關于輕敲式原子力顯微鏡動力學系統中能量耗散的研究1)

劉國林 曾 瑜 劉錦灝 魏 征

(北京化工大學機電工程學院,北京 100029)

引言

利用共振原理以實現能量傳遞、轉換和演變的微納諧振器現在已經成為許多微納機電系統的核心部件,它具有高靈敏度,高品質因數及高諧振頻率等優點[1-3].原子力顯微鏡(atomic force microscope,AFM)是研究微觀領域的基礎工具,是龐大的掃描探針顯微鏡家族的重要成員[4],它的出現推動了納米科技和微納米工業的發展,受到科學與工業領域的廣泛關注.其核心部件探針,在力學上被描述為一微納懸臂梁,是一種典型的微納諧振器件.

AFM 存在3 種工作模式:接觸式、非接觸式及間歇接觸樣品的輕敲模式.在AFM 輕敲模式的工作過程中,針尖與樣品之間的作用力會使得微懸臂梁振動參數發生變化,依靠檢測這種變化可以得到相應的形貌圖和相位圖.與得到的樣品形貌圖相比,由激勵信號與微懸臂梁探針自由端響應信號的相位滯后得到的相位圖更能反映樣品的表面信息.

通常,相位、品質因數和頻率的關系可以表示為[5]

其中,φ 表示相位,s為激振頻率 ω 與微懸臂梁固有頻率 ωn之比,Q表示品質因數.

從上式可見,AFM 探針在工作過程中,其相位的變化主要與品質因數Q和頻率比s兩個因素有關.在正常情況下,掃描樣品時會將頻率比固定,那么由式(1)可得,相位的變化實際上是由品質因數的變化所引起.而品質因數Q與系統的能量耗散和阻尼有關,一方面品質因數的倒數Q-1可以用來表征能量耗散,另一方面品質因數可以通過懸臂梁質量m,阻尼系數c和頻率 ωn求得,有Q=mωn/c.這說明掃描出的相位圖像也與系統的能量耗散和阻尼有著密切的關系,相位圖像可以揭示系統的阻尼和能量耗散情況[6-7].

在真空中,AFM 的品質因數能達到上萬,在空氣中品質因數為百這個量級,在液體中品質因數下降到個位數[8],可見在不同的環境下,AFM 系統的能量耗散情況也不同.在這些耗散中,不同耗散對圖像品質的影響也有區別,以實驗室的空氣環境為例,針尖與樣品直接接觸的黏附耗散能真實反映樣品的性質,是核心耗散.其他耗散,例如,空氣黏性阻尼、壓膜阻尼、液橋耗散及支撐損耗等,會使系統的品質因數降低,減小核心耗散在系統總耗散中的占比,從而使得樣品的真實信息被掩蓋.在其他耗散中,我們根據耗散產生的原因將其分為內稟耗散和外部耗散,其中由微懸臂梁自身結構原因所導致的耗散是內稟耗散,由外部環境原因所導致的耗散稱為外部耗散.內稟耗散和外部耗散都會對系統的核心耗散產生影響,并使相位圖像品質降低,因而明確這些耗散對系統品質因數的量級貢獻是十分重要的,這為優化相位圖像給出了理論依據.

關于能量耗散的研究,Cleveland 等[6]從能量流動的角度討論了AFM 系統的能量耗散,并推導出了相位與能量耗散的具體關系.Zener[9]在提出“滯彈性”概念的基礎上,推導出了微懸臂梁熱彈性耗散的基本公式.Hosaka 等[10]將微懸臂梁看作是微型小球的集合,并給出了在這一假設下微懸臂梁受空氣阻尼的理論模型.Stoffels 等[11]研究了聲波-熱聲子相互作用中Akhiezer 阻尼的影響.Hao 等[12]通過分析界面耗散的物理機制并通過實驗驗證給出了界面耗散的貢獻.Yang 等[13]討論了超薄微懸臂梁中的4 種能量損失-熱彈性損失、空氣阻尼、支撐損失和表面損失,并探討了超薄微懸臂梁的尺寸效應對系統品質因數的影響.Imboden 等[14]對納米機電系統中的各個耗散過程進行了綜述,介紹了納米機電技術在研究和工程中的應用,明確了耗散機制對微納器件動態響應的影響.張文明等[15]對微納諧振器中能量耗散機理及非線性阻尼效應進行了討論.魏征等則進一步研究了輕敲式原子力顯微鏡在工作過程中空氣黏性阻尼[5]、壓膜阻尼[16]以及液橋[17-18]對系統能量耗散的貢獻.Herruzo 等[19]討論了原子力顯微鏡在水和空氣等不同環境下的動力學特性,并對比了機械激勵及磁激勵的區別.Chen 等[20]分析了不同氣體環境下微懸臂梁品質因數的大小,并探究了液體環境下梁的振動.

輕敲式的AFM 探針在振動過程中是從高于樣品表面到下降并接觸樣品再從樣品離開,這在一個周期中是連續的過程,在這一過程的不同階段存在著不同的能量耗散,但是目前對這一連續的能量耗散過程并沒有一個清晰完整的認識,對其中不同耗散的作用機理也不甚明了.并且對于AFM 不同的工作環境,文獻中大多是對某一種特定環境下的耗散進行討論,并沒有把不同環境的耗散綜合起來考慮.同時,考慮到不同的能量耗散對系統總品質因數的貢獻不同,明確不同耗散的量級貢獻顯得尤為重要.因而,本文擬把AFM 中核心部件的微懸臂梁探針作為研究對象,對探針在不同位置及不同環境下的能量耗散機制進行綜合分析,以期對不同能量耗散的量級貢獻有一個清晰完整的認識,對成像機理和成像質量有更進一步的了解,并在此基礎上為降低系統能量耗散,進而提高相位像的品質提供理論上的參考.

