高中數學新教材一個探究試驗的商榷

樊彥朝 熊志權

? 廣東省珠海市第一中學 ? 廣東省珠海市教育研究院

1 問題提出

普通高中教科書人教A版數學選擇性必修三(下文簡稱教科書[1])第56頁的探究內容:

試驗1從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行檢驗,變量X表示三個元件中的次品數;

教科書[1]中進行了提示和解答:

對于試驗1,如果用0表示“元件為合格品”,1表示“元件為次品”,用0和1構成的長度為3的字符串表示樣本點,則樣本空間

Ω1={000,001,010,011,100,101,110,111}.

筆者認為,試驗1有以下4點可待商榷.

2 商榷點

2.1 商榷點1:至少含3個以上

試驗1指出100個電子元件中“至少含3個以上次品”.“至少含3個以上”這是一個成分贅余的語句.“至少含3個”指的是“不小于3個”,“3個以上”指的是“多于3個”.“至少含3個以上次品”是一個有語病的句子,這在教材中是不應該出現的.

2.2 商榷點2:隨機抽取3個

試驗1中的表述“隨機抽取3個”,一般是指一次性從總體中抽取3個樣本.這三個樣本不分先后順序.教科書[1]中指出實驗1的樣本空間是Ω1={000,001,010,011,100,101,110,111}.如果我們認為此樣本空間是正確的,那么樣本空間中的樣本點001,010,100代表的都是兩個合格品,一個次品的情形,而且抽到次品時順序分了先后,而合格品又沒有考慮順序.樣本空間中的樣本點011,101,110代表的都是兩個次品,一個合格品的情形,而且抽到合格品時順序分了先后,而次品又沒有考慮順序.這樣的樣本空間自身邏輯上是有矛盾的.

2.3 商榷點3:次品數

試驗1指出100個電子元件中“至少含3個以上次品”.筆者認為,教材編者的意思是強調次品個數不少,至少含有3個.即使將“至少含3個以上次品”換成“至少含有3個次品”,試驗1也是不明確的,對應的樣本空間也是不確定的.如果次品數是99個或100個,那么一次性隨機抽取三個電子元件(一把抓3個),都不會出現三個合格品的情形.

2.4 商榷點4:樣本空間

樣本空間是高中教材新引入的概念,但是這個概念在概率統計中是比較成熟的.在普通高中教科書人教A版數學必修二中樣本空間是這樣定義的:

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點,全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間(samplespace).

對于試驗1,教科書[1]中提供的樣本空間是不符合“樣本空間”定義的.

3 改進意見

基于樣本空間的概念,試驗1的樣本空間應該是什么呢?

隨機試驗的常用案例是抽取小球.通常有兩種:一種是不同的小球,描述成大小相同的小球,用顏色進行區分,比如電子元件等;另一種是“完全相同”的小球,比如名額等.一般情況下,大小相同的小球本質上還是不同的小球,只是抽取的可能性相等.試驗1中的電子元件可以看做是不同的小球.

為了充分理解樣本空間,我們改進試驗,并給出改進后試驗的樣本空間.

改進試驗1:從100個電子元件(含80個合格品,20個次品)中有放回隨機抽取3次,每次抽取一個元件進行檢驗.用C1,C2,C3,……,C99,C100表示這100個電子元件,則此試驗的樣本空間

Ω1.1={(Ci,Cj,Ck)|1≤i≤100,1≤j≤100,1≤k≤100,i,j,k都是整數}.

改進試驗2:從100個電子元件(含80個合格品,20個次品)中不放回隨機抽取3次,每次抽取一個元件進行檢驗.用C1,C2,C3,……,C99,C100表示這100個電子元件,則此試驗的樣本空間

Ω1.2={(Ci,Cj,Ck)|1≤i≤100,1≤j≤100,1≤k≤100,i,j,k互不相等,都是整數}

改進試驗3:從5個電子元件(含2個合格品,3個次品)中一次性隨機抽取3個元件進行檢驗.用A1,A2表示合格品,B1,B2,B3表示次品,則此試驗的樣本空間

Ω1.3={(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,B3),(A1,B1,B2),(A1,B1,B3),(A1,B2,B3),(A2,B1,B2),(A2,B1,B3),(A2,B2,B3),(B1,B2,B3)}.

這三個改進試驗學生容易理解,都可以用于本章節的進一步學習與探究.

那么,什么樣的試驗的樣本空間會是教材中給出的樣式Ω1={000,001,010,011,100,101,110,111}呢?我們提出了以下3個改進試驗.

改進試驗4:拋擲一枚硬幣3次,考察硬幣出現正反面的結果.用1表示出現正面,用0表示出現反面,則此試驗的樣本空間

Ω1.4={000,001,010,011,100,101,110,111}.

改進試驗5:從100個名額(80個A類名額和20個B類名額)中有放回隨機抽取3個名額,每次抽取1個,用1表示A類名額,用0表示B類名額,則此試驗的樣本空間

Ω1.5={000,001,010,011,100,101,110,111}.

改進試驗6:從100個名額(80個A類名額和20個B類名額)中不放回隨機抽取3個名額,每次抽取1個,用1表示A類名額,用0表示B類名額,則此試驗的樣本空間

Ω1.6={000,001,010,011,100,101,110,111}.

4 結論

4.1 語言表達的嚴謹性

無論是思維的過程,還是表達的過程,都是語言承載思想.思想是思維的結果,體現了語言產生、發展與表達的內心活動[2].“至少”隱含著“以上”,“以上”也有“至少”之意.“至少”“以上”二者表示的是同一個意思,只能選用其一.“至少含3個以上”是病句,語病屬于成分贅余.語言是思維的外殼,表達一定要規范嚴謹.

4.2 抽樣方式的明確性

“隨機抽取”就是隨機抽樣,是一種等可能抽取樣本的方法,分為簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣等抽樣方法.簡單隨機抽樣分“放回隨機抽樣”和“不放回隨機抽樣”.放回隨機抽取3個(樣本)通常是指有放回抽取3次,每次抽取1個(樣本);不放回隨機抽取3個(樣本)通常是指不放回抽取3次,每次抽取1個(樣本).“隨機抽取3個(樣本)”還有一種理解,就是一次性抽取3個(樣本)即一把抓3個,這也是常規的理解.隨機試驗的抽樣方式要非常明確.試驗1中的表述“隨機抽取3個”是一種含糊的表述,導致了隨機試驗的不確定,從而導致樣本空間的不確定性.

4.3 樣本空間的確定性