合理應用變式 提升復習效益
——以“數列通項的求法”教學為例

陳榮慶

? 江蘇省泰興市第三高級中學

進入高三,復習就是課堂教學的主旋律.高三復習是對之前所學知識的一次深入、全面、系統的梳理,是對所建構的數學知識體系的進一步優化.數學是一門邏輯性較強的學科,只有建構完善的知識體系才能有效提高數學遷移能力,進而提高分析和解決問題的能力.不過,在傳統教學中,復習課大多以“題海戰術”為主,教師試圖通過“以練代學”的方式來提高成績,致使學生學業負擔過重,課堂上出現抵觸復習課的現象,使得復習課的價值難以發揮.同時,“刷題”占用了學生寶貴的獨立思考和合作探究的時間,使得學生對知識的理解僅限于表面,影響知識的系統化建構和解題能力的提升.基于此,教學中有必要突破傳統“講授+練習”教學模式的束縛,為學生營造一個探究的學習環境,提高學生參與復習活動的積極性,提高復習效益.變式教學作為一種重要的解題教學方式,在復習課中有著重要的應用.復習課上,通過有效的變式訓練可以幫助學生領悟數學知識之間的內在聯系,提煉蘊含其中的數學思想方法,掌握問題的本質特征,培養發散、化歸、邏輯、創造等思維品質,提高復習課的教學收益.

筆者以“數列通項的求法”專題訓練為例,合理設計變式,讓學生在“變與不變”中領悟數學的本質,積累解題方法,提高課堂教學效能.

1 合理應用變式,揭示數學實質

數學題目是千變萬化的,若教學中一味地讓學生“刷題”,不僅會增加數學的乏味感,而且會增加學生的學業負擔,影響教學效果.為了改變這一局面,教師可以嘗試引入變式,讓學生在“變與不變”中領悟數學的本質,提高舉一反三的能力.

例1設{an}是等差數列,且a1=3,a2+a5=36,則{an}的通項公式為______.

例2在等比數列{an}中,已知a1=3,a6=96,則{an}的通項公式為______.

變式1設{an}是等差數列,已知a1a2=35,2a4-a6=7,則{an}的通項公式為______.

變式2Sn是等比數列{an}的前n項和,若S4,S3,S5成等差數列,則{an}的通項公式為______.

設計意圖：例1和例2難度不大,主要考查學生的基本知識掌握情況,運用等差數列和等比數列的相關公式即可獲解.對于一些基礎題,可以鼓勵學生嘗試應用一些簡便的方法來分析和解決,進而由“駕輕就熟”向“熟能生巧”轉變,提高解題能力.變式1和變式2較例題相比難度略有提升,這樣既可以促進知識的深化和技能的提升,又能讓學生體會到變式教學的“萬變不離其宗”,提高舉一反三的能力.

2 合理應用變式,提升訓練效率

數學題的解法大多不唯一,觀察的角度不同,思考的方向不同,其解題過程也會有所不同,而選擇何種方法解決問題既可以檢測學生的基礎知識掌握程度,又能了解學生的思維發展水平及數學素養.在日常教學中,教師要鼓勵學生從不同角度去分析,探尋不同解決問題的方法,以此拓寬視野,積累豐富的解題經驗,為認知結構的優化和解題能力的提升添磚加瓦.

例3已知數列{an}的前n項和Sn=n2+2n+1(n∈N*),則an=______.

變式設數列{an}的前n項和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=______,S5=______.

以上例題較前面例題和變式題來講,其難度略有提升,教師預留充足的時間讓學生獨立思考,并鼓勵學生應用不同的方法解決問題.學生的思路形成后,教師讓學生進行組內交流,并引導學生歸納總結通性通法,以此達到夯實基礎,提升素養的目的.

在解題教學中,教師要重視通性通法的提煉,這是提高學生解題能力的關鍵.不過,筆者在解題教學中發現,學生在解題時常出現“重技巧,輕通法”的現象.在高三復習教學中,部分師生受技巧中“巧”的誘惑,片面地認為應用解題技巧是提高解題效率的法寶,使得學生為了追求技巧,忘記了解題的根本,影響了解題效果.事實上,在高三復習教學中,淡化技巧、強調通法才是提高學生解題能力,發展學生數學思維的正道.

3 合理應用變式,突破重難點

課堂教學中,每節課都有一些重難點內容,對于這些重難點內容,教師常常是反復講、重復練,但是教學往往卻不如人意.究其原因就是學生對知識的理解還停留于表面,并未抓住問題的本質,題目略加變化就顯得束手無策.因此,在強調重點、突破難點的過程中,教師可以采用重點講授和變式探究相結合的方式來展開,這樣不僅可以達到鞏固知識、強化技能的效果,而且可以促進學生思維的生長和能力的提升.同時,通過適度的變式訓練,可以避免機械訓練所帶來的枯燥感,提高學生探究的積極性,讓學生在題解中獲得發散思維的培養和數學能力的提升.

例5已知數列{an}滿足a1+3a2+……+(2n-1)an=2n.

(1)求數列{an}的通項公式;

(1)求a2,a3;

(2)求數列{an}的通項公式.

設計意圖：以上例題及變式題較前面兩個層次的問題來講,難度有所提升.這樣由淺入深、由易到難的梯度練習可以讓學生的思維螺旋上升,逐漸提升解題信心和解題能力.在日常教學中發現,有些學生遇到較為繁瑣、陌生的題目時容易出現畏難情緒,繼而失去解題信心,影響解題效果.基于此,在日常教學中,教師應重視專項訓練,引導學生學會“套路化”的解題方法和思路,讓學生能夠根據題目特點快速找到解題的突破口,形成解題思路.例如,對于以上問題,可以分為兩種情況來分析.一是針對滿足an+1=an+f(n)且數列{f(n)}可以求和的遞推數列問題,可以采用累加法來解決;二是針對an+1=anf(n)且數列{f(n)}可以求積的遞推數列問題,可以采用累乘法來解決.分析至此,學生可以根據題目特點選擇合理的解題方法,以此實現化繁為簡、化陌生為熟悉的效果,突破思維障礙,高效解決問題.

數學題目雖然千變萬化,但是變化中往往會有一些不變的規律和方法.在復習教學中,要重視常規解題方法的積累,培養慣性思維,讓學生在解題時能夠根據題目特點形成“條件反射”,快速找到解題思路.在以上教學活動中,教師結合教學實際合理設計變式問題,大大提升了學生參與課堂的積極性,增強了學生的解題信心.另外,在解題過程中,教師根據題目的難易程度設計了不同的學習活動,讓不同層次的學生都能有所發展、有所成長.

總之,在復習教學中,教師既要重視基礎知識的復習和鞏固,也要重視通性通法的提煉與積累,善于通過針對性的練習幫助學生形成解題套路,以此讓學生在面對相似的問題時能夠快速形成解題策略,將培養學生的邏輯思維能力落到實處.Z