1 內稟耗散

內稟耗散是由材料自身結構原因所引起,材料的內耗決定了內稟耗散的大小.從宏觀層面來看,內稟耗散表現為機械熱噪聲的形式.在AFM 中,內稟耗散與探針的材料、加工方式等都有關系,其內稟耗散主要包括:熱彈性耗散、聲波-熱聲子相互作用、表面耗散和界面耗散.

1.1 熱彈性耗散

當AFM 系統在工作過程中進行振蕩掃描時,探針內部總會產生相應的熱應變,其中受擠壓的部分溫度上升,受拉伸的部分溫度降低.但是由于梁受壓和受拉部位并不相同,梁擠壓部位和拉伸部位造成的溫度梯度將導致熱流的產生.熱流會自發的從溫度高的部位涌向溫度低的部位,這一過程所導致的能量耗散稱之為熱彈性耗散.對于不斷振動的微懸臂梁來說,只要它的熱膨脹系數不為0,那么就會受到熱彈性耗散的影響,使得系統的品質因數降低.

Zener[9]通過計算應力、應變和溫度的時間平均值,推導出了熱彈性耗散的理論公式,具體表達為

式中,CP為定壓比熱容,α 為熱膨脹系數,T為溫度,τR為特征時間,E為彈性模量.

對于矩形類型的微米和納米尺度諧振器中的熱彈性耗散,Lifshitz 等[21]根據式(2)推導出了更為準確的表達式,品質因數的計算式為

經過上面的討論,能看出熱彈性耗散與微懸臂梁的材料和尺寸有著密切的關系.Ergincan 等[22]通過實驗的方式得出了熱彈性耗散的具體數值,其結果與式(3)所估計的理論結果相差不大.這里為估計熱彈性耗散的貢獻,取一根常用的輕敲模式探針,其尺寸為 135 μm×40 μm×4 μm,考慮梁的材料為硅,諧振頻率約為f=300 kHz,則由式(3)估計的品質因數為 3.27×105.由此,通過上面的分析,能估計熱彈性耗散對AFM 微懸臂梁探針品質因數的影響在105量級.

1.2 聲波-熱聲子相互作用

聲波-熱聲子相互作用是內稟耗散的另外一種重要機制,其主要包括,聲波波長遠大于聲子平均自由程的Akhiezer 阻尼和聲波波長小于聲子平均自由程的Landau-Rumer 效應[11].由于AFM 探針的振動頻率在 ～ 102kHz,對比文獻中的阻尼效應,可知此時AFM 探針所受阻尼為Akhiezer 阻尼.Akhiezer 阻尼是指低頻/低溫聲子-高頻/高溫聲子間能量交換造成的耗散.其詳細闡述為,隨著晶體材料非零的體積變化,低頻的應力波將引起晶體材料的簡正模頻率做周期性的局部變化,體積膨脹使簡正模頻率減小.這些模式完全被熱聲子占據.頻率的下降表明瞬態模比平衡溫度給定的占有率要低,由此使這些模式有效的局部溫度降低.體積膨脹對應溫度下降,體積壓縮對應溫度上升.這一體積和溫度的變化將驅動著聲子從溫度升高的體積壓縮區域向溫度下降的體積膨脹區域做擴散運動,因而從應力波中轉移了能量,由于這種熱擴散的不可逆性,導致了應力波的衰減,這就是Akhiezer 阻尼[23].那么,由熱聲子的弛豫所導致的能量耗散,其品質因數可以表示為[24]

式中,τph表示熱聲子的弛豫時間,當材料為硅時τph=6.91 ps,va表示聲波的波速,γavg為平均Gruneisen 常數,在這里取為0.51.

從上面有關熱聲子的描述,可知聲波-熱聲子相互作用的弛豫時間由材料性質決定,在這里同樣考慮AFM 的微懸臂梁探針,其材料為硅,諧振頻率約為300 kHz,在室溫條件下,由上式估計的品質因數為 2.4×107.通過上面的分析,可知由聲波-熱聲子相互作用所引起的耗散對AFM 品質因數的影響在107量級.

1.3 表面耗散

當微懸臂梁尺寸變小,表面積與體積之比增大,表面損失作用加強,品質因數因阻尼的作用而逐漸減小.在眾多的耗散機制中,由表面損耗所引起的能量損失機制是最復雜的,一般對表面耗散的研究主要是從兩個方面進行,一是表面層所引起的損耗,二是表面化學效應所引起的損耗[15].在本文中主要對表面層的影響進行討論,對表面耗散進行建模,考慮梁的復彈性模量Ec=E+iEd,其中Ec和Ed分別為彈性模量的復數值和彈性模量耗散部分.對于以正弦規律振動的矩形懸臂梁,其儲存的能量可以表示為

其中b為梁寬,εmax為梁頂部或底部在振動過程中發生的應變.

考慮表面層厚度 δ,復數模量Ecs=Es+iEds,則每個周期表面層造成的能量損失為[25]

式中,Es為表面層的常規彈性模量,Eds為表面層的耗散彈性模量.因此與表面損耗相關的品質因數為

在式(7)中,Eds作為吸收層的特性及其缺陷,與表面應力密切相關,會導致表面損失的產生.由文獻[15]知,〈 δEds〉 的取值范圍為0.7～1.1,對于無修飾表面梁,〈δEds〉～0.9.同時,從式(7)也可以看出,表面損耗的大小與微懸臂梁的尺寸也具有很強的關聯.在這里考慮一個無修飾的AFM 探針,探針尺寸一般為幾十或幾百微米,令其尺寸為135 μm×40 μm×4 μm,材料選擇為硅,則通過上式估計的品質因數為1.2×105.由此,可知由表面耗散所引起微懸臂梁品質因數的變化大概在 105量級.

