角滿足三角函數(shù)關系式,同構三角函數(shù),確定其周期,結合求導處理以及三角函數(shù)關系式的恒等變形(和差化積公式),利用三角函數(shù)在一個周期長度內的單調性來確定對應角的取值,從而得以求解對應的三角函數(shù)值.

故選擇答案:AC.

點評：此題以三角等式為問題背景,結合條件來求解相應的三角函數(shù)值.常用的解題方法就是利用三角函數(shù)的公式變形來處理,過程比較繁雜,運算量比較大.而抓住特殊角滿足的三角等式加以切入,巧妙同構三角函數(shù),借助導數(shù)法來處理,思維性較強,可以減少數(shù)學運算,優(yōu)化解題過程[3].

3 大小比較

三角函數(shù)中也存在一些比較變量大小關系的問題,經(jīng)常可以借助題設條件,尋找特征,同構函數(shù),進而利用函數(shù)的基本性質來合理轉化與巧妙應用,實現(xiàn)大小關系的判斷.

例3已知實數(shù)a,b滿足asina-4bsinbcosb=4b2-a2+1,則以下各選項中大小關系正確的是( ).

A.a>2bB.a<2b

C.|a|>|2b| D.|a|<|2b|

分析：根據(jù)題設條件,結合題設中的等式進行同一參數(shù)的變形轉化,實現(xiàn)等式兩邊的同型轉化,巧妙同構函數(shù);結合函數(shù)的奇偶性,以及借助導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性,進而利用函數(shù)的基本性質來綜合分析與處理,實現(xiàn)參數(shù)大小關系的判斷.

解析：由asina-2bsin 2b=4b2-a2+1,可得asina+a2=4b2+2bsin 2b+1.

又由于asina+a2=(2b)2+2bsin 2b+1>(2b)2+2bsin 2b,因此同構函數(shù)f(x)=xsinx+x2,x∈R.

因為f(-x)=-xsin(-x)+(-x)2=xsinx+x2=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

求導,可得f′(x)=sinx+xcosx+2x.

所以當x≥0時,f′(x)≥0,則知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上為增函數(shù).

由asina+a2>(2b)2+2bsin 2b,可得f(a)>f(2b).又函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(|a|)≥f(|2b|),可得|a|>|2b|.

故選擇答案:C.

點評：在解決此類三角函數(shù)問題時,經(jīng)常要通過三角恒等變換,利用一些相關的關系加以變形,從而尋找問題的同型,實現(xiàn)地位同等策略同構函數(shù)的目的,進而借助函數(shù)的基本性質來比較大小.

4 不等式證明

三角函數(shù)中的不等式證明問題,有時也可以借助代數(shù)關系式的結構特征,尋找共性,同構函數(shù),通過函數(shù)的基本性質,從函數(shù)的思維視角來解決.

例4在銳角三角形ABC中,A,B,C是該三角形的三個內角,試證明:sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2.

分析：結合題目所要證明的三角不等式,以其中一個內角的正弦值為主元進行恒等變形,通過同構函數(shù),利用銳角三角形各內角的正弦值的取值情況來確定一次函數(shù)的單調性,并結合對應的函數(shù)值,巧妙轉化思維,綜合利用函數(shù)的單調性來證明對應的三角不等式問題.

證明：要證sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2,即證(sinAsinB-1)sinC-(sinA+sinB)+2>0.

同構函數(shù)f(x)=(sinAsinB-1)x-(sinA+sinB)+2,x∈(0,1).

而f(1)=sinAsinB-1-(sinA+sinB)+2=(1-sinA)(1-sinB)>0(這里0

結合sinAsinB-1<0,可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減.

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上恒有f(x)>f(1)>0,則有f(sinC)>0.

因此f(sinC)=(sinAsinB-1)sinC-(sinA+sinB)+2>0.

變形轉化,可得sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2成立,不等式得證.

點評：在解決以上三角不等式的證明問題時,如果沒有頭緒或無從下手,可以合理改變解題方向,通過題目的條件或結論的分析與考查,合理拓展思維,借助主元法等其他方法加以巧妙變形與轉化,同構出與問題有關的基本初等函數(shù),利用相應函數(shù)的相關知識來尋找與轉化解決問題的方法與途徑,實現(xiàn)問題的巧妙破解.

在破解一些三角函數(shù)的相關問題時,關鍵是抓住題目中三角函數(shù)關系式的結構特征,慧眼識別與尋找同型或共性,特別是結合三角恒等變形,巧妙抽象,合理同構函數(shù),利用共性,將一些不熟知的三角函數(shù)問題轉化為與之相關的其他基本初等函數(shù)問題來分析與處理,不斷增強創(chuàng)新意識、同構意識等,提升創(chuàng)新應用能力,拓展思維,形成數(shù)學能力,培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).