融入數(shù)學文化 發(fā)展核心素養(yǎng)*
——以“直線與平面垂直的判定”為例

田雙瑞 徐會林 李薇薇 廖冬妮

? 贛南師范大學數(shù)學與計算機科學學院

數(shù)學文化是指“數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點,以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義,以及與數(shù)學相關的人文活動”[1].在教學活動中有意識地融入數(shù)學文化,“有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣,有利于學生進一步理解數(shù)學,有利于開拓學生視野、提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).”[1]

1 研究綜述

諸多學者對如何在教學中融入數(shù)學文化,發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)進行了相關研究.聶曉穎、黃秦安[2]給出了構建數(shù)學課堂文化的四個維度;侯代忠、喻平[3]就如何在教學中融入數(shù)學文化提出了教師在教學設計時應該思考的三個問題,即“①為什么要研究這個知識?②是怎么研究這個知識的?③這個知識有什么價值和意義”;李院德、史嘉[4]提出了核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學文化教育的具體實施策略.

本文中綜合運用文獻[2-4]中的相關策略,以“直線與平面垂直的判定”一節(jié)新授課為例,探究如何將數(shù)學文化融入數(shù)學課堂,提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的具體過程.

2 教學背景

2.1 內容分析

“立體幾何初步”是北師大版高中教材《數(shù)學(必修第二冊)》第六章的內容,是高中數(shù)學必修課程內容“幾何與代數(shù)”這一主線的主要組成部分,是對義務教育階段“圖形與幾何”內容的延續(xù)和發(fā)展.本章教學重點是幫助學生進一步形成空間觀念,提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學抽象素養(yǎng)水平[1].基本幾何圖形間的位置關系是“立體幾何初步”這一章的重點內容,其直觀基礎是長方體,邏輯基礎是相關概念與基本事實.平行和垂直是幾何圖形間的兩大主要位置關系,是高中學業(yè)水平考試和高考所要求重點掌握的內容,二者的邏輯結構都是從“直線與直線”“直線與平面”到“平面與平面”,其抽象程度逐步提高,對學生素養(yǎng)水平的要求也逐步提升.

教材中以長方體為例,通過直觀感知得出直線與平面垂直的判定定理.這種設計雖然符合課程標準的基本要求,但是實物模型不夠豐富,操作確認過程過于單一,不利于促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.在教學中,如果能融入數(shù)學文化,提供更加豐富的實物模型,讓學生在操作確認中體驗知識的生成過程,則更有助于促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.2 學情分析

本節(jié)課的授課對象是高一學生.知識結構方面,學生對義務教育階段的“圖形與幾何”知識有了較好的認知基礎,進入高中后已經(jīng)學習和掌握了“線面平行”和“面面平行”兩大判定定理,掌握了“線面垂直”的概念和性質.核心素養(yǎng)方面,學生已經(jīng)具備了較高水平的直觀想象素養(yǎng),但數(shù)學抽象、數(shù)學建模和邏輯推理素養(yǎng)水平存在較大差距.本節(jié)課重在探究判定定理的形成過程,學生現(xiàn)有數(shù)學運算素養(yǎng)水平完全能夠滿足需要.認知特點方面,高中學生具有強烈的求知欲望和探究意識,有利于教學活動的開展.

2.3 教學目標及重難點分析

根據(jù)課程標準的要求,本節(jié)課有三個教學目標:(1)能夠理解直線與平面垂直的判定定理,并熟練運用這一定理證明簡單的幾何命題;(2)在探究過程中,逐步提升數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學建模和邏輯推理素養(yǎng)水平;(3)了解與知識緊密相關的中華傳統(tǒng)文化,感悟中華民族的智慧.

本節(jié)課的重點是理解直線與平面垂直判定定理的探究過程;難點是在探究過程中提升直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng)水平.

3 教學過程

3.1 引入文化,營造氛圍

圖1

情境:播放1分鐘的日晷短視頻,展示日晷圖片(如圖1).

教師:結合視頻和圖片,說一下日晷的晷針和晷面之間是什么關系?

師生活動:學生自主回答,教師介紹日晷的歷史和工作原理,強調“晷針垂直于晷面”.

設計意圖：日晷是我國古代的計時儀器,最早在《漢書》中就有記載,體現(xiàn)了我國古代天文學的輝煌成就.將日晷與數(shù)學知識相結合,創(chuàng)設文化情境,不僅為數(shù)學課堂增添了人文色彩,而且有助于引導學生“會用數(shù)學眼光觀察世界,會用數(shù)學思維思考世界”[1].