1.4 界面耗散

多層諧振器的界面耗散是指諧振器在界面處因振動而耗散的能量.在本質上,界面耗散是連續介質力學中兩個塊體區域之間界面移動/變形的行為或者材料科學中兩個固體相界面之間在彈性變形影響下內部結構的變化.從連續介質力學來看,諧振器在連續界面處其應變是一致的,但不同材料的界面層具有不同的楊氏模量,由此在相連的界面層上有應力跳變產生.這種應力跳變在界面上起到驅動力或摩擦力的作用,會導致界面滑移,但不會破壞兩界面層之間的黏合,這意味著界面通過將多層諧振器中的部分振動能量轉化為熱能耗散掉.因此,如果想對諧振器的界面耗散進行分析研究,就必須更好地理解界面對鄰近固相彈性變形的響應.

對于界面耗散品質因數的估計,Hao 等[12]通過分析界面耗散的物理機制并通過實驗驗證,給出了基頻下界面耗散的品質因數表達式.在AFM 中,某些探針表面有一層涂層,涂層會在界面處產生耗散,這時品質因數的計算式可以寫為

式中,Ep,hp和ρp分別為涂層的楊氏模量、高度和密度,l為懸臂梁長度,?E=E-Ep,為兩種材料楊氏模量的差值,η1為常數,具體數值通過實驗得到[12],在這里估為 3×10-12m3/(N·s).

考慮AFM 某一種類型的探針,在懸臂梁表面鍍有70 nm 厚的金涂層,懸臂梁尺寸為135 μm×40 μm×4 μm,材料為硅,則通過式(8)計算涂層界面耗散的品質因數為 1.67×1013.由此可以估計界面耗散對AFM 微懸臂梁探針品質因數的影響在 1013量級.

2 在不同環境下的外部耗散

外部耗散主要是由外部環境原因所引起,在AFM 中,這一外部環境為非理想的支撐結構及探針自身所處的流體環境.由非理想的支撐結構引起的耗散為支撐損耗,由流體環境所引起的外部耗散在不同環境下有所區別,下面將進行詳細的討論.

2.1 支撐損耗

AFM 在真空環境下工作時,外部沒有氣體阻尼的作用,此時的外部耗散為梁與基底連接處的支撐損耗.而由于AFM 中支撐結構的不可避免性,支撐損耗在任何環境都存在.支撐損耗的基本原理是,當微懸臂梁在振動時,梁與支撐基底接觸的部位由于梁的彎曲振動會產生剪切力和彎矩,這所產生的力的作用可以視為一個激勵源并在基底上激發出彈性波.這些彈性波會經由基底阻尼的作用不斷衰減傳播,最后完全耗散掉.可見,導致支撐損耗的關鍵是結構耦合的非固支性,對于理想的支撐基座而言,可以假定基座的位移為0,探針系統的能量不會傳遞到基座上,但現實的支撐基座,探針系統的能量會通過固支端耦合到基座上,引起基座振動并導致能量耗散.

1968 年,Jimbo 等[26]將懸臂梁振動的能量與懸臂梁根部的剪力和彎矩在彈性介質中引起的應變相關的能量進行了比較.之后,Photiadis 等[27]給出了兩種不同情況下從諧振器到其支撐結構的能量損失解析表達式:一種是可以被視為厚度遠大于諧振器本身的板支撐,另一種是在遠大于諧振器厚度的基礎上,大于振動波長的支撐.他們研究發現,當梁和支撐介質為同種材料時,由懸臂梁振動并輻射到支撐介質(半無限板)所得到的支撐損耗品質因數為

式中,hs為支撐介質的高度.

當支撐結構相較于傳播波的波長足夠厚時,基底近似為半無限彈性介質(半空間),得到支撐損耗的品質因數為

通過上邊兩個公式,可以看出,支撐損耗與懸臂梁和支撐介質的幾何尺寸有著緊密的聯系.為了深入了解這種耗散機制與器件尺寸的關系,本文通過有限元仿真的方法對其進行了研究.首先需要對建立的模型進行考慮,在實際情況下由于微懸臂梁相較于支撐基底往往很小.同時,考慮材料自身的阻尼特性,會使懸臂梁因振動所產生的彈性波在傳遞過程中逐漸耗散掉.但在理想化的仿真過程中,支撐介質基底并不能很好地對這兩種特質進行模擬,所以需要考慮在仿真建模的有限區域添加吸收邊界條件來保證與支撐結構耦合所產生的彈性波能夠完全耗散掉.吸收邊界條件有很多種,如邊界阻尼器、無限元、邊界積分和完美匹配層(perfectly matched layer,PML)等[28-30].在所有吸收邊界條件中,PML 具有易于實現,經濟成本低,計算方便,并從理論上可以吸收任何入射角度波的優點[31-32].因此,本文選擇利用PML作為彈性波耗散的邊界條件.建立的模型如圖1所示,在圖中支撐介質厚度為PML層的厚度根據參考文獻[33] 推薦為λ/14 ≤TPML≤2λ,其中λ 為在支撐介質中傳遞的較長波的波長,式中Esup,ρsup和νsup分別是支撐介質的楊氏模量,密度和泊松比.

在完成上述模型的建立后,同樣考慮一個尺寸為 135 μm×40 μm×4 μm 的微懸臂梁,選擇梁和支撐介質的材料都為硅(E=169 GPa,ρ=2330 kg/m3,υ=0.3).探針基底的高度根據探針盒上的標注為400 μm,即hs=400 μm,比較梁和支撐介質的高度,hs?h,符合式(9)的應用條件.之后,計算支撐介質中較長波的波長,λ=2.67×10-2m,hs?λ,故式(10)不適用于AFM 支撐損耗的估算.最后,模型仿真的結果與通過式(9)所計算的理論值如表1 所示.

