“轉(zhuǎn)化與化歸”思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

李 碩

? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院

“轉(zhuǎn)化與化歸”思想是高學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想,運(yùn)用非常廣泛,尤其是一些特殊的問題,運(yùn)用“轉(zhuǎn)化與化歸”思想解題可以提高效率,同時還可以降低問題解決的難度.因此,在數(shù)學(xué)課堂引入并應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及解題的過程中,加深對數(shù)學(xué)概念的理解,同時也能有效鍛煉數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)習(xí)效率,進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在高中數(shù)學(xué)的解題過程中,基于“轉(zhuǎn)化與化歸”思想的三大原則,主要運(yùn)用的解題方法包括特殊與一般的轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,以及函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化等一些常見的轉(zhuǎn)化方法.

1 特殊與一般的轉(zhuǎn)化

將一般問題進(jìn)行特殊化處理,可使問題的解決變得更為直接和簡便,并且還能從特殊情況中尋找問題解決的常規(guī)思維;除此之外,對特殊性問題進(jìn)行概括性研究,實(shí)現(xiàn)特殊問題一般化,也能從宏觀與全局的角度把握特殊性問題的普遍規(guī)律,并能有效地解決特殊性問題.

A.x2+y2=9 B.x2+y2=7

C.x2+y2=5 D.x2+y2=4

分析：根據(jù)題目中的已知條件,在橢圓上,兩條相互垂直的切線可以隨意選擇,但其交點(diǎn)位于與橢圓同心的圓卻是唯一的,也即答案是唯一的.由此,可以通過選取一般問題的特殊情形找到一般的解題思路,不妨利用過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的兩條切線進(jìn)行解題.

所以橢圓C的蒙日圓方程為x2+y2=7.

故選:B.

以問題的特征為依據(jù),對命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的、容易解決的新問題,這也是解決數(shù)學(xué)問題常見的轉(zhuǎn)化思路,并且可以通過這種轉(zhuǎn)化逐步培養(yǎng)識別關(guān)鍵信息的能力.

2 命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化

把題目中已有的條件或者結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化,化難為易,是解決較難問題常用的轉(zhuǎn)化手段.其主要方法包括:數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、圖形形體及位置的轉(zhuǎn)化等.

例2由命題“存在x0∈R,使e|x0-1|-m≤0”是假命題,得m的取值范圍是(-∞,a),則實(shí)數(shù)a的值是______.

分析：利用轉(zhuǎn)化思想可以將命題“存在x0∈R,使e|x0-1|-m≤0”是假命題轉(zhuǎn)化為“對任意x∈R,e|x-1|-m>0是真命題”,由此得出m

解：由命題“存在x0∈R,使e|x0-1|-m≤0”是假命題,可知“對任意x∈R,e|x-1|-m>0是真命題”,由此可得m的取值范圍是(-∞,1),而(-∞,a)與(-∞,1)為同一區(qū)間,故a=1.

解：求得g′(x)=3x2+(m+4)x-2.

根據(jù)命題的等價(jià)性對題目條件進(jìn)行明晰化處理是解題常見的思路;對復(fù)雜問題采用正難則反的轉(zhuǎn)化思想,更有利于問題得到快速解答.

3 函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程、不等式之間有著千絲萬縷的關(guān)聯(lián),通過結(jié)合函數(shù)y=f(x)圖象可以確定方程f(x)=0,不等式f(x)>0和f(x)<0的解集.

例4若2x-2y<3-x-3-y,則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析：由題意,可將2x-2y<3-x-3-y轉(zhuǎn)化為2x-3-x<2y-3-y,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不等式與函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化,從而解得答案.

解：由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y.

故選擇:A.

(1)求函數(shù)g(x)的最大值;

分析：第(1)問要求函數(shù)g(x)的最大值,關(guān)鍵在于需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化與劃歸思想,通過g′(x)得出函數(shù)g(x)單調(diào)性,即可求出g(x)的最大值.將第(1)問得出的g(x)最大值-2轉(zhuǎn)化成lnx-(x+1)≤-2,即lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立),再利用換元法最終證明出結(jié)論.

令g′(x)>0,則01.

所以,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.

故g(x)的最大值為=g(1)=-2.

(2)證明：由(1)知x=1是函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),故g(x)≤g(1)=-2.

所以lnx-(x+1)≤-2,即lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立).

令t=x-1,則有t≥ln(t+1)(t>-1).

在分析此類題目的過程中,利用函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸更有利于問題的解決,因此,利用轉(zhuǎn)化與劃歸思想不僅能讓整個數(shù)學(xué)知識的體系變得更加緊密,同時也能對學(xué)生從系統(tǒng)性角度掌握數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系提供非常大的幫助.

轉(zhuǎn)化與化歸思想所蘊(yùn)含的內(nèi)容豐富且深奧,為高中數(shù)學(xué)問題的解決提供了多種思路,對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也有極大的指導(dǎo)與啟發(fā)作用,值得我們不斷地探索與研究.因此,在解決高中數(shù)學(xué)問題的過程中,要靈活運(yùn)用“轉(zhuǎn)化與化歸”的解題思想.有些數(shù)學(xué)問題看似復(fù)雜,但通過分析可知出題者采用的是“障眼法”,其中有的是多余或無用的條件.同時,在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師可以在解題教學(xué)過程中滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想,加強(qiáng)學(xué)生在特殊與一般轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化以及函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化等方面的技能,逐步鍛煉學(xué)生簡化題目內(nèi)容的能力和意識,最大程度提高解題效率.Z