豎向基礎激勵下拱的平面內動力失穩研究

鐘子林

廣州鐵路職業技術學院 廣東 廣州 511300

1 引言

拱結構因其優雅美觀的造型、卓越的跨越能力和強大的承載能力而廣泛運用于各個工程領域[1]。例如，在建筑工程中，我們可以看到巴黎圣日內維耶圖書館和沈陽西站候車室的美麗拱形屋頂。在橋梁工程中，廣西平南縣的拱橋和盧浦大橋都運用了拱結構。在水利工程中，美國科羅拉多河上的葛蘭大壩和日本的黑部大壩也采用了拱結構。在機械和航空工程領域，拱形吊車梁、曲梁構件和拱形機艙骨架等也發揮了拱結構的優勢。在實際工程中，拱結構常處于復雜惡劣的工作環境，受地震、臺風、沖擊等動荷載的作用而發生失穩。而如何有效地避開動力荷載造成的失穩破壞成為拱結構設計的關鍵問題。在實際工程中，拱結構常處于復雜惡劣的工作環境，受地震、臺風、沖擊等動荷載的作用而發生失穩。而如何有效地避開動力荷載造成的失穩破壞成為拱結構設計的關鍵問題。隨著拱結構的設計日趨向輕薄、高強、大跨度方向發展，因動力失穩而引起的坍塌事故不容忽視。例如，在汶川地震中，明月渡涪江雙曲拱橋、小魚洞剛架拱橋、青川縣井田壩雙曲拱橋等都由于強烈的地震引起基礎錯動而瞬間垮塌。

研究發現當動力荷載的激振參數（頻率、幅值等）與拱的振動頻率滿足一定條件時，拱的位移將會突然增加，發生動力失穩現象。比如，當外荷載的激振頻率是拱自振頻率的兩倍時，拱的位移突然呈指數增長，發生參數共振失穩。在Bolotin的研究基礎上，Sophianopoulos等[2]首次推導了簡諧荷載作用下兩端鉸接懸鏈線拱的Mathieu-Hill常微分運動方程，并利用Bolotin法得到了懸鏈線拱參數動力失穩的臨界頻率域。趙洪金等[3]利用哈密頓原理和伽遼金法推導了兩端鉸接圓弧格構拱的動力穩定方程，通過Bolotin法求解了拱的參數動力不穩定域，并分析了不同綴條面積，半徑，夾角等對不穩定域大小的影響。董寧娟[4]利用Bolotin法和半解析法求解得到了徑向均布荷載作用下開口薄壁與閉口薄壁圓弧拱的平面內參數動力失穩域。Liu等[5]基于能量法推導了拱頂集中簡諧荷載作用下圓弧拱平面內、外的動力方程，并利用Bolotin法求解了圓弧拱平面內、外參數共振失穩的動力不穩定域，分析了矢跨比、附加質量對動力不穩定域的影響規律。鐘子林[6]等研究了基礎豎向多頻荷載作用下拱的面內動力穩定性，分析了不同設計參數下動力不穩定域的分布規律，并用有限元分析驗證了理論解的正確性。

基礎加速度激勵是工程中常遇到的動力荷載，例如水下鉆孔、航道、隧道等爆破產生的沖擊波、大型輪船運行時產生的水擊波、地鐵運行產生的震動等，是導致拱發生動力失穩的主要元兇之一，然而基礎激勵下拱的失穩力學行為尚不明晰，相關研究很少公開報道。結構的動力失穩破壞具有突發性，事發時無明顯征兆，一旦發生便會產生災難性的后果。然而，關于拱結構動力穩定性的研究尚待完善，遠滯后于實際工程的建設，缺乏設計指引的拱結構工程必然存在一定的安全隱患。因此，建立拱結構的動力學模型，建立一套系統全面的拱結構動力穩定性的研究方法，分析各種參數對拱結構動力穩定性的影響規律，為設計人員找到合理的設計參數具有重要的意義。因此，本文建立了有限元分析模型，施加基礎豎向簡諧激勵，分析拱面內一階反對稱和二階正對稱動力失穩，獲得拱面內動力失穩的臨界激勵頻率，揭示了拱面內雙模態動力失穩的機理。

2 有限元建模

本節通過有限元軟件ANSYS 14.5建立豎向基礎余弦激勵下圓弧拱的動力學數值模型并進行瞬態分析，給定相應的基礎激勵幅值，得到圓弧拱的動力時程，分析圓弧拱發生動力失穩的臨界激勵頻率，通過模擬上、下掃頻激振（基礎激勵頻率逐漸增加、基礎激勵頻率逐漸減小），得到完整的動力不穩定域數值解。圓弧拱的模型參數選取為：彈性模量E=6.9×1010Pa，質量密度=2700kg/m3，泊松比為=0.33，截面尺寸bxh=0.025mx0.0015m，跨徑L=0.5m。利用有限元動力分析中的完全法進行計算分析，基礎激勵的加載時間間隔為=0.001s，積分時間步長Deltim=/7。采用瑞利阻尼施加至圓弧拱模型，模擬圓弧拱受到的阻尼力。