表1 支撐損耗的理論及仿真結果Table 1 Theoretical and simulation results of support dissipation

從表1 的結果中可以看出,通過式(9)計算出的品質因數與數值仿真計算出的品質因數近似符合,這證明了本文模型建立的準確性和可行性.并且我們知道,在對支撐損耗的研究過程中,由于支撐損耗與其他耗散之間的耦合關系使得對于支撐損耗的研究大多停留在理論公式推導的層面,很難利用實驗進行分析.在本小節,利用PML 作為吸收邊界,估計了真實AFM 探針支撐損耗對系統品質因數的量級貢獻在 104.并且從式(10)的表述來看,如果當支撐基底足夠厚的話,可以有效降低系統中的支撐損耗.

2.2 在空氣中的外部耗散

在空氣中的外部耗散包含了兩個部分,一是由結構原因引起的支撐損耗,二是由外部空氣環境引起的耗散,支撐損耗的影響前文已經討論過了,而由空氣環境引起的耗散在AFM 工作的不同位置處稍有區別,在本節主要討論空氣黏性阻尼、壓膜阻尼及液橋耗散的影響.

2.2.1 空氣黏性阻尼

在非真空環境下,當環境壓強從真空逐漸增壓到正常大氣壓,AFM 系統的品質因數會因壓強變化而改變,這一變化趨勢稱之為氣體介質的阻尼效應,一般可以將其分為3 個階段:本征區域、分子區域和黏性區域[5].在本征區域,空氣較為稀薄,空氣壓強很低,工作環境近似為真空環境,當梁在其中振動時,能量耗散主要為其他形式的耗散.在分子區域,氣體分子數量增加,空氣壓強逐漸增大,氣體分子與微懸臂梁及樣品表面發生作用,但氣體分子自身之間的作用可以忽略.在黏性區域,氣體分子數量增加到一定程度,壓強對品質因數的影響大幅增強,該氣體環境中的空氣可以視為黏性流體,氣體分子不僅與探針和樣品發生作用,自身內部之間也在相互作用,此時AFM 系統受到黏性阻尼作用.

通常,AFM 都在實驗室大氣環境下進行工作,壓強范圍位于黏性區域.當微懸臂梁在距離樣品較遠的位置時,微懸臂梁的高頻振動會帶動著空氣高頻振蕩,其可視為微懸臂梁在空氣中的自由振動,此時,梁上所受氣體阻尼為空氣黏性阻尼.前人已經對這個問題進行了一些研究,Hosaka 等[10]把懸臂梁近似成由微球組成的形式,通過理論計算,得到微懸臂在振動時單位長度的流體繞流阻尼系數為

式中,η 為氣體的動力黏度,對空氣而言η=1.8×10-5kg/(s·m),Re為雷諾數,對于在空氣中振動的微懸臂梁來說Re?1,0.375Re可忽略.

同時,考慮到微懸臂梁在空氣中是處于高頻振動狀態,周圍會產生有旋流使阻力增加,求解斯托克斯方程可得微懸臂梁單位長度受到這一部分有旋流體的阻尼系數為[34]

式中,ρa是空氣密度,ρa=1.293 kg/m3.

微懸臂梁在空氣中振動時的等效黏性阻尼可表示為[5]

根據振動力學中品質因數與阻尼的關系,可以得到微懸臂梁在空氣中振動時的品質因數為

其中,me表示梁在空氣中的等效質量,根據振動力學中的等效原則有me=0.24m.

為了驗證空氣對微懸臂梁探針的影響,我們進行了相應實驗.實驗所用原子力顯微鏡為BRUKER dimension icon,探針型號為AN-NSC10,探針在掃描電子顯微鏡下的形態如圖2 所示,各項參數及通過理論計算得出的等效數值見表2.

表2 探針各項參數值Table 2 Parameter values of the probe

圖2 掃描電子顯微鏡下的探針Fig.2 The probe under scanning electron microscope

在進行實驗的過程中,由于設備具有一定的距離調節范圍限定,無法通過一次性的范圍調節完成探針在遠離樣品時、靠近樣品表面過程中以及最后的接觸樣品這一連續過程的掃頻曲線,因此需要做多次實驗.將實驗人為地分為較遠處及較近處兩個階段,同時,為了使實驗數據能夠完整包含探針遠離樣品、靠近樣品和接觸樣品這一連續性過程,兩個距離段的探針行程區域需要有一定程度的重合,實驗中得到探針在距樣品較遠距離處的實驗結果如圖3 所示.

圖3 遠距離的掃頻曲線Fig.3 Sweeping curve at far distance

利用半帶寬法,對圖3 中的掃頻曲線進行計算,得到在較遠距離處掃頻曲線所對應的品質因數如圖4 所示.圖3 的掃頻曲線展示了在不同針尖樣品距離下振幅和頻率的關系,從圖中能看出當針-樣之間距離較大時,位于最上邊的幾條曲線出現重疊.之 后,隨著距離減小,掃頻曲線的最大振幅降低,曲線變得越“胖”.圖4 的結果很好地對這一現象進行了解釋,當距離較遠時,針-樣間距離的變化不對系統的耗散產生影響,系統的品質因數幾乎不變,此時空氣只對其有黏性阻尼作用.而隨著距離進一步減小,系統的品質因數隨之降低,此時針-樣之間有壓膜阻尼產生,壓膜阻尼的影響將在后文進行敘述.對黏性阻尼進行分析,當梁的長、寬、高分別為135 μm×40 μm×4 μm時,根據式(14)進行理論計算,得出的品質因數為472.26,而通過實驗得出梁在遠離樣品的空氣中振動的品質因數為336.實驗和理論的品質因數存在差距,這是由于實驗中得出的品質因數除了受到空氣黏性阻尼的影響外還受到內稟耗散及支撐損耗的影響,實驗得出的品質因數是但是理論計算僅考慮了黏性阻尼的影響,由此導致了誤差的產生.最后,無論是從實驗結果還是理論結果來看,都可以估計由于空氣黏性阻尼導致系統品質因數的變化在 102量級.

