高中數學課堂“問題串”的設計
——以“平面向量基本定理”教學為例

隗雪娜

? 哈爾濱師范大學教師教育學院

“疑是思之始,學之端.”疑問是思考的開始,也是學問的開始.教師想要上好一堂高效生動的數學課就要設置有效的問題,以問題來驅動學生學習,培養學生的探索精神,提高學生分析和解決問題的能力.然而有效的數學課堂并不是用簡單的幾個問題來填充就可以的,而是需要一系列的問題串,并且問題和問題之間有著邏輯關系等要求,引導學生步步深入,逐步習得知識,學生會有種豁然開朗的成就感.

1 “問題串”設計基本理念

問題串主要是指在一定的主題內圍繞特定目標,按一定邏輯關系等設計出一系列問題,這些問題不能少于3個,并且利用這些問題能有效開展教學.每組問題串都有各自的目的,都是為教學目標服務.問題串的設計要打破傳統教學中隨意將問題拋出的現象,并由此營造出有序高效的學習氛圍.問題串教學并不是教師的舞臺,而是學生作為主體施展聰明智慧、努力探索的舞臺,是教師通過提出一個又一個問題引發學生思考、層層遞進習得知識的過程.

問題串有著雙重作用.一方面,教師可以對本節課有一個整體的把握.教師設計本節課首先要明白教學目標是什么,然后根據教學目標設計一系列有邏輯、螺旋上升式的問題串,同時對本節課的重點有一個清晰的認知.另一方面,能讓學生的思維能力等得到發展.通過教師拋出的一個又一個問題,學生一步一個腳印地完成學習目標,提高思維水平,培養問題意識,提升發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.除此之外,問題串教學往往會涉及小組討論、師生合作等活動,這也會調動學生探索的積極性,培養學生的動手操作能力以及數學表達能力,變被動學習為主動學習,在解決問題的同時既獲取了知識又提升了數學素養.

2 “問題串”的設計要求

2.1 “問題串”要圍繞教學目標

教學目標既是教學的起點,也是教學的終點.教師在進行教學設計時要精準分析教學目標,并有針對性地設計問題,將教學內容分成一個或多個核心內容,并相應地設計一組或多組彼此緊密聯系的問題串.學生在探索、解決問題的過程中,逐一理解知識點,在課堂互動中加深對數學概念、定理等的理解,在頭腦中對知識進行系統建構,將新知識納入到自己的認知結構中,實現從細節到整體的轉變,并最終達到教學目標的要求.

2.2 “問題串”要立足于學生認知

首先,根據維果斯基的最近發展區理論,教師在設計問題串時,應當充分了解學生的認知水平.問題串要符合學生的認知水平,設置的問題過易或過難都會使學生失去學習激情;設置的問題要符合學生的最近發展區,讓學生蹦一蹦可以夠得到,這樣會激發學生的學習興趣和繼續探索的熱情,并且在解決問題的過程中能感受到探索的快樂和成功的喜悅,進一步培養分析和解決問題的能力.

其次,關注學生的認知水平以及最近發展區,也是將傳統的以教師為中心的教學轉變為以學生為中心的教學.教師在設計教學和實施教學的過程中要時刻關注學生的學習情況和狀態,努力通過問題串驅動學生學習,促進他們進入最佳的思維狀態,化被動學習為主動學習.

2.3 “問題串”要具有目的性

教師設計問題串需要經過深思熟慮,在認真研究教材、課標的基礎上進行設計.問題串中的每個問題都有其存在的意義,并不是突發奇想隨意提出來的.因此,教師要明確每個問題的目的是為了喚起學生的回憶,或是激發學生的學習興趣,又或是引導學生深入思考等,要在課堂上逐步提出問題,讓學生在一個個問題解決的過程中理解并掌握本節課的教學重點和難點.

2.4 “問題串”要具有層次性

問題串起著引導課堂教學的作用,因此問題串的設置要有一定的層次性.問題的設置應由淺入深、由表及里、循序漸進、螺旋式上升,一步步引導學生深入思考.由于學生的水平不盡相同,因此在設置問題時要考慮到學生的個體差異性,問題設置需分層次,小梯度,盡量滿足所有學生的學習需求.比如,對于學生來說有一定難度的知識,可以將復雜問題分解,從學生的原有認知水平出發,考慮學生最近發展區,設置幾個由淺到深的問題,最終引領學生習得知識.在一個個梯度問題的解決中,激發學生繼續探索的興趣,拓展思維的廣度和深度.

2.5 “問題串”要具有邏輯性

教師利用問題串來驅動學生的思維,在設計時要考慮學生的思維邏輯和知識邏輯.問題不是隨意提出的,而是教師精心將教學內容的知識點利用問題串聯起來,在學生學完本節課回顧所學內容時,能說出本節課知識點的脈絡,由此及彼、觸類旁通.這不僅能培養學生嚴密的思維邏輯,還可以使學生養成良好的思維習慣.

