同構函數,妙解三角

程全平

? 江蘇省揚州市仙城中學

三角函數是高中數學的基本知識內容之一,也是高考考查的主干知識之一.三角函數作為一種特殊的函數,在解決一些相關的三角函數問題時,經常可以借助同構函數,回歸函數本質,挖掘函數內涵,利用函數的相關概念、基本性質、圖象等來巧妙轉化并加以處理.特別在解決三角函數中的參數取值、求函數值、大小比較、不等式證明等方面都有奇效[1].

1 參數取值

三角函數中的一些參數取值問題,經常借助同構函數思維,結合函數的基本性質來恒等變形與轉化,為參數取值的求解提供條件[2].

例1(2022年廣東省汕頭市普通高考第二次模擬考試數學試卷·16)若cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ)(θ∈[0,2π)),則θ的取值范圍是______.

分析：根據題設條件,抓住三角關系式的共性特征進行恒等變形與巧妙轉化.利用三角函數同名歸類,借助不等式的恒等變形,尋找不等式兩邊的共性,巧妙同構函數,進一步利用導數,合理確定函數的單調性,進而利用函數單調性來轉化不等式,即可確定θ的取值范圍.

解析：由cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),移項整理,可得cos5θ+7cos3θ

同構函數f(x)=x5+7x3,x∈[-1,1],那么不等式cos5θ+7cos3θ

求導可得f′(x)=5x4+21x2≥0,則知函數f(x)在區間[-1,1]上是增函數.

由f(cosθ)

點評：同構函數來處理,相比三角恒等變形與轉化來說,更加簡單快捷,處理起來也更加巧妙.當然,對于同構函數單調性的判斷,也可以采用其他方式,如以上問題中先判斷冪函數y=x3和y=x5在相應區間上的單調性,再綜合函數的運算形式與對應的單調性性質來確定函數f(x)的單調性.而由三角不等式確定角的取值范圍時,也可以利用輔助角公式,結合三角不等式,借助三角函數的圖象與性質來轉化.

2 求函數值

三角函數的求值問題中,有時比較復雜難以直接下手,可以觀察三角關系式的結構特征,合理恒等變形,巧妙同構函數,利用函數的基本性質來變形與應用,實現求函數值的目的.

分析：根據題中三角函數的特殊值,有意識地確定兩個特殊角滿足三角函數關系式,同構三角函數,確定其周期,結合求導處理以及三角函數關系式的恒等變形(和差化積公式),利用三角函數在一個周期長度內的單調性來確定對應角的取值,從而得以求解對應的三角函數值.

故選擇答案:AC.

點評：此題以三角等式為問題背景,結合條件來求解相應的三角函數值.常用的解題方法就是利用三角函數的公式變形來處理,過程比較繁雜,運算量比較大.而抓住特殊角滿足的三角等式加以切入,巧妙同構三角函數,借助導數法來處理,思維性較強,可以減少數學運算,優化解題過程[3].

3 大小比較

三角函數中也存在一些比較變量大小關系的問題,經常可以借助題設條件,尋找特征,同構函數,進而利用函數的基本性質來合理轉化與巧妙應用,實現大小關系的判斷.

例3已知實數a,b滿足asina-4bsinbcosb=4b2-a2+1,則以下各選項中大小關系正確的是( ).

A.a>2bB.a<2b

C.|a|>|2b| D.|a|<|2b|

分析：根據題設條件,結合題設中的等式進行同一參數的變形轉化,實現等式兩邊的同型轉化,巧妙同構函數;結合函數的奇偶性,以及借助導數法判斷函數的單調性,進而利用函數的基本性質來綜合分析與處理,實現參數大小關系的判斷.

解析：由asina-2bsin 2b=4b2-a2+1,可得asina+a2=4b2+2bsin 2b+1.

又由于asina+a2=(2b)2+2bsin 2b+1>(2b)2+2bsin 2b,因此同構函數f(x)=xsinx+x2,x∈R.

因為f(-x)=-xsin(-x)+(-x)2=xsinx+x2=f(x),所以函數f(x)為偶函數.

求導,可得f′(x)=sinx+xcosx+2x.

所以當x≥0時,f′(x)≥0,則知函數f(x)在區間[0,+∞)上為增函數.

由asina+a2>(2b)2+2bsin 2b,可得f(a)>f(2b).又函數f(x)為偶函數,所以f(|a|)≥f(|2b|),可得|a|>|2b|.

故選擇答案:C.

點評：在解決此類三角函數問題時,經常要通過三角恒等變換,利用一些相關的關系加以變形,從而尋找問題的同型,實現地位同等策略同構函數的目的,進而借助函數的基本性質來比較大小.

4 不等式證明

三角函數中的不等式證明問題,有時也可以借助代數關系式的結構特征,尋找共性,同構函數,通過函數的基本性質,從函數的思維視角來解決.

例4在銳角三角形ABC中,A,B,C是該三角形的三個內角,試證明:sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2.

分析：結合題目所要證明的三角不等式,以其中一個內角的正弦值為主元進行恒等變形,通過同構函數,利用銳角三角形各內角的正弦值的取值情況來確定一次函數的單調性,并結合對應的函數值,巧妙轉化思維,綜合利用函數的單調性來證明對應的三角不等式問題.

證明：要證sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2,即證(sinAsinB-1)sinC-(sinA+sinB)+2>0.

同構函數f(x)=(sinAsinB-1)x-(sinA+sinB)+2,x∈(0,1).

而f(1)=sinAsinB-1-(sinA+sinB)+2=(1-sinA)(1-sinB)>0(這里0

結合sinAsinB-1<0,可知函數f(x)在區間(0,1)上單調遞減.

所以函數f(x)在區間(0,1)上恒有f(x)>f(1)>0,則有f(sinC)>0.

因此f(sinC)=(sinAsinB-1)sinC-(sinA+sinB)+2>0.

變形轉化,可得sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2成立,不等式得證.

點評：在解決以上三角不等式的證明問題時,如果沒有頭緒或無從下手,可以合理改變解題方向,通過題目的條件或結論的分析與考查,合理拓展思維,借助主元法等其他方法加以巧妙變形與轉化,同構出與問題有關的基本初等函數,利用相應函數的相關知識來尋找與轉化解決問題的方法與途徑,實現問題的巧妙破解.

在破解一些三角函數的相關問題時,關鍵是抓住題目中三角函數關系式的結構特征,慧眼識別與尋找同型或共性,特別是結合三角恒等變形,巧妙抽象,合理同構函數,利用共性,將一些不熟知的三角函數問題轉化為與之相關的其他基本初等函數問題來分析與處理,不斷增強創新意識、同構意識等,提升創新應用能力,拓展思維,形成數學能力,培養數學核心素養.