圖4 空氣中相對位置與品質因數的關系Fig.4 Relationship between relative position and quality factor in air

2.2.2 空氣壓膜阻尼

隨著探針從遠離樣品逐漸向下移動,與樣品表面間的距離減小,探針與樣品之間會發生相互作用,這是由于當兩物體表面相對運動時,位于其中的空氣會隨著物體的運動而被吸入、擠出,這其中有力的作用,這種阻尼效應被稱為壓膜阻尼.壓膜阻尼存在于眾多不同類型的微納系統中,如微加速度計和超聲懸浮儀等[14].對于工作中的AFM 微懸臂梁探針,探針在向樣品移動時,會增大薄膜的氣體壓強,從而促使空氣向周邊擴散,即被擠出;相反,當探針遠離樣品移動時,空氣薄膜的壓強隨之減小,周圍的空氣會被吸入間隙.因而,在對壓膜阻尼的研究過程中,AFM 探針與樣品之間的距離需要納入考慮,對于實際的AFM 探針來說,安裝后的探針會與樣品存在一個角度(約 15?),并且由于梁的彎曲振動,導致探針在不同位置處與樣品之間的距離存在差異,具體情況如圖5 所示.

圖5 探針靠近樣品表面Fig.5 Probe close to sample surface

為探究壓膜阻尼對微懸臂梁品質因數的影響,需要考慮探針與樣品之間由于擠壓所產生的氣膜的特性,這里用擠壓數來進行表述,當擠壓數較大時,薄膜力表現為彈性力的形式,當擠壓數較小時,表現為黏性力的形式.擠壓數可表示為

式中,μeff表示有效空氣黏性系數μeff=1.71×10-5N·s/m,ls為物體的特征長度,取為梁寬度 40 μm,Pa為環境壓強,ht為針樣之間距離,取為 15 μm.將具體的數值代入計算,能得到探針與樣品系統的擠壓數 τ ?1,則能得到在壓膜階段薄膜力表現為黏性力的形式,其彈性效應可以忽略不計.

1968 年Newell[35]研究了運動的兩極板間間隙大小與壓強的關系.對于一般的矩形極板或者梁來說,當間隙小于極板或者梁寬度時,壓膜作用的效果便較為明顯.根據非線性雷諾方程[36],可以得到描述壓膜阻尼效應的表達式

其中,ht(x)=d+(l-x)sinα 代表傾斜探針到樣品表面的距離(即氣膜厚度),d為懸臂梁自由端與樣品表面的距離,α 為探針的傾斜角,P=Pa+?P為微懸臂梁的表面壓強,?P為氣膜所引起的偏壓.

在此基礎上,為了簡化運算,可以通過忽略長度方向上的壓力梯度變化對式(16)進行進一步改寫

對式(17)沿寬度方向進行積分,并將其代入設定的邊界條件,在懸臂梁的兩側y=±b/2,P=Pa,在懸臂梁中間y=0 處,壓強達到最大,壓力梯度為?P/?y=0.根據計算可以得到偏壓 ?P的計算表達式為

對(18)沿寬度方向再次進行積分,最終可以求得單位長度的擠壓氣膜力Fs為

由式(19)進而可以得到探針系統在壓膜階段的壓膜阻尼系數c3的表達式為

由于上式所求為單位長度的阻尼系數,需要對長度進行積分.同時,為了方便計算,我們將連續梁模型轉化為諧振子模型的形式,考慮梁的位置函數為u(x,t)=?(x)q(t),則通過能量的等效有

將上式積分,則可求得探針系統在壓膜階段的等效壓膜阻尼系數為

將等效壓膜阻尼系數ce2代入方程,可求得在壓膜阻尼作用下,系統的品質因數為

為了對此進行驗證,通過實驗的手段對壓膜阻尼的影響進行了研究,實驗的操作方法如上文所述,能得到較近距離的掃頻曲線如圖6 所示.圖6展示了當探針靠近樣品時,整個掃頻曲線的振幅逐漸下降,特別是在共振頻率處,這一現象尤為明顯,振幅的下降意味著探針所受阻尼增強.當探針距離樣品較遠時,針-樣間的距離大于探針的自由振幅,這時共振曲線為自由振幅的情形.而隨著探針進一步靠近樣品,針-樣間的距離小于探針的自由振幅,此時間距的大小限制了探針自由振幅的大小,同時針-樣間的相互作用力也在其中發揮作用,使共振曲線的形狀發生“截斷”,這一現象如圖6 中最下面的兩條曲線所示.

圖6 近距離的掃頻曲線Fig.6 Sweep curve at close distance

通過半帶寬法計算圖3 和圖6 中掃頻曲線的品質因數,并將其與理論計算值進行對比,理論值由得到,其中Qvis取為336,結果如圖7所示.圖7 中存在3 個不同的區域,即黏性影響區,壓膜影響區和截斷區.截斷區域是針尖與樣品發生接觸而形成,此時梁和樣品之間還存在間隙,截斷區域的大小與針尖的高度相等.實際上,在探針敲擊樣品時,針尖尖端也會有壓膜阻尼產生,但由于針尖尖端的表面積遠小于梁的表面積,其所產生的壓膜阻尼可以忽略.考慮梁的影響,在圖中的黏性和壓膜影響區,能發現理論計算與實驗符合的很好,黏性阻尼在其中一直發揮作用,不隨距離的變化而改變,壓膜阻尼則只有在探針靠近樣品一定距離時才發揮作用,并且壓膜阻尼的大小隨著距離的減小而增大.從圖中的具體數值來看,AFM 探針在受壓膜影響的范圍內,品質因數大約從336 降到了240,通過品質因數的“并聯”特征進行計算,即 ?Q-1=240-1-336-1,能得到系統的品質因數改變了 ?Q=840,那么可以估計微懸臂梁在壓膜阻尼作用下,系統品質因數的變化在 102～103量級.