3 結果分析

以矢跨比f/L=1/8的圓弧拱為對象，設前兩階模態的阻尼比為0.01，最大基礎激勵幅值為Pmax=51.65m/s2，掃頻激振時頻率的變化速率為0.5 H z/m i n。當無量綱激振幅值β=Pt/Pmax=0.6時(Pt為激勵幅值)，向上和向下掃頻基礎激振的起始頻率分別為144.25Hz和159.8Hz，圓弧拱振幅時程的測點為=-14.29°。如圖1 (a)～(b) 所示，當無量綱激振幅值β=0.6時，圓弧拱將在某臨界時間點發生動力失穩，其振幅迅速發散。通過基礎加載和圓弧拱振動的時間歷程對比發現，如時間為26.2s-26.4s的對比所示（圖1(a)），圓弧拱的振動頻率與基礎激勵的頻率相同（圓弧拱振動時間歷程曲線與荷載時間歷程曲線的周期數相同），同時從圓弧拱的振動時間歷程曲線中可以發現次諧波響應，表明圓弧拱振動時間歷程曲線的周期數逐漸減小，即圓弧拱的振動頻率逐漸減小。通過26.4s-26.6s的對比可以看出，基礎激勵的頻率約為圓弧拱振動頻率的兩倍（荷載時間歷程曲線的周期數約為圓弧拱振動時間歷程曲線的兩倍），此時圓弧拱的振幅開始發散，因此可將26.4s作為圓弧拱發生參數共振失穩的臨界時間點，此刻基礎激勵對 應 時 間 點 的 臨 界 激 勵 頻 率 下 限 值 為144.25+0.526.4/60=144.47Hz。由向下掃頻基礎激振的圓弧拱振動與荷載時間歷程曲線的對比可知，在27.6s之前，圓弧拱的振動頻率與基礎激勵的頻率相同，而當基礎激勵的頻率繼續減小時，基礎激勵的頻率約為圓弧拱振動頻率的兩倍，因此可將27.6s作為圓弧拱發生動力失穩的臨界時間點，此刻基礎激勵對應時間點的臨界激勵頻率上限值為159.8-0.5x27.6/60=159.58Hz。通過多次向上和向下掃頻激振可得圓弧拱動力不穩定域的臨界邊界頻率值。

圖1 基礎激勵下圓弧拱的有限元振幅時程=-14.29°：(a)向上掃頻 (β=0.6), (b) 向下掃頻 (β=0.6).

基于上述有限元數值模型，設定圓弧拱前兩階模態的阻尼比為0.002，起始激勵頻率為139.8Hz，運用掃頻激振法得到圓弧拱在基礎激勵下振幅時間歷程，圓弧拱振幅時程的測點為=-14.29°，如圖2所示。按照上述臨界激勵頻率的計算方法，可得該激勵幅值下的臨界激勵頻率數值解的上限值為140.24Hz。如圖3所示，截取時間段59s-60s的振幅時程數據進行分析，圓弧拱的振動曲線出現疏密程度相差較大的現象，表明圓弧拱的振動頻率發生較大的改變。因此，分別提取59.2s、 59.28s、 59.4s和59.47s對應的圓弧拱動力失穩模態進行分析。由圖4可知，當時間為59.2s時，圓弧拱發生振幅較大的平面內反對稱參數共振失穩，而當時間為59.28s時，圓弧拱的振動曲線變密，振動頻率增加，動力失穩模態為正對稱，表明此時圓弧拱發生平面內二階正對稱共振失穩。當時間為59.4s和59.47s時，出現了相同的動力失穩現象，表明在基礎激勵下圓弧拱同時發生了平面內一階反對稱參數共振和二階正對稱共振動力失穩，其動力失穩模態交替變化，但主要以參數共振為主，且參數共振失穩的振幅較大。

圖2 基礎激勵下圓弧拱的有限元振幅時程，向上掃頻 (β=0.9)

圖3 基礎激勵下圓弧拱的有限元振幅時程，向上掃頻(β=0.9), 59s-60s

圖4 圓弧拱的動力失穩模態：(a) 59.2s, (b) 59.28s, (c)59.4s, (d) 59.47s

4 結語

本文基于有限元軟件建立了豎向基礎激勵下拱的動力學分析模型，通過瞬態分析得到拱的面內振動響應，確定了拱發生動力失穩的臨界激勵頻率值，揭示了拱發生面內一階反對稱和二階正對稱失穩的機理。主要的結論如下：

（1）基礎激勵的頻率約為圓弧拱一階振動頻率的兩倍，圓弧拱發生面內一階反對稱參數共振；

（2） 基礎激勵的頻率約為圓弧拱二階振動頻率，圓弧拱發生面內二階正對稱參數共振；

（3）當拱發生雙模態動力失穩，一階反對稱和二階正對稱失穩模態交替出現。