一類轉動懸臂板的穩定性及局部分岔分析

厲筱峰，陳怡琳，安鳳仙

（淮陰工學院 數理學院,江蘇 淮安 223001）

飛行器上的旋翼、渦輪發動機、衛星天線、太陽能帆板等結構都可被簡化成轉動懸臂板模型,轉動懸臂板的動力學方程可用非線性系統進行描述,當動力學系統存在非線性因素時,有可能引發分岔現象［1］。分岔現象的后果會導致系統動態失穩,如果不能及時對失穩加以控制,整個系統動力學結構就會受到嚴重破壞。近年來,有關板的穩定性、分岔和混沌等問題引起了國內外學者的廣泛關注。Chen等［2］研究了轉動懸臂矩形板在變速和離心力作用下的分岔行為和穩定性,利用中心流形定理和正規型理論得到了穩態解和穩定區域。Chen等［3］對一種大擾度和旋轉角度下的一般非線性柔性矩形懸臂板進行建模,應用Hamilton原理和Runge-Kutta方法揭示了一般非線性柔性矩形懸臂板的復雜線性行為。Guo等［4］利用伽遼金法得到了復合材料壓電板的系統方程,并用數值方法研究了系統的非線性振動和混沌運動。Zhang等［5］利用漸近攝動法導出了1:2內參數共振和主參數共振情況下增強復合材料旋轉翹曲懸臂板的平均方程,并用數值方法研究了幅頻響應曲線、力-振幅響應曲線和混沌動力學行為。Chen等［6］通過引入坐標變換,應用哈密頓原理得到了矩形懸臂板的微分動力學方程,采用諧波平衡法研究了系統的非線性頻率響應曲線。Zhang等［7］基于三階剪切變形理論研究了主參數共振、1:2次諧共振和1:2內共振下轉動懸臂板的幅頻響應曲線、分岔和混沌行為。

本文主要利用規范型理論、Huiwitz準則、分岔理論與四階Runge-Kutta 算法數值模擬相結合的方法研究了亞音速下轉動懸臂板的穩定性和局部分岔行為。先利用規范型理論得到了系統方程在一個零特征根和一對純虛特征根退化情形下的規范型,并確定了初始平衡點、靜態分岔解、一次Hopf分岔解、二次Hopf分岔解的具體表達式,然后根據Huiwitz判別法得到了系統的穩定條件和穩定區域。最后,利用四階Runge-Kutta算法進行數值模擬驗證了理論分析結果的正確性。

1 問題陳述

考慮如下轉動懸臂板的四維平均方程［8］：

方程（1a～1d）在初始平衡點( 0 ,0,0,0 )處的Jacobi矩陣為：

其 中,μ1=f2h5,μ2=f2k3,γ=f1k4,σ=σ1-h3,η=f1h6,α=f2h1,β=f1h2。

則（2）的特征多項式為：

其中：

若滿足如下條件：

則 由Hurwitz 準 則［9-10］,系 統 初 始 平 衡 點(x1,x2,x3,x4)=( 0 ,0,0,0 )是漸近穩定的；若條件（5）不滿足,系統可能會發生分岔現象。

2 穩定性及分岔行為分析

2.1 系統的平衡解

假設特征多項式（3）具有一個零特征根、一對純虛特征根和一個負特征根,選取參數值（參數取其他值時可類似分析）：

則特征多項式（3）的系數為：

Jacobi矩陣（2）的特征值為：

選擇系統參數( )μ1,k2為擾動參數,利用如下參數變換：

及狀態變量變換：

則系統方程（1）可以變換為：

初始平衡點z1,z2,z3,z4=( 0,0,0,0 )處,系統方程（11a～11d）在臨界點ζ1c=ζ2c-0 的Jacobi矩陣為：

且系統在臨界點附近的動力學行為和z1,z2以及z3有關。

通過引入近恒等非線性變換zi=yi+gi(yj),及變換y1=y,y2=rcosθ,y3=rsinθ,y4=y4,利用Maple程序可得系統（11a～11d）的規范型為：

由y?=r?=0 可以得到以下平衡解：

（3）一次Hopf分岔解（H.B.（I））：

（4）二次Hopf分岔解（H.B.（II））：

2.2 平衡解穩定性及分岔行為分析

系統方程（13）的Jacobi矩陣為：

將E.S.（14）代入Jacobi矩陣（18）中,則有：

當J(0,0)有兩個負特征根時,E.S.是穩定的,因此E.S.的穩定性條件為：

因此,可以得到E.S.的穩定區域如圖1 所示,穩定區域的兩條臨界曲線為以及?,E.S.通過轉遷曲線L1 分岔出靜態平衡解。

圖1 一個零特征根和一對純虛特征根情形下的轉遷曲線和穩定區域

類似可以確定S.B.（15）的穩定性條件如下：

H.B.（I）（16）的穩定性條件為：

穩定區域的邊界曲線為L2和L3：-324ζ1+2645ζ2=0(ζ2>0 ),如圖1。

顯然,條件Det=11 256y2r2>0 恒成立。則H.B.（II）穩定區域的邊界曲線為：

分岔曲線和穩定區域如圖1所示。

2.3 數值模擬

為了驗證理論分析的正確性,從圖1的不同區域選取參數值利用四階Runge-Kutta 算法進行數值模擬。分別從E.S.、H.B.（I）和H.B.（II）的穩定區域內選取(ζ1,ζ2)=( 0.1,-0.1) 、(ζ1,ζ2)= ( 0.5,0.01)和(ζ1,ζ2)=( 0.5,0.08 ),初始點分別為(x1,x2,x3,x4)=(0.01,-0.02,0.01,0.03) 、 (x1,x2,x3,x4)= （ -0.01,0.04, -0.02, 0.03） 和 (x1,x2,x3,x4)= （0.01,0.06,-0.03,0.04）,得到系統投影在x1-x2和x3-x4子平面的相圖,如圖2～圖4所示,可以看出數值模擬結果與理論分析是一致的。

圖3 ( ζ1,ζ2 )= ( 0.5,0.01) ，初始值( x1,x2,x3,x4 )=( - 0.01,0.04,-0.02,0.03) 時的相圖

圖4 ( ζ1,ζ2 )=( 0.5,0.08) ，初始值( x1,x2,x3,x4 )=（0.01,0.06,-0.03,0.04）時的相圖

3 結論

本研究利用規范型理論、Hurwitz 準則以及分岔理論分析了轉動懸臂板的穩定性條件和局部分岔行為。在一個零特征根和一對純虛特征根的退化情形下,選取系統參數(μ1,k2)作為擾動參數,利用參數變換和狀態變量變換得到四維系統方程的規范型,及系統初始平衡點、一次Hopf分岔解和二次Hopf 分岔解的穩定條件、轉遷曲線和穩定區域。利用四階Runge-Kutta 算法進行數值模擬驗證了理論分析結果的準確性。通過選取不同參數值時,系統會有不同的相圖,表明系統的動力學行為與系統參數間存在著依賴關系。