圖7 理論、實驗品質因數與探針位置的關系Fig.7 The relationship between the quality factor and position of the probe in theory and experiment

2.2.3 液橋耗散

液橋耗散主要是指由空氣濕度引起的針尖與樣品之間的耗散,對于親水性質的樣品,毛細力在耗散中占據重要地位[37].同樣類型的樣品在不同濕度下,掃描出來的結果往往大不相同,這是因為在掃描過程中毛細力的大小受到液橋形成與破碎的影響.當毛細力存在時,其他類型的力往往會被掩蓋[38].一般對于AFM 微懸臂梁來說,它每振動一個周期,細長針尖都會與樣品接觸一次,因此確定在不同空氣濕度下毛細力對能量耗散的貢獻是十分重要的.關于液橋的形成,可根據以往的研究成果總結為以下模型:擠出模型、毛細凝聚模型和液膜流動模型[17].

當AFM 系統在大氣環境中工作時,對于親水性質的樣品,它的表面往往會吸附水分子進而形成水膜,當有針尖的微懸臂梁探針接觸樣品時,探針和樣品表面的水膜受到力的作用被擠出形成液橋,從熱力學角度來看,此時的液橋還未達到平衡狀態.當探針接觸樣品過程中,兩者附近會形成一道狹縫,狹縫會吸附周圍的水分子使其產生凝聚,這個過程所用時間很短.之后,散布在狹縫區外圍的水分子也會由于擴散運動而發生凝聚,這一過程所需時間較長,因此毛細凝聚的特征時間主要取決于擴散運動的特征時間.另外,當探針針尖開始脫離樣品表面時,由針尖與樣品表面分離所產生的負壓和分離壓會驅動著水膜向液橋方向流動,這個流動模型的特征時間由流動過程控制.總之,在這3 種液橋形成機理中,根據文獻[17]可知,AFM 探針與樣品接觸的時間極短,而液膜擠出的特征時間數量級為 10-6s;毛細凝聚的特征時間數量級為 10-3s;液膜流動的特征時間數量級為 10-4～10-2s,據此可以得到在探針針尖接觸樣品表面并形成液橋這一過程中,在液橋耗散中貢獻最多的是擠出模型.

AFM 系統的探針在親水樣品表面會由于范德華力而形成水膜,水膜的分離壓力為

式中,AH代表哈梅克常數,hl為水膜厚度.

液橋負壓受Young-Laplace 方程控制,表達式為

式中,?p表示液橋的內外壓差,ra和rm為液橋的主曲率半徑,γl為水的表面張力系數.

當其平衡時,液膜分離壓與液橋內外壓差相等,又由開爾文方程

式中,rk為開爾文半徑,pl代表氣體環境蒸汽壓,ps代表氣體的飽和蒸汽壓,pl/ps為相對濕度,為普適氣體常數,T為開爾文溫度,Vm為水的摩爾體積.

通過上面3 個式子,能得到水膜厚度與相對濕度的表達式為

式中,AH取值為 -8.7×1021J,Vm取值為1.8×10-5m3·mol-1,取值為 8.31 J·K-1·mol-1,T取值為293 K.由式(27)可得水膜厚度與相對濕度的關系曲線,并將理論的結果與其他實驗者的實驗值[39-40]進行比較,得到如圖8 所示曲線.從圖中可以看出,Kelvin 模型與其他實驗者所做的實驗曲線符合得很好,這進一步證明了模型建立的正確性.

圖8 液膜厚度與相對濕度的關系Fig.8 Relationship between water film thickness and relative humidity

文獻[41]詳盡計算了不同液橋生成模型對液橋耗散的貢獻,明確了在3 種模型中擠出模型占據主導地位.液橋模型示意圖如圖9 所示,若不考慮探針針尖與樣品表面接觸后發生彈性形變,可以得到液橋擠出模型體積的表達式為

圖9 液橋模型示意圖Fig.9 Schematic diagram of liquid bridge model

式中,Rt為針尖的曲率半徑,Rt?hl.

一般認為液橋在凝聚和破碎過程中處于等容過程,即液橋的體積不變.那么毛細力應是液橋表面張力和液橋內外的Young-Laplace 壓力差之和,具體表達式為[42]

之后,當探針離開樣品,微懸臂梁探針需克服毛細力的作用做功,由此通過積分可以得到因液橋成形與拉斷導致的能量耗散大小為

將其視為一單自由度系統,通過品質因數的定義,能得到液橋耗散的品質因數為

其中,W是系統存儲的總能量,D是懸臂梁的振幅,通常是幾十納米,ke為懸臂梁的等效剛度.

詳細的理論求解可參考文獻[17,41-42],通過實驗能得到耗散能與相對濕度的關系如圖10 所示,擠出模型的理論值與實驗的結果如圖11 所示.

圖10 相對濕度與耗散能的關系Fig.10 Relationship between relative humidity and dissipation energy

圖11 不同相對濕度下品質因數的關系Fig.11 Relationship of quality factor under different relative humidity

從圖10 和圖11 中可以看出,探針在靠近接觸樣品的過程中AFM 耗散能會隨著相對濕度的增加而增加,品質因數Q會隨著相對濕度的增大而減小.通過實驗和理論模型的分析,能發現擠出模型與實驗結果符合得比較好.并且通過圖10,得到液橋的耗散能大約為 10-18～10-17J 的量級,從品質因數的變化來看,由液橋帶來的耗散使AFM 探針的品質因數從405 降到了380.通過計算,?Q=6156,那么可以估計微懸臂梁在液橋耗散的影響下,系統品質因數的變化大概在 103量級.

