非線性能量匯胞元減振效率分析1)

李 猛 李孫飚 丁 虎

(上海大學力學與工程科學學院,上海市應用數學和力學研究所,上海 200444)

引言

很多情況下,振動都是不利因素[1].比如,建筑結構的振動和交通工具運行時的振動會帶來不可忽視的安全問題[2-3].為了減少有害振動,人們已經設計了許多減振裝置[4-5].非線性能量匯(nonlinear energy sink,NES)作為一種非線性的被動減振器,因其減振頻帶寬、減振效果好、不需要額外消耗能量等諸多優點,受到了持續而廣泛的關注[6-7].對NES 的結構設計和力學特性已經有了很多廣泛而深入的研究,但是其工程應用的研究卻十分有限.因此,探究使得NES 能夠便捷、可靠和高效地應用到工程實際中的方式十分重要.

近20 年來,眾多研究表明,NES 中存在的非線性剛度可以使得主系統產生豐富的動力學現象[8-9],包括混沌、分岔和調制響應等[10-13].特別是,NES 可以使得系統產生高效的能量靶向傳遞現象,使得主系統的能量以不可逆轉的方式傳遞至NES 中,最終轉化為NES 的機械能和阻尼耗散能[14-18].作為非線性減振器,NES 可以在寬頻范圍內穩定吸收主系統的能量,以此達到良好的減振效果[6].為了進一步的研究和應用,人們也對NES 的結構進行了眾多的設計,包括軌道型NES[19]、杠桿型NES[20]、具有組合非線性阻尼的NES[21]和黏彈性NES[22]等.

對于各種振動問題,NES 均表現出了良好的減振作用.例如對于整星系統[23]、機翼結構[24]、深海柔性張力腿[25]、懸臂薄板[26]、線性鏜桿系統[27]和簡支輸液管道[28]等結構的振動,NES 均具有良好的減振效果.在應用NES 進行減振的研究中,也不乏一些實驗研究.劉中坡等[29]通過實驗證明了NES 具有良好的寬頻減振效果.姚紅良等[30]通過實驗驗證了可調永磁雙穩態NES 對懸臂梁的瞬態時域響應和穩態頻域響應都有很好的振動抑制能力.Geng等[31]提出了可以封裝的限幅型NES,并通過實驗證明了限幅型NES 在限制NES 振子振幅的同時產生了比沒有限位的NES 更好的減振效果,而且能夠對不同模態的振動進行減振.Ding 等[32]提出了胞元化NES 分布式減振策略,并應用于彈性梁的多模態減振,從理論上證明了該策略的有效性.目前關于NES 應用的探究中,針對不同振動主結構的NES 的設計具有個性化的特性,其普適性并不高.因此,如何將NES 以高效和便捷的方式應用于不同工程結構的減振,是目前面臨的挑戰.

針對以上問題,本文設計了NES 胞元策略,并探討了NES 胞元的減振效果與優勢.本文對NES胞元的減振效果進行分析,研究NES 胞元減振的規律,以期為NES 的工程應用提供理論依據.

2 動力學方程及近似解析解

本節將首先建立偏心轉子激勵下n個NES 胞元耦合單自由度振子組成的系統的運動微分方程,之后采用復化平均法獲得系統響應的近似解析解.最后給出對系統響應的近似解析解進行穩定性判斷的方法.

2.1 動力學方程

偏心轉子激勵下n個NES 胞元耦合單自由度振子組成的系統的力學模型如圖1 所示.

圖1 力學模型圖Fig.1 Mechanical model diagram

系統的運動微分方程為

式中,M1,c1和k1分別代表主振子的質量、阻尼和剛度,n代表NES 胞元的個數,mp(p=1,2,···,n),mk,cpN(p=1,2,···,n)和kpN(p=1,2,···,n)分別代表第p個NES 胞元振子的質量、框架的質量、阻尼和非線性剛度,me,e和ω分別代表偏心轉子的質量、偏心距和頻率,x1,xp+1(p=1,2,···,n)和t分別代表主振子的位移、第p個NES胞元質心的位移和時間.NES 的參數滿足如下條件

2.2 近似解析解

為了運算方便,引入如下變量替換

其中,φ10和 φ20分別為系統處于穩態響應時 φ1和φ2的值.將變換(4)代入方程組(1),再將每個方程兩端同時乘以eiωt,之后在一個激勵周期上對方程進行平均,可以得到如下慢變方程組

對式(6)和式(7)組成的方程組的不動點進行代數運算,得到系統穩態響應幅值滿足的非線性方程組

方程組(8)是非線性方程組,可以用偽弧長法求解.此外,方程組(8)的第二式是系統的慢不變流形(slow invariant manifold,SIM).將所求得的| φ10|和|φ20|代入式(5)可以得到主振子和NES 的位移幅值x1max和x2max分別為

