基于全局能量優化的液壓機械臂節能控制策略

張嘯甫，施光林

(上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240)

0 前言

液壓機械臂常應用在一些需求大功率、高承載力的應用場合，如農林、礦業、工程施工等領域[1-2]。由于液壓系統具有高功率密度比、高響應速度、大扭矩輸出等優點，使得液壓機械臂在上述領域內得到了廣泛的應用。

傳統通過手動控制多路閥實現液壓機械臂各關節運動的開環控制方式會造成很大的能量損失，另外一些采用閉環控制的先進液壓機械臂由于大多數情況下采用了閥控系統，也存在著較大的節流能量損失。由于在許多工業系統中，特別是在特殊應用場合下，與其他性能要求相比，能源效率一般成為次要的設計目標。然而，由于液壓機械臂常應用在行走式機械中，所攜帶能源的空間是有限的。因此如何降低能量消耗的同時，不以犧牲控制性能為代價，是液壓機械臂面臨的一個重要挑戰。

一般來說，影響液壓系統能量效率的能量損失主要有3種類型：機械損失、容積損失以及閥的節流損失。有學者提出利用泵控系統來代替閥控系統，即利用變量泵直接控制液壓執行器，通過改變泵的排量實現負載匹配[3-4]，或者利用伺服電機驅動定量泵作為動力源，通過改變伺服電機的轉速實現泵輸出流量的改變。雖然泵控系統具有更高的能效，并且可以大大簡化系統的動態特性，但是泵控系統的動態響應要慢得多，控制精度也比閥控系統低。液壓系統另一種比較常用的節能方式是采用負載敏感系統(LS)，特別是在移動式液壓機械臂平臺上。LS系統通過負載敏感閥感應負載的壓力或者流量變化，控制變量泵的斜盤傾角從而改變泵的出口流量實現負載匹配，以達到節能的目的[5-6]。對于液壓機械臂這種多執行機構來說，也有學者提出對每個液壓缸采用進出口獨立控制方式(SMIMO)，對液壓缸的進出油口分別使用多個兩通閥來進行壓力或流量獨立控制，使得兩腔的壓力或者流量與負載盡可能匹配，從而降低能耗[7-8]。除了降低液壓系統的能量損耗，通過蓄能器等裝置實現液壓機械臂運動時勢能以及制動能量回收，也可以進一步提高系統的能效[9-10]。上述的節能策略大多是在液壓執行層級上實現，而忽視了液壓機械臂運動規劃上的能量優化。

本文作者將根據液壓機械臂關節運動與液壓系統的動態特性，建立基于液壓系統能量消耗與運動時間的多目標函數，通過優化算法實現系統的全局能量優化的節能控制策略。

1 液壓機械臂模型分析

本文作者研究的一款液壓機械臂如圖1所示。該型液壓機械臂具有5個自由度，其中每個關節均由單獨的比例閥控制液壓缸進行驅動，且各關節位置由絕對式編碼器與位移傳感器采集，液壓缸兩腔均有壓力傳感器反饋壓力信息。動力系統由一套伺服電機與定量泵組成，可通過調節伺服電機轉速實現流量調節。

圖1 液壓機械臂結構

1.1 關節與液壓缸之間的力、運動轉換

圖2為液壓機械臂單個驅動關節示意，關節的運動狀態將由液壓缸的伸縮運動來實現，求解關節運動與液壓缸運動之間的映射關系是后續工作的前提。對于第i個關節(i=1，2，…，5)，根據幾何關系可以得出液壓缸的伸縮長度為

圖2 液壓機械臂單關節結構

(1)

式中：yi0為液壓缸首尾鉸接點O2O3的初始長度；ci、li分別為鉸接點O1O2、O1O3的長度；轉角βi=θi+Δθi0，Δθi0為關節初始構型角度。

對上式求導，可以得到液壓缸的伸縮速度為

(2)

進一步地，可以得到液壓缸的加速度為

(3)

同時，關節所需要的驅動力矩由圖2中的Fci實現，根據圖中所示幾何關系，可以計算當前位置的驅動力矩τi為

τi=liFiy=liFcisinγi=J2iFci

(4)

式中：Fci為液壓缸負載力；Fiy為液壓缸垂直于連桿方向的分力；γi為液壓缸與連桿之間的夾角，該角度可以通過以下幾何關系求得：

(5)