2.3 在液體中的外部耗散

AFM 作為一種顯微鏡技術,其工作的范圍并不僅限于氣體環境,在液體環境也有十分重要的應用.如在生物學研究領域,由于幾乎所有的生物過程都是在液體中發生的,這些過程往往依賴于某些鹽的存在和溶液的濃度.另外,許多生物樣品在干燥時會顯著發生結構的改變,導致不能獲得樣品原本的信息.因此,AFM 能在緩沖溶液中成像和測量樣品的能力對許多生物實驗至關重要[20].

AFM 在液體中的成像,與在大氣環境下類似,會受到自身的內稟耗散,支撐損耗及外部環境中液體黏性阻尼的作用,但與大氣環境不同的是,由于液體的不可壓縮性及完全處于水分子的環境,此時系統中壓膜阻尼和液橋的影響都不存在.同時,與微懸臂梁在空氣中的振動相比,在液體中懸臂梁的振動行為發生了顯著的改變.例如,對于矩形懸臂梁來說,其在水中一階共振模式的頻率為在大氣環境下的1/5 ～1/3[43].共振頻率的降低可以用流體載荷的影響來解釋,液體的密度比空氣大,使得微懸臂梁的有效質量增加,液體的黏滯性增加了流體動力阻尼,使得品質因數降低.在這里,對微懸臂梁探針遠離樣品表面的振動狀態進行討論,并且為了研究方便,可以把微懸臂梁探針看作是一個具有集中質量的振動球的形式,懸臂梁和振動球的轉化示意圖如圖12 所示.

圖12 微懸臂梁在液體中振動示意圖Fig.12 Schematic diagram of vibration of micro-cantilever beam in liquid

一般來說,當AFM 在離樣品較遠處振動時,由流體帶來的附加阻尼力的影響可以用阻尼項和慣性項來表示

其中,ce3表示液體的等效阻尼,mL表示液體帶來的附加質量,u表示懸臂梁的位置.

經過上面的分析,在液體中微懸臂梁的等效質量可表示為

其中,me由式(14)可知為 0.24m.

為了明確在液體中微懸臂梁等效質量的大小,使用簡化的Greenspon[44]理論來計算液體中梁的振動,得到表達式為

而對于黏性阻尼部分,分析與大氣環境中相同,兩者差別在于兩者密度及動力黏度不同,等效阻尼表示為

其中,ηL表示液體的動力黏度,以水為例ηL=8.59×10-4kg/(s·m),ρL=997 kg/m3.這樣能得到液體中梁品質因數的表達式為

同樣討論尺寸為 135 μm×40 μm×4 μm 的微懸臂梁探針,探針材料為硅,考慮所處液體環境為水環境,能得到梁在水中的各項參數及品質因數如表3 所示.

表3 液體中梁的參數及品質因數Table 3 Parameters and quality factor of beam in liquid

從表3 的結果可以看出,當AFM 微懸臂梁探針在液體環境中振動時,流體的慣性效應使得液體中微懸臂梁的有效質量增加,同時,由于流體的黏性力也比氣體環境大很多,其耗散阻尼增加,使得品質因數降低.在這里,我們分析了微懸臂梁探針在遠離樣品時由于液體的黏性阻尼對品質因數的影響,對于尺寸為 135 μm×40 μm×4 μm 的微懸臂梁來說,論述了它在液體環境下的等效質量及等效阻尼的影響,得到了梁在水環境下的理論品質因數為8.83.由此能估計微懸臂梁在液體環境下,由于流體的黏性阻尼所引起的耗散對微懸臂梁品質因數的貢獻量級大概在10 左右.有文獻給出,溶液中微懸臂梁品質因數的范圍為 1 ～5[19,45],但考慮到微懸臂梁尺寸、剛度及液體種類不同,可以認為由本文所計算出的理論品質因數是合理的.

3 討論

AFM 微懸臂梁探針在一個振動周期中存在著各種不同類型的能量耗散,其中核心耗散是要重點關注的部分,其他的耗散會對系統產生影響,使其品質因數降低.本文針對一個典型的輕敲式AFM探針系統進行了研究,得到眾多耗散的量級示意圖如圖13 所示.在不同的工作環境,AFM 工作過程中的能量耗散機制也稍有區別,下面將對不同環境下的能量耗散進行討論,并明確其具體的貢獻量級.

圖13 典型輕敲式AFM 探針品質因數量級分布圖Fig.13 Order of magnitude distribution of quality factor for a typical tapping mode AFM probe

當AFM 在超高真空下工作時,此時沒有氣體作用,氣體阻尼不對微懸臂梁探針產生影響,能量耗散主要是由內稟耗散及外部耗散中的支撐損耗組成.根據圖13 所示,可知內稟耗散中的表面耗散和熱彈性耗散對品質因數的影響能達到 105量級,而其他內稟耗散對品質因數的影響與前兩者具有數量級的差距.同時,外部耗散的支撐損耗對品質因數的影響在104量級,比前兩者稍大.可見此時在這些耗散中占據主導作用的耗散機制為支撐損耗、表面耗散和熱彈性耗散,這就是當AFM 系統在超高真空中工作時,品質因數往往會達到上萬的原因.

當AFM 在氣體環境中工作時,如果不考慮水分子的作用,如在氮氣環境下.此時氣體環境中沒有水分子的存在,液橋耗散不納入考慮,那么氣體對微懸臂梁的品質因數產生影響的是由于氣體黏性阻尼和氣體壓膜阻尼帶來的耗散.雖然此時內稟耗散和支撐損耗也存在,但相比于氣體阻尼產生的耗散來說十分微小.從圖13 所展示的量級來看,氣體阻尼中黏性阻尼和壓膜阻尼對品質因數的影響量級范圍在102左右,而對系統影響最大的內稟耗散,如表面損耗和熱彈性損耗,對微懸臂梁品質因數的影響量級在 105,外部耗散的支撐損耗對品質因數的影響量級在 104,這些耗散都遠低于氣體阻尼所引起的耗散.可見在氮氣環境下起主要耗散作用的是氣體黏性阻尼和壓膜阻尼.

