高考數(shù)學(xué)情境類創(chuàng)設(shè)試題的命題方向

劉 學(xué)

? 江蘇省張家港高級中學(xué)

在新教材(人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過)、新課程〔《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》〕、新高考的“三新”背景下,數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)類試題已經(jīng)成為高考命題中的一個熱點,借助現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等的構(gòu)建,巧妙滲透教學(xué)改革的價值導(dǎo)向及綜合化、情境化與開放化等意識,有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等.

1 自主創(chuàng)新與科學(xué)發(fā)展

習(xí)近平總書記指出:“自主創(chuàng)新是我們攀登世界科技高峰的必由之路.我國要在科技創(chuàng)新方面走在世界前列,必須在創(chuàng)新實踐中發(fā)現(xiàn)人才、在創(chuàng)新活動中培育人才.”

數(shù)學(xué)被稱為科學(xué)的“皇后”,是學(xué)習(xí)一切科學(xué)的基礎(chǔ),也是人的發(fā)展的必要條件.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞決定著人才的發(fā)展高度,更是新時代科技創(chuàng)新與發(fā)展方面人才選拔的一個重要基礎(chǔ).借助自主創(chuàng)新與科學(xué)發(fā)展這方面的數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè),引領(lǐng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)與人才培養(yǎng)方向,為新時代選拔更多更優(yōu)秀的人才.

分析：根據(jù)數(shù)學(xué)情境,利用閔氏距離的創(chuàng)新定義并結(jié)合具體的曲線條件,構(gòu)建對應(yīng)距離的表達式,進而結(jié)合重要不等式結(jié)論ex≥x+1與絕對值不等式性質(zhì)加以合理放縮,從而得以分析與求解對應(yīng)的最值問題.

解析：設(shè)N(x,x-1),M(t,et).則D1(M,N)=|x-t|+|x-1-et|.

令f(x)=1+ex-x,則f′(x)=ex-1.

當(dāng)x∈(-∞,0)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)>0.

所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

因此f(t)≥f(0)=2,即1+et≥t+2>t.

當(dāng)x≤t時,D1(M,N)=t-x+1+et-x=et+t+1-2x≥et-t+1≥2;

當(dāng)t

當(dāng)x≥1+et時,D1(M,N)=x-t+x-1-et=2x-t-1-et≥2(1+et)-t-1-et=1+et-t≥2.

綜上所述,可知D1(M,N)的最小值為2.

故填答案:2.

點評：涉及自主創(chuàng)新與科學(xué)發(fā)展方面的數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)問題,往往以新時代前沿科學(xué)發(fā)展或創(chuàng)新應(yīng)用為場景來創(chuàng)設(shè),合理數(shù)學(xué)建模,轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,進而利用數(shù)學(xué)知識來分析與應(yīng)用.

2 文化傳承與“五育”并舉

任子朝先生認為:文化與數(shù)學(xué)史考題體現(xiàn)“創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化、創(chuàng)新性發(fā)展”.借助數(shù)學(xué)文化類的情境創(chuàng)設(shè)試題,把弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與學(xué)習(xí)借鑒國外優(yōu)秀文化成果相結(jié)合,增強中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的生命力和影響力,促進學(xué)生培養(yǎng)文化探究和創(chuàng)新意識,培育人文精神,實現(xiàn)文化傳承,增強文化自覺和文化自信,體現(xiàn)高考選拔以及德、智、體、美、勞等“五育”全面發(fā)展的育人的重大使命.

圖1

例2(2023屆江蘇省南京市、鹽城市高三年級第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷)三星堆古遺址作為“長江文明之源”,被譽為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.3號坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮,為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據(jù).玉琮是古人用于祭祀的禮器,有學(xué)者認為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造,契合了古代“天圓地方”觀念,是天地合一的體現(xiàn).如圖1,假定某玉琮形狀對稱,由一個空心圓柱及正方體構(gòu)成,且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面,圓柱的高為12 cm,圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球O上,則球O的表面積為( ).

A.72π cm2B.162π cm2

C.216π cm2D.288π cm2

分析：根據(jù)數(shù)學(xué)情境,結(jié)合對應(yīng)玉琮的結(jié)構(gòu)特征,利用圓柱與正方體這兩個基本空間圖形之間的位置關(guān)系,通過設(shè)圓柱底面圓半徑與球的半徑,構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式,得以求解球的半徑,進而求球的表面積.

解析：設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,球O的半徑為R,則正方體的棱長為2r,依題可得

解得R2=54.

所以球O的表面積為S=4πR2=216π(cm2).

故選擇答案:C.

3 生活情境與數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)源于生活,高于生活.在生活情境中提煉抽象出數(shù)學(xué)問題,本身就是將數(shù)學(xué)與生活結(jié)合在一起,真正體現(xiàn)學(xué)以致用.勞動創(chuàng)造了數(shù)學(xué),活動是數(shù)學(xué)的表象,高考中的生活情境類問題就是考查學(xué)生透過表象抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用.

例3〔2023屆廣東省名校聯(lián)盟高三(下)學(xué)期大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷〕“打水漂”是一種游戲,通過一定方式投擲石片,使石片在水面上實現(xiàn)多次彈跳,彈跳次數(shù)越多越好.小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲時,將一石片按一定方式投擲出去,石片第一次接觸水面時的速度為20 m/s,然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳.不考慮其他因素,假設(shè)石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的85%,若石片接觸水面時的速度低于6 m/s,石片就不再彈跳,沉入水底,則小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為( ).(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.3,1g 3≈0.48,lg 17≈1.23.)

A.6 B.7 C.8 D.9

分析：根據(jù)數(shù)學(xué)情境,結(jié)合“打水漂”游戲構(gòu)建對應(yīng)的等比數(shù)列與不等式,通過函數(shù)運算以及不等式的性質(zhì),利用對數(shù)運算來求值處理,進而通過不等式的求解來確定與應(yīng)用.

解析：設(shè)小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為x,x∈N*,依題可得20×0.85x-1<6,即0.85x-1<0.3,則有x-1>log0.850.3.

故選擇答案:C.

點評：涉及生活情境與數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)問題,借助生活中的實際問題來闡述相應(yīng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,充分展示數(shù)學(xué)來源于生活,又高于生活,同時有效指導(dǎo)生活.

4 研究探索與遷移創(chuàng)新

借助數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè),引導(dǎo)考生進行合理的研究探索或知識遷移,結(jié)合數(shù)學(xué)中的概念類比、公式設(shè)置、性質(zhì)應(yīng)用、知識拓展與創(chuàng)新應(yīng)用等,通過“再加工”,進行創(chuàng)新與應(yīng)用.創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用是新時代的一個主旋律,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中不斷滲透與培養(yǎng)的一種基本精神與能力.

表1

Y01P1-pp

分析：根據(jù)數(shù)學(xué)情境,從創(chuàng)新定義X,Y的散度D(X‖Y)入手,結(jié)合創(chuàng)新公式與數(shù)據(jù)處理來構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來確定函數(shù)的取值范圍問題.

故填答案:[0,+∞).

點評：涉及探索與遷移創(chuàng)新方面的數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)問題,以方法操作或創(chuàng)新定義等方式給出,通過對此類問題的研究與探索,合理遷移對應(yīng)的數(shù)學(xué)知識,在此基礎(chǔ)上加以有效創(chuàng)新應(yīng)用.Z

2023年命題比賽獲獎?wù)撐闹?/p>