大觀念視角下的高中數(shù)學(xué)深度教學(xué)設(shè)計*
——以“直線與平面平行”的教學(xué)為例

蔡 琳

? 廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院

隨著高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)目標的提出,深度教學(xué)被推向新高度.大觀念的挖掘和應(yīng)用為實現(xiàn)深度教學(xué)搭建了“腳手架”,能夠體現(xiàn)核心素養(yǎng)目標的本質(zhì)要求.華東師范大學(xué)崔允漷教授指出:“整合應(yīng)成為深度教學(xué)堅持的邏輯,以大觀念為核心的整合是一種有效的教學(xué)方式.”基于此,本文中以“直線與平面平行”的教學(xué)為例,探討如何基于大觀念實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的深度教學(xué)設(shè)計.

1 基于課程標準構(gòu)建大觀念

課程標準是構(gòu)建大觀念的重要依據(jù).雖然課程標準沒有明確提出大觀念,但通過關(guān)注其反復(fù)提及的知識和重要內(nèi)容可構(gòu)建出大觀念.通過對《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》中“立體幾何初步”章節(jié)內(nèi)容的分析,可以提煉出研究空間直線與平面位置關(guān)系性質(zhì)的大觀念:性質(zhì)是我們研究幾何的一項重要內(nèi)容.基于此,大觀念引導(dǎo)下的空間線面位置關(guān)系的性質(zhì)定理路徑如圖1所示.

圖1

2 基于大觀念設(shè)計深度教學(xué)過程

引言:上節(jié)課學(xué)習(xí)了空間中的直線與直線平行,接下來我們應(yīng)該研究什么內(nèi)容?如何研究?

2.1 探究直線與平面平行的判定定理

問題1前面我們學(xué)習(xí)了直線與平面平行的定義,能否用定義判定直線與平面平行呢?如果不能,能找到其他判定方法嗎?

師生共同明確:用定義判定線面平行時要保證直線與平面沒有交點,操作難度大,進而明確需探尋其他判定方法.

設(shè)計意圖：引言基于單元整體架構(gòu)本章節(jié)的研究內(nèi)容,問題1充分考慮學(xué)生的認知基礎(chǔ),明確舊知是新知的生長點,且有利于知識的系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化.

活動1：關(guān)開教室的門,觀察當門繞著一邊轉(zhuǎn)動時,與之平行的另一邊與墻面是否有公共點?這時該邊與墻面是否平行?

活動2：請同學(xué)們把一本書平放在桌子上,沿著裝訂線翻動封面,看看它的邊緣(離開桌面)與桌面是否有公共點?封面邊緣所在的直線與桌面平行嗎?

活動3：如何擺放直角梯形,使其一條邊在桌面內(nèi),一條邊和桌面平行?

追問1:通過上面的操作你有什么發(fā)現(xiàn)?

學(xué)生獨立思考,動手操作后交流,明確:當門或書繞著一邊轉(zhuǎn)動時,與之平行的另一邊與墻面或桌面沒有公共點,所以該邊與墻面或桌面平行.

設(shè)計意圖：活動1讓學(xué)生觀察,活動2讓學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上動手操作,活動3舍棄物理屬性,學(xué)生需要逆向思考.3個活動的設(shè)計層次遞進,逐步引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的本質(zhì).學(xué)生深度參與學(xué)習(xí)過程,積累從特殊到一般解決問題的經(jīng)驗,學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的方法.

追問2:通過上述3個活動,你能歸納出直線與平面平行的判定方法嗎?

閱讀教材第136頁,并完成學(xué)案上的表格填寫(表格略).

師生活動:學(xué)生歸納總結(jié)填寫學(xué)案表格,領(lǐng)悟直線與平面平行判定定理的三種語言表達方式,感受數(shù)學(xué)語言表達的嚴謹美與簡潔美.同時,教師站在更高的角度,引導(dǎo)學(xué)生體悟定理獲得的過程中,所蘊含的從特殊到一般的思想方法.

設(shè)計意圖：追問2通過讓學(xué)生歸納總結(jié),提升語言表達能力和抽象概括能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).同時,通過讓學(xué)生閱讀教材填寫表格,增強學(xué)生與教材文本的深度對話,加深對定理的理解,感受數(shù)學(xué)之美.

問題2直線與平面平行的判定定理在現(xiàn)實生活中有許多應(yīng)用,你能舉出一些應(yīng)用實例嗎?

問題3求證:空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經(jīng)過另外兩邊的平面.

師生活動:問題2學(xué)生口答交流,問題3學(xué)生獨立證明,然后小組交流.