將位移幅值乘以ω2,得到主振子和NES 的加速度幅值a1max和a2max分別為

2.3 穩定性分析

對解(9)的穩定性可以通過非線性微分方程組式(6)和式(7)來判斷.將微分方程(7)代入式(6),消去 φ1,可以得到僅關于φ2的微分方程

將代換(12)代入式(11),得到僅關于擾動量δ的微分方程.將擾動運動微分方程線性化之后,得到該方程的一次近似微分方程.可以通過判斷一次近似微分方程雅可比矩陣特征值實部的正負來判斷解的穩定性.若雅可比矩陣的特征值全為負,則方程的解穩定;若雅可比矩陣的特征值存在正值,則方程的解不穩定;若雅可比矩陣的特征值全為0,則方程的解處于穩定與不穩定的臨界情況.

2 NES 胞元的減振效果分析

將系統的參數設置為:M1=15.9273 kg,c1=3.36163 N·s/m,k1=33795.8 N/m,e=0.0092 m,me=0.0362 kg,cN=1 N·s/m,mk=0.05 kg.對于小重量NES 胞元,取m=0.1101 kg;對于大重量NES 胞元,取m=0.2541 kg.假設NES 胞元的個數在0～4 之間變化.下面考察NES 胞元的非線性剛度kN對減振效率的影響規律.采用1.1 節給出的方法,可以求出主振子耦合不同個數NES 胞元時的幅頻曲線,如圖2所示.與此同時,利用龍格-庫塔法對方程組(1)進行數值運算來求得系統幅值,以驗證近似解析結果的正確性.而小重量NES 占主振子重量的比例βs以及大重量NES 胞元占主振子重量的比例βl如表1 所示.

表1 NES 胞元重量占比Table 1 NES cell weight ratio

圖2 非線性剛度對NES 胞元減振效果影響的分析Fig.2 Analysis of the influence of nonlinear stiffness on NES cell damping effect

可以看出,NES 胞元占主振子的最高比重也僅為6.4%,表明NES 胞元對主系統重量的影響較小.

在本文中,NES 胞元的減振效率采用如下表達

其中,a1max和a1max(withNEScells)分別表示有無加裝NES 胞元時主振子的加速度幅值.而激勵頻率以f表示,其和對應的角頻率ω的關系為

從圖2 可以得出4 條規律.(1) 存在最佳的非線性剛度,使得相同數量的NES 胞元具有最佳的減振效率,高于或低于此值都會降低其減振效率.例如,在采用大重量NES 胞元的情況下,當n2=2 時,kN=7×107N/m3時的減振效率最高,當kN大于此值時,會由于系統在共振峰左側鞍結分岔的出現導致其減振效率慢慢降低;當kN小于此值時,系統的響應越來越穩定,但是由于其剛度較小,NES 胞元彈性恢復力的作用也越來越小,導致其減振效率變低.(2) NES胞元的最佳減振非線性剛度隨著其個數的增加而增加.從圖2 可以看出,增加NES 胞元的個數會抑制其SN 分岔以及頻率島的產生.而NES 胞元最佳非線性剛度的增加不能持續增加其減振效率正是由于SN 分岔的存在.所以NES 胞元的個數越多,其最佳非線性剛度也越高.(3) NES 胞元可以具有良好的減振效率.小重量NES 胞元和大重量NES 胞元的最大減振效率分別達到了83.87%和85.8%.(4) 一般來講,NES 胞元的減振效率隨著個數的增加而增加.

由于NES 沒有線性剛度,自身不存在共振頻率,因而能夠實現振動能量從主結構向NES 的靶向轉移,這也是NES 能夠胞元化共同作用減振的原因.也正是因為振動能量的靶向轉移,NES 胞元化后,振動能量分布到各個NES 胞元中,從而減小了單個NES 的能量接收,避免了強激勵環境中NES 強非線性引起的SN 分岔和頻率島現象,提高了減振的效率.另外,NES 對共振頻率的自適應性能夠使得NES 胞元適用于多模態結構不同位置處不同頻率的減振.這是調諧質量阻尼器所不具備的.

相對單個NES 來說,NES 胞元具有多種優勢.首先,NES 的減振需要一定的質量比,而當主系統質量很大時,需要很大的NES 質量.但是對應于大質量NES 所需要的強非線性剛度在實現上存在很大困難.NES 胞元能以較小的單個胞元質量克服這一困難.其次,在對不同結構進行減振時,NES 胞元具有極大的靈活性和多變性,便于以各種形式進行布置.另外,多個胞元共同作用,也能夠增強應用中的可靠性.這些優勢都便于NES 胞元的工程應用.

3 系統響應特征分析

多NES 胞元耦合線性振子組成的系統具有多種響應機制,包括穩態響應,強調制響應等.本節將分析NES 處于不同個數時系統的響應特征.主要針對頻率島及共振區附近的響應進行分析.