2.6 “問題串”要體現啟發性

根據啟發性教學原則,教師在教學過程中要注意時時刻刻啟發學生.教師要把握好問題串的呈現方式,如果簡單直白地提出問題,而不考慮學生,那將毫無意義.通過一個個問題,將學生引入問題情境,并在問題情境中沉浸,主動解決一個個問題,在問題探究中認知、理解、掌握數學知識,并有效汲取和內化知識,進而啟發學生獨立思考、判斷的能力,提高教學效果.

3 “問題串”教學案例分析

3.1 創設情境

經過前面的學習,我們知道平面內的向量是無窮多的.那么,能否僅用幾個“基礎”向量而將所有的平面向量表示出來呢?最少需要幾個“基礎”向量才能表示所有的平面向量呢?

圖1

問題1貪吃蛇通過在屏幕上下左右四個方向移動就可以吃到屏幕上任意一點處的食物.如圖1,貪吃蛇在A處想要吃到B處和C處的蘋果,那它可以怎樣行動?行動路徑唯一嗎?試各舉出其中一種行動路徑.

3.2 探究“基礎”向量

圖2

問題3想要表示平面內的任意向量,需要幾個“基礎”向量?

問題4這4個向量就是我們所需要數量最少的“基礎向量”嗎?這四個向量是否有內在聯系,可以幫助我們減少“基礎”向量的個數嗎?

追問:兩個“基礎”向量一定垂直嗎?

設計意圖：引入向量,讓學生發現數學知識與我們的生活息息相關,激發學生的學習熱情.利用問題串的形式,引導學生發現“基礎”向量的個數,一步步探究,為后面學生理解平面向量基本定理作輔墊,培養嚴密的思維習慣,拓展思維的廣度和深度.

圖3

問題7是不是所有的平面向量均可以用e1,e2來表示?

設計意圖：遵循知識的邏輯和學生原有的認知水平,一個個問題讓學生直觀感受平面內任意一個向量都可以用兩個不共線向量表示出來,加深對定理的探究,學生的思維能夠一直保持活躍,教師更能夠有效教學.

問題8經過前面的探索,我們發現兩個向量e1,e2就可以將平面內任意一個向量表示出來.那么,任意兩個向量均滿足要求嗎?如果兩向量共線還可以嗎?

預設學生回答:如果兩個向量共線,只能表示與這兩向量共線的向量,而不能表示平面內所有的向量.

問題9這樣,我們所研究的“基礎”向量就減少到兩個不共線的向量.請問,可以用一個非零向量來表示平面內的所有向量嗎?

預設學生回答:1個非零向量只能表示與之平行的向量,而不能表示平面內所有的向量.

綜上,我們發現最“基礎”的向量就是兩個不共線向量,用這兩個不共線的向量可以將平面內的任意向量a表示為a=λ1e1+λ2e2.其中稱e1,e2為基底.

設計意圖：教師在教學中充分調動學生的積極性,培養學生的歸納能力和數學表達能力.學生通過問題的逐個擊破,對所得到的結論印象更加深刻.

3.3 探究定理

預設學生回答:基底不一樣,基底有無數對.

問題11當給定a和一組基底e1,e2,a=λ1e1+λ2e2這種表示唯一嗎?

師生活動:師生共同利用“反證法”證明λ1,λ2的唯一性.

這是從代數的角度證明λ1,λ2的唯一性,那么能否從形的角度進行證明呢?大家課后進行思考并操作.

設計意圖：引導學生動手操作判斷基底的不唯一性以及驗證λ1,λ2的唯一性,讓學生直觀感受到數學的嚴謹性和魅力,培養從多方面分析、解決問題的能力和動手操作能力.

學生試著總結平面向量基本定理:

如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

設計意圖：層層深入引導學生探索,從簡單到復雜,從特殊到一般,讓學生親身經歷定理的發生、形成過程,并體會探索問題的思路.

3.4 總結提升

大家回憶一下本節課學到了什么呢?

(1)平面向量基本定理的內容;

(2)平面向量基本定理可以聯系物理學中力的分解模型來理解,它說明在同一平面內任一向量都可以表示為不共線的兩個向量的線性組合,其本質是一個向量在其他兩個向量方向上的分解.

4 教學啟示

教師是用教材教,而不是教教材.教師在認真備課后,不必就課論課,可以將本節課內容與前面所學習的知識建立聯系,像“串糖葫蘆”一樣設置問題串,一個接一個地引導學生進入學習狀態,調動學生的積極性與學習熱情.問題串的目的性可以引導學生去發現、分析、解決問題,養成問題意識,建立數學思維,能夠深入問題內部,進而在主觀能動性的驅使下“可持續”地解決問題.

將問題串應用到實際課堂中,要注意靈活性.因為學生的思維很活躍,所以在教學過程中應根據探求需要及時調整問題串,使得學生的思維連貫,“上臺階”似地一步步達成學習目標.教師要注意給學生留思考時間,不要被問題串困住,而是運用問題串帶動學生積極思考,讓學生主動進行探究,獲得更多的成功體驗.教師在進行問題串教學時,不能每節課都套用一個模板,要及時反思,不斷精進問題串的設置,根據課型選擇適合的問題串,不斷提高問題串的質量.Z