而當AFM 在另一個極端環境下工作時,即考慮微懸臂梁在液體中的振動情況.前面有討論大氣中由于水分子的作用針尖和樣品表面通常會形成一層薄薄的水膜,受到毛細力的作用,產生液橋耗散.而當探針完全浸沒在液體環境中工作時,毛細力的影響消失,此時的耗散是液體黏性阻尼所引起的耗散.由于液體的密度比空氣的密度大,慣性作用使液體中微懸臂梁的有效質量增加,同時液體的黏滯性會導致微懸臂梁振動的流體動力阻尼,使得微懸臂梁的品質因數和頻率降低.在前文中,通過理論分析給出了當AFM 的微懸臂梁探針在遠離樣品的水中振動時,其受到水的黏性阻尼作用使得梁品質因數的量級范圍在10 左右,此時內稟耗散及支撐損耗仍然存在,但相比于液體黏性阻尼所引起的耗散來說幾乎可以忽略.可見在液體環境中,主導微懸臂梁品質因數的耗散是由液體黏性阻尼產生的耗散.

對于更一般的情況,AFM 通常都在大氣環境中工作,此時,空氣中存在多種氣體成分.對于探針振動周期中一個連續性過程的能量耗散研究,有如下的闡述.當探針在遠離樣品時,空氣中的黏性阻尼在耗散中占據主導,對梁品質因數的影響量級范圍為102.之后在探針靠近樣品的過程中,壓膜阻尼需要納入考慮,壓膜阻尼對探針品質因數的影響量級在102～103.然后隨著探針接觸樣品,針-樣之間由于空氣中水分子所形成的水膜而會有液橋耗散的產生,由液橋對梁品質因數產生的影響量級為 103.同樣,內稟耗散和支撐耗散在這一連續過程的各個階段都存在,但從圖13 的量級分布圖可以看出,這些耗散相比于前面的3 種耗散來說都較小.可見,在這一個連續的振動周期中,雖然在不同位置處主導的耗散不同,但這些耗散都與外部環境的空氣有關.

上文已經討論了不同工作環境下,整個AFM 系統的品質因數大小.我們發現,內稟耗散和支撐損耗遠比流體阻尼引起的耗散低.另外,在不同環境條件下由流體阻尼引起的能量耗散也不盡相同,其中液體的黏性阻尼導致的能量耗散最多,大氣環境中由于水分子的作用,存在3 種不同的能量耗散機制,引起的能量耗散也不小,而氮氣環境不考慮水分子的影響,只有兩種耗散機制,相較于前兩者稍低,最后在真空環境中無流體阻尼作用,其能量耗散最小.總結AFM 探針在這些環境下的耗散,能得到在不同環境下系統品質因數的大小如表4 所示.

表4 不同環境條件下其他耗散類型及量級對比Table 4 Comparison of other dissipation types and magnitudes under different environmental conditions

之后,對于其他耗散與核心耗散的關系,以空氣環境為例,當探針在大氣環境中掃描樣品時,通過實驗得到的品質因數依據樣品種類不同而有所區別,但在完整的一個過程中,總的耗散包含了核心耗散和其他耗散(內稟耗散及外部耗散)的影響.從上文中關于其他耗散的討論來看,其中由空氣阻尼產生的耗散對系統品質因數的影響最大,影響的量級范圍能到 102,這其中包括了3 種耗散機制的影響,空氣黏性阻尼、壓膜阻尼及液橋耗散.而若將核心耗散納入考慮,根據所測樣品種類的不同,核心耗散的品質因數量級范圍在 1 ～105[18],此時在眾多的能量耗散中,核心耗散才是我們所重視的.但是,其他耗散并沒有遠低于核心耗散,甚至在某些樣品情況下其他耗散遠大于核心耗散,因而,研究其他耗散對系統核心耗散的“掩蓋”作用是必不可少的.

最后,在眾多的耗散機制中,所有耗散都會對系統的品質因數產生影響,然而,只有探針與樣品真正接觸的黏附耗散(核心耗散)才能反映樣品真實的性質,其所對應的相位信息才是我們需要的.而其他耗散會降低核心耗散在系統總耗散中的占比,引起掃描圖像對比度降低,使得圖像中的有效信息被削弱.本文針對這一情況對這些其他耗散的量級范圍進行了估計,明確了在不同環境下存在的耗散機制及量級貢獻.這為減弱其他耗散對系統品質因數的影響從而達到優化系統,提高系統靈敏度和準確性的目的,具有十分重大的意義.

4 結論

本文研究了微懸臂梁在一個振動周期中,不同階段和不同環境下的能量耗散機理,明確了各耗散機制對系統總能量耗散的貢獻,為減弱其他耗散對系統品質因數的影響提供了理論參考.在文中,根據耗散來源的不同,對影響AFM 系統的其他耗散進行了具體分類,將其分為了內稟耗散及外部耗散,并在此基礎上對它們的作用機理和對總品質因數的量級貢獻進行了詳細的闡述.

之后,對于在空氣中工作的AFM,考慮了不同能量耗散機制之間的耦合關系,將探針從遠離樣品到靠近并接觸樣品表面這一動態連續過程進行了綜合考慮,并利用實驗和理論的方法進行了驗證,分析表明,在這一連續過程中起主導作用的其他耗散包括空氣黏性阻尼,壓膜阻尼及液橋耗散.最后,討論了在不同環境下存在的能量耗散類型,說明了在真空中,無水分子的氮氣環境,正常大氣及液體中的主要能量耗散機制,得到了它們在各自環境下對系統總品質因數的量級貢獻.比較這些耗散,我們發現,液體環境中的能量耗散作用最強,正常大氣環境次之,然后是氮氣環境以及具有最小耗散的真空環境.