3.1 頻率島響應特征

如圖2(e)所示,頻率島的上分支為穩定響應,下分支為不穩定響應,而頻率島下方的主曲線為穩定響應.取激勵頻率f=7.177 Hz,NES 胞元個數為1,通過R-K 方法可以得到圖2(e)中頻率島上分支和其下方主曲線上的點對應的時程圖與相位圖,如圖3所示.此時系統的參數與圖2(e) 對應的系統參數相同.而f=7.177 Hz 對應頻率島上分支最高點附近.

圖3 頻率島上分支及其下方主曲線的時程圖與相位圖Fig.3 Time domain response and phase diagram of the upper branch of the frequency island and main curve below it

從圖3 可以看出,不同的初始條件可以使得系統的響應處于不同的穩定狀態.改變主振子的初始位移可以使得系統響應處于頻率島的上分支.而通過圖3(a)與圖3(c)可以知道,系統處于頻率島的上分支時,其響應幅值比同頻率下頻率島下方主曲線上的響應幅值高出很多,且為穩定狀態.而在工程實際中,初始條件往往不能精確控制.因此頻率島的出現在工程實際中可能帶來很大的安全隱患.而NES胞元個數的增加可以有效抑制頻率島的產生,進而具有重要的意義.

3.2 共振區響應特征

通過圖2(c)可以知道,系統在共振區的響應較為復雜,可以表現出穩定響應和不穩定響應.而且隨著胞元個數的增加,其響應狀態會發生多種變化.采用圖2(c)對應的系統參數,并將激勵頻率固定到共振區,此處取f=7.346 Hz.利用R-K 方法繪制時程圖和相位圖可以研究系統在共振區的響應特點.本小節繪制出了NES 胞元個數分別取1,2,4 和9 時,系統的時程圖與相位圖,如圖4 所示.

圖4 共振區的時程圖與相位圖Fig.4 Time domain response and phase diagram of the resonance region

圖4 共振區的時程圖與相位圖 (續)Fig.4 Time domain response and phase diagram of the resonance region (continued)

在圖2(c)所示的情況中,單個NES 胞元的減振效率很低,對應的幅頻曲線共振峰較高,形成了減振惡化區.而此時,在共振區中f=7.346 Hz 的位置,系統的響應為穩定狀態,如圖4(a)所示.當胞元個數增加時,共振區的穩定相應變為不穩定響應.當NES胞元增加至2 時,系統就處于強調制響應狀態了,如圖4(c)和圖4(d)所示.此時主振子的能量以不可逆轉的方式靶向傳遞至NES 胞元中.而為了更好地展現強調制響應狀態,在圖4(c)～圖4(f)中,采用主振子與NES 胞元的位移差及速度差來衡量其運動.當胞元個數繼續增加時,系統的強調制響應幅值減小.這一點可以通過對比圖4(d)和圖4(f)得出.當胞元個數從2 增加至4 時,主振子與NES 胞元位移差的幅值減小.而當胞元個數繼續增加時,系統的響應又從強調制響應變為穩定響應.當胞元個數增加至9 時,系統的響應就已經變為穩定響應了,如圖4(g)和圖4(h)所示.

根據上述分析,可以總結出胞元個數對共振區響應狀態的一般規律:隨著胞元個數的增加,共振區響應從穩定響應轉變為強調制響應,最后又變回穩定響應,而響應處于強調制狀態時,其幅值隨著胞元個數的增加而減小.從能量的角度看,胞元個數的增加會使得主系統傳遞至每個NES 胞元的能量減小,進而減輕了單個胞元的壓力,因此強調制響應的幅值會隨著胞元個數增加而持續減小,直至響應呈現出穩定狀態.而在整個過程中,胞元個數的增加一般會使胞元減振效率提升.

4 結論

本文對NES 胞元的減振效率進行了理論分析.將不同個數的兩種重量NES 分別耦合于線性振子上,在偏心轉子激勵的情況下,采用復化平均法和龍格-庫塔法探究了NES 胞元的減振效果及系統響應規律.得出的結論包括:NES 能夠以胞元的形式方便地應用于振動結構的控制,而且增加NES 胞元的個數會顯著增加NES 對主結構的減振效果,且振子重量大的NES 胞元具有更好的減振效果.尤其是當小重量胞元的數量較少時,隨著胞元數量的增加,減振效率會快速增長.胞元個數的增加會使得系統共振區響應狀態從穩定狀態、強調制狀態到穩定狀態依次變化.其中,強調制響應的幅度隨著胞元個數增加而減小.

本文提出了一種可以使NES 便捷高效地應用于工程減振的策略,即將NES 胞元化裝配于主結構中.此外,通過理論分析NES 胞元的減振規律,揭示了其減振潛能.未來,將對NES 胞元的結構進行研究和設計,使其更加可靠和高效,并研究NES 胞元在不同主結構中的應用,為NES 應用于工程減振奠定基礎.