追問1:古人在建造日晷時,如何判斷晷針與晷面是否垂直呢?

師生活動:學生將晷針抽象為一條直線,晷面抽象為一個平面,結合直線與平面垂直的定義,總結出需要判定晷針垂直于晷面內的所有直線.

設計意圖：“尋找產(chǎn)生這個問題的緣由,從社會需求與數(shù)學學科發(fā)展需求兩個方而來思考,從而揭示呈現(xiàn)的數(shù)學文化”[4]是將數(shù)學文化融入課堂的重要一步.以判斷晷針與晷面垂直這一實際需求為出發(fā)點,說明探究直線與平面垂直判定定理的必要性,引導學生從文化情境中抽象出數(shù)學元素,既傳遞了數(shù)學文化,又促進了學生直觀想象、數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

追問2:要判斷晷針垂直于晷面內的所有直線非常困難.大家思考一下,怎樣才能既便捷又準確地判定晷針垂直于晷面呢?

師生活動:引導學生類比“線面平行”和“面面平行”的判定定理,思考如何根據(jù)晷針垂直于晷面內的有限條直線進行判定.

設計意圖：引導學生進行類比推理,在學生的最近發(fā)展區(qū)內組織教學活動,有助于提升學生的邏輯推理素養(yǎng)水平;將“所有直線”轉化為“有限條直線”,展示出數(shù)學以簡御繁的強大功能,體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美,有助于促進學生直觀想象、數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

追問3:晷針至少要垂直于晷面內的幾條直線才能垂直于晷面?

師生討論,自由發(fā)言.討論結果如下:

(1)垂直于晷面內的一條直線.不能,反例:將三角板的一條直角邊與黑板重合,另一條直角邊與黑板不一定垂直.

(2)垂直于晷面內兩條平行直線.不能,反例:在黑板內作兩條平行線,使三角板的直角邊與其中一條重合,另一條直角邊與黑板不一定垂直.

(3)垂直于晷面內兩條相交直線.未能舉出反例,需進行實驗探究.

設計意圖：引導學生小組討論,合理假設,可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維,感悟分類討論的數(shù)學思想;利用反證法排除不合理的假設,有助于提升學生的邏輯推理素養(yǎng)水平;在未能舉出反例的情況下,組織學生開展探究活動,可以培養(yǎng)學生嚴謹求實的學習態(tài)度;從日晷這一具體文化情境出發(fā)到完成分類討論,對應了數(shù)學建模過程中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題三個階段,有助于促進學生數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展.

3.2 實驗探究,感悟新知

實驗:小組合作,將準備好的三角形、矩形紙板進行一次性對折,折痕向上放在桌面上,并使被折的邊與桌面完全重合.探究一下怎樣才能使折痕與桌面垂直呢?

師生活動:各小組成員進行折紙活動.教師巡視,組織學生積極參與,重點關注各組內數(shù)學基礎比較薄弱的同學,鼓勵每個層次的學生參與到探究活動中.

設計意圖：折紙大約起源于公元1世紀或2世紀時的中國,它不僅是一項重要的思維活動,也是一種很好的娛樂方式.折紙實驗構建了一個驗證線面垂直的直觀模型,增強了學習的趣味性,可以讓學生經(jīng)歷知識的形成過程,發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

師生活動:選兩個小組的代表,分別展示折痕與桌面垂直和不垂直兩種情況.總結出“只要折痕垂直于被折紙板與桌面的兩條交線,折痕就會與桌面垂直;其他情況下則不垂直”.

教師:為什么只要折痕垂直于被折紙板與桌面的兩條交線,折痕就會垂直于桌面呢?

設計意圖：折紙操作使學生獲得對直線與平面面垂直判定定理的感性認知,從提出問題到操作確認,展示了判定定理的探究過程,可以引發(fā)學生的深度思考,為抽象概括作好鋪墊,有助于發(fā)展學生的數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng).

3.3 直觀感知,抽象概括

教師:將桌面看作平面α,折痕看作直線AB,折痕與桌面的交點記為點B,折疊后紙板與桌面的兩條交線分別記作直線BC,BD.固定BC,繞點B旋轉BD.我們一起欣賞一下BD旋轉的過程(Flash動畫演示).

師生活動:學生觀看動畫,并轉動自己手中的紙板,觀察得出,當直線AB垂直于BC,BD這兩條相交直線時,就會垂直于平面α內所有過點B的直線.