設(shè)計意圖：問題2從應(yīng)用的角度,進一步加強對判定定理的理解,感受數(shù)學(xué)源于生活又用于生活.通過問題3的探究、討論、思辨,深化學(xué)生應(yīng)用定理的能力.

2.2 探究直線與平面平行的性質(zhì)定理

問題4剛剛我們學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定,接下來研究它的性質(zhì),可以從哪些角度考慮呢?

追問1:什么是性質(zhì)?研究性質(zhì)的路徑是什么?

問題4學(xué)生獨立思考,教師引導(dǎo)學(xué)生用大觀念思考問題,形成追問中的兩個核心問題.明確:直線與平面平行的性質(zhì)是指如果一條直線與一平面平行,能推出哪些結(jié)論呢?研究路徑是在線面平行的條件下,研究直線與構(gòu)成平面的要素之間的關(guān)系,如圖2.于是問題進一步轉(zhuǎn)化為追問2.

圖2 直線與平面的性質(zhì)具體研究思路

圖3

追問2:如圖3,已知a∥α,在什么條件下,平面α內(nèi)的直線b與直線a平行呢?

師生活動:小組合作探究,并把追問2的探究結(jié)果符號化為“已知a∥α,a?β,α∩β=b,求證:a∥b”.(證明略)

在此過程中,教師可以適當引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)直線與直線平行的證明思路(如圖4).

圖4 直線與直線平行的證明思路

設(shè)計意圖：學(xué)生在大觀念的引領(lǐng)下像專家一樣思考,通過思考、作圖、小組討論,尋找分析問題、解決問題的途徑和方法,經(jīng)歷定理發(fā)現(xiàn)的全過程,體會化繁為簡的轉(zhuǎn)化與化歸思想,感受數(shù)學(xué)發(fā)展的神奇和理性思維的力量,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng),從而發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.小組合作,深化生生間的交流,學(xué)生深度參與學(xué)習(xí)過程.

追問3:閱讀教材第137頁,完成學(xué)案上表格(略).

師生活動:學(xué)生閱讀教材,完成表格.

設(shè)計意圖：追問3,學(xué)生在閱讀教材的基礎(chǔ)上填寫表格,進一步增強學(xué)生與文本的深度對話,加深對性質(zhì)定理的深度理解.

圖5

問題5如圖5,木料的棱BC平行于平面A′B′C′.

(1)P是平面A′B′C′內(nèi)的一動點,過點P和棱BC把木料鋸開,請在木料表面畫線.

(2)所畫的線與平面ABC是什么位置關(guān)系?

師生活動:學(xué)生獨立完成并上臺講解.

設(shè)計意圖：問題5考查學(xué)生對兩個定理的識別理解和遷移應(yīng)用能力.

2.3 歸納小結(jié)

(1)你能歸納一下這節(jié)課我們是按照怎樣的路徑來研究兩個定理的嗎?

(2)我們用什么方法獲得了性質(zhì)定理?

(3)利用這兩個定理可以解決什么問題?

師生活動:教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,補充歸納.

設(shè)計意圖：小結(jié)使所學(xué)知識系統(tǒng)化,有助于學(xué)生掌握知識,有利于知識內(nèi)化和遷移.

3 思考與啟示

上述性質(zhì)定理的教學(xué)在大觀念的引領(lǐng)下,實現(xiàn)了知識的本質(zhì)化、結(jié)構(gòu)化,即實現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的深度化.如果學(xué)生能用文中的大觀念指導(dǎo)平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直,甚至代數(shù)領(lǐng)域、圓錐曲線領(lǐng)域等性質(zhì)的學(xué)習(xí),則表明學(xué)生學(xué)會了學(xué)習(xí).同時,學(xué)生情感和行為深度參與學(xué)習(xí)過程,體驗與感悟數(shù)學(xué)思想方法,感受數(shù)學(xué)的魅力,在潤物細無聲中發(fā)展了核心素養(yǎng),落實了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.需要注意的是,為了完整呈現(xiàn)一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計,本文中同時設(shè)計了直線與平面平行的判定定理.但在實際教學(xué)中,為了更好地體現(xiàn)性質(zhì)定理學(xué)習(xí)的統(tǒng)一性,可以嘗試重組本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容,在空間直線與平面位置關(guān)系的判定定理學(xué)完之后,再安排性質(zhì)定理的學(xué)習(xí).

教學(xué)設(shè)計決定性地影響著課堂教學(xué)質(zhì)量.教師應(yīng)該深度解讀新課標,提煉學(xué)科大觀念,完成深度教學(xué)設(shè)計.只有這樣,核心素養(yǎng)目標才能達成,學(xué)科育人功能才能實現(xiàn).Z