指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合,精彩連連看

張華琴

? 江蘇省海安市立發(fā)中學(xué)

將指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)或圖象融合在同一道試題中加以靈活、綜合考查,已成為近幾年高考試題設(shè)計(jì)的一個(gè)新亮點(diǎn).其符合新課標(biāo)高考理念,關(guān)注所學(xué)知識(shí)的交匯運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].基于此,現(xiàn)歸類舉例加以說明.

1 精彩一:比較大小

若已知函數(shù)解析式是由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)以加減的形式構(gòu)造而成的,那么解題時(shí)就應(yīng)該充分利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及外在結(jié)構(gòu)形式,先分析函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性求解比較大小的問題.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：因?yàn)閐是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,所以f(d)=0.于是,由題設(shè)得f(c)

故選答案:B.

評(píng)注：本題求解的關(guān)鍵是分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并活用函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

規(guī)律1：一般地,若函數(shù)f(x)和g(x)在同一區(qū)間A上都單調(diào)遞增(或遞減),則函數(shù)f(x)+g(x)在該區(qū)間A上也單調(diào)遞增(或遞減).

規(guī)律2：一般地,當(dāng)01時(shí),函數(shù)y=ax-logbx在(0,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>1,0

2 精彩二:解不等式

求解不等式時(shí),如果能將不等式轉(zhuǎn)化為形如ax0,a≠1)的形式,那么就可以靈活運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性加以求解;如果能將不等式轉(zhuǎn)化為形如logax0,a≠1)的形式,那么就可以靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性加以求解.具體求解時(shí),必須關(guān)注底數(shù)與“1”的大小關(guān)系;否則,極易出錯(cuò).一般地,當(dāng)a>1時(shí),axy,logaxy>0.

解析：當(dāng)m<2時(shí),由f(m)<2,得2em-3<2,即em-3<1=e0,則m-3<0,解得m<3.又m<2,所以m<2.

當(dāng)m≥2時(shí),由f(m)<2,得log3(m-5)<2=log39,則有0

綜上所述,不等式f(m)<2的解集是{m|m<2或5

評(píng)注：求解簡(jiǎn)單的指數(shù)(或?qū)?shù))不等式的一般步驟是先將不等式兩邊化成底數(shù)相同的形式,再利用對(duì)應(yīng)指數(shù)(或?qū)?shù))函數(shù)的單調(diào)性即可.求解對(duì)數(shù)不等式時(shí),要特別關(guān)注隱含條件“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”.從整個(gè)解析過程來看,本題還考查了“分類與整合思想”在解題中的靈活運(yùn)用.

3 精彩三:證明恒等式

如果題目已知條件中涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù),那么證明有關(guān)恒等式時(shí),往往需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)靈活構(gòu)造新函數(shù),并在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上運(yùn)用新函數(shù)的單調(diào)性加以巧證[2].

例3已知實(shí)數(shù)a,b滿足a+lga=3,且b+10b=3,求證:a+b=3.

證法一：設(shè)函數(shù)f(x)=x+10x,則由題設(shè)得f(b)=b+10b=3,f(lga)=lga+10lg a=lga+a=3,所以f(b)=f(lga).

因?yàn)楹瘮?shù)y=x和y=10x在R上都單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,從而有b=lga.于是,a+b=a+lga=3,故得證.

證法二：設(shè)函數(shù)g(x)=x+lgx(x>0),則由題設(shè)得g(a)=a+lga=3,g(10b)=10b+lg 10b=10b+b=3,所以g(a)=g(10b).

因?yàn)楹瘮?shù)y=x和y=lgx在(0,+∞)上都單調(diào)遞增,所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)?0b>0,且由題設(shè)易知a>0,從而必有a=10b.

所以a+b=10b+b=3,得證.

評(píng)注：上述證法一、證法二解題的關(guān)鍵都是靈活構(gòu)造函數(shù),并且巧妙地利用了函數(shù)的單調(diào)性“一般地,若f(x)是區(qū)間A上的單調(diào)函數(shù),且x,y∈A,則f(x)=f(y)?x=y”.此外,應(yīng)注意對(duì)數(shù)恒等式alogaN=N與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則在化簡(jiǎn)運(yùn)算中的靈活運(yùn)用.

4 精彩四:求解含參問題

處理涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù),且含有參數(shù)的最值問題或者解不等式問題時(shí),往往需要借助指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(包括定義域、值域、單調(diào)性等)加以靈活分析.

例4若函數(shù)f(x)=loga(x2+2x+2)(a>0,a≠1)有最大值,則由不等式a2x+3

解析：因?yàn)閤2+2x+2=(x+1)2+1≥1,所以根據(jù)函數(shù)f(x)=loga(x2+2x+2)有最大值,易知01+3x,解得x<2.

故由不等式a2x+3

評(píng)注：本題求解的關(guān)鍵步驟有兩點(diǎn).一是由函數(shù)f(x)存在最大值,準(zhǔn)確判斷得到參數(shù)a與1的大小關(guān)系;二是利用指數(shù)函數(shù)y=ax(0

仿照例4的解析過程,我們很容易求解如下姊妹題:設(shè)a>0,a≠1,若函數(shù)f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,則由不等式a2x+3

5 精彩五:求解最值問題

處理涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的最值問題時(shí),往往需要運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(包括定義域、值域、單調(diào)性等)以及“換元”技巧(換元之后,需要關(guān)注新元的取值范圍)加以靈活分析[3].

例5已知函數(shù)y=ln (x-1)+ln (3-x)的定義域?yàn)镈,求函數(shù)f(x)=2x+4-3·4x(x∈D)的最值.

解析：由函數(shù)y=ln (x-1)+ln (3-x)有意義,得x-1>0且3-x>0,解得1

評(píng)注：實(shí)施“換元”變形,有利于將原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)問題——求關(guān)于t的二次函數(shù)y=16t-3t2在給定區(qū)間(2,8)上的最值.從整體上看,本題設(shè)計(jì)較好,具有較強(qiáng)的綜合性,側(cè)重考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)知識(shí)的交匯應(yīng)用,同時(shí)也較好地培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

綜上,只有準(zhǔn)確理解、熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),才能靈活處理涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問題,進(jìn)而提高分析、解決此類問題的能力[4].