追問:直線AB與平面α內不過點B的任意直線m是否垂直呢?

圖2

師生活動:學生作圖探究,如圖2,發(fā)現(xiàn)只要過點B作直線m的平行線,即可證明AB⊥m.

教師:當直線AB垂直于平面α內兩條相交直線時,就會垂直于平面α內所有直線.根據(jù)直線與平面垂直的定義,可得AB⊥α.

設計意圖：由直線AB垂直于平面內的兩條相交直線,推廣到垂直于平面內所有直線,結合定義判定出AB⊥α,體現(xiàn)了從特殊到一般的認識過程,有助于發(fā)展學生的邏輯推理、數(shù)學抽象素養(yǎng);教學中注重傳統(tǒng)教學手段與信息技術的融合使用,可以起到吸引學生注意、提高教學效率的作用.

3.4 歸納總結,獲得新知

教師:如何判定直線l垂直于平面α?

師生活動:學生獨立思考并用文字語言描述直線與平面垂直的判定定理,教師肯定學生的回答,或指出其中的錯誤,并分別用文字、符號和圖形語言板書定理內容,重點強調“兩條”和“相交”.

設計意圖：學生獨立思考并表述直線與平面垂直的判定定理,可以提升用數(shù)學語言表達問題的能力,促進邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展;教師用三種數(shù)學語言規(guī)范表述這一定理,有助于幫助學生形成嚴謹?shù)膶W習作風,進一步提升數(shù)學抽象素養(yǎng)水平.

3.5 回歸應用,體現(xiàn)本質

教師:大家現(xiàn)在能否回答“古人如何確保晷針垂直于晷面”這個問題?

師生活動:引導學生用自己的話表述出來,并給與積極評價.

設計意圖：讓學生體驗定理的應用,完善整個數(shù)學建模過程,從而提升數(shù)學建模素養(yǎng)水平.同時,可以讓學生體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系,進一步感受數(shù)學的文化本質.

3.6 回顧總結,凝練素養(yǎng)

師生活動:回顧本節(jié)課重難點內容,總結本節(jié)課所用到的數(shù)學思想,并將直線與平面垂直的判定定理與“線面平行”“面面平行”相應的判定定理進行歸納對比,在學生原有知識結構的基礎上,構建新的知識網(wǎng)絡,形成思維導圖.

設計意圖：核心素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的,要將傳授知識與發(fā)展核心素養(yǎng)緊密結合,讓學生感受到所取得的進步,增強學習信心,為后續(xù)學習奠定基礎.知識網(wǎng)絡的構建與更新,有助于學生從整體上把握數(shù)學知識的脈絡,促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的連續(xù)性發(fā)展.

3.7 分層作業(yè),學以致用

(1)基礎作業(yè):如果一條直線與一個平面內無數(shù)條直線都垂直,那么這條直線和該平面是否一定垂直?

(2)提升作業(yè)(選做):小組合作,尋找生活中“線面垂直”的例子并給出判定,撰寫一篇科研小論文.

設計意圖：豐富作業(yè)形式,有助于提升學生完成作業(yè)的自主性和有效性,促進學生深度思考.基礎作業(yè)面向全體學生,培養(yǎng)學生獨立思考的習慣,在鞏固新知的同時進一步發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象素養(yǎng);提升作業(yè)針對學有余力的學生,培養(yǎng)數(shù)學應用意識和科研創(chuàng)新精神.分層作業(yè)體現(xiàn)了分層教學的思想,使“人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展”[1].

本節(jié)課嚴格依照新課標的要求,以發(fā)展學生素養(yǎng)為目標,以日晷、折紙等數(shù)學文化為載體,將直觀想象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學抽象素養(yǎng)與線面垂直判定定理緊密結合,在探究過程中尋找核心素養(yǎng)的生長點.運用“情境—探究”教學模式,步步深入,注重核心素養(yǎng)發(fā)展的階段性、連續(xù)性和整合性.教學過程中關注不同層次的學生,隨時給學生以積極評價,調動學生參與課堂的積極性;注重培養(yǎng)學生獨立思考的習慣和合作探究意識,充分體現(xiàn)了教師主導和學生主體地位的統(tǒng)一,傳授知識與發(fā)展素養(yǎng)的統(tǒng)一.將數(shù)學文化融入到教學過程的每一個環(huán)節(jié)中,學生在學習知識的同時潛移默化地接受數(shù)學文化的熏陶,充分落實了數(shù)學教育立德樹人的根本任務.