根據式(1)—(5)，在已知各個關節的運動與受力情況下，可以求出對應驅動液壓缸的運動與負載情況，從而實現液壓缸的控制。

1.2 液壓系統動態特性

以第i個關節對應的第i根液壓缸為例，液壓缸兩腔的壓力動態方程可以表示為

(6)

式中：pi1、pi2分別為液壓缸無桿腔與有桿腔的壓力；pil為液壓缸兩腔的壓差；Vi1、Vi2分別為液壓缸兩腔的容積；Ai1、Ai2分別為無桿腔和有桿腔的有效作用面積；βe為液壓油的有效體積模量；Ct為液壓缸的內部泄漏系數。qi1、qi2為液壓缸兩腔的流量，根據流量與壓力關系，液壓缸兩腔的流量可以表示為

(7)

式中：pis、pir分別為機械臂液壓系統的供油壓力與回油壓力；kq為閥的流量增益系數；xvi為閥芯位移。

對于液壓系統來說，由于通常情況下系統的頻寬遠遠小于比例閥的頻寬，可以近似地認為閥芯位移與控制電壓之間為比例關系[11]，即滿足關系式xvi=kvui。

為了求解關節力矩映射到液壓缸的輸出力，根據牛頓定律，液壓缸活塞桿的力平衡方程可以表示為

(8)

式中：bi為黏性阻尼系數；mci為第i根液壓缸活塞桿的質量。考慮到液壓缸活塞桿質量小，所產生的慣性力相比較機械臂本體的重力與負載來說幾乎可以忽略不計，同時為了簡化系統模型，結合映射關系式(1)—(3)，上式可以進一步改寫為

(9)

液壓機械臂單個關節的非線性模型由上述關系式描述，建立控制電壓與關節運動的映射關系。

2 關節軌跡插值

為了后續優化目標函數的建立，需要從末端執行器路徑中設置一定的途徑點，然后通過逆運動學得到關節空間相應的位置，并通過插值函數在關節空間中生成軌跡，同時考慮機械臂關節的運動學和動力學上的邊界限制。為了保證軌跡起始點與末端點的速度、加速度、加加速度可以任意配置且光滑連續，使用非均勻有理B樣條來獲得沿幾何路徑軸線的歸一化運動輪廓的公式。對于給定的關節位置-時間節點序列{pj，tj}(j=1，2，…，f)，k階B樣條可通過De Boor公式[12]遞歸定義為

(10)

式中：p(u)為關節位置；di為控制頂點；u是一個由非遞減歸一化時間節點組成的向量；n為控制頂點的個數；Ni，k表示B樣條曲線的基函數，該基函數表示為

(11)

式中：ui(i=0，1，…，m)為時間節點。由于B樣條曲線的性質，插值出的軌跡一般不經過起始點與終止點，為了保證軌跡經過始末點，節點序列u=[u0，u1，…，un+k+1]的兩端節點的重復度需要保證為k+1，且控制頂點di的個數滿足n+1=k+f+1，時間節點的個數滿足m+1=2k+f+1。對節點向量進行歸一化處理，歸一化后的時間節點矩陣表示為

u=[0，0，…，0，uk+1，…，uf+k-2，1，1，…，1]

(12)

式中的時間節點滿足：

(13)

為了保證關節軌跡的加加速度連續且足夠光滑，設定B樣條階次為5階，并通過虛擬點技術將軌跡起始點與結束點的加加速度約束到零。因此在給定控制頂點di(i=0，1，…，n)、時間節點序列u=[u0，u1，…，un+k+1]以及B樣條階次k后，通過式(10)—(13)便可以求解出關節軌跡。但是通常情況下，控制點無法確定，需要根據給定的途徑點進行求解。公式(10)確定了f-2個方程，另外需要k+1個約束方程來構成線性方程組對控制點進行求解，這些約束由始末點的速度、加速度、加加速度給出。根據公式(10)確定的軌跡上任意一點的運動學量，可以通過下式進行求解：

(14)

聯立式(10)的B樣條軌跡方程與約束條件(14)，可以得到求解控制頂點的線性方程組為

d=Q-1p

(15)

式中：

d=[d0，d1，…，dn]T

p=[p1，p2，…，pf-2，v0，vf，a0，af，j0，jf]T

式中：bij分別為根據約束條件(14)求出的各運動學軌跡的首末點表達式的各項系數。

因此，給定關節途經點序列，將時間節點矩陣歸一化，明確B樣條曲線的邊界條件后，根據式(15)求解軌跡的控制頂點，最后將求解的控制頂點與時間節點代入到式(10)(14)中，即可以得到任意時刻的關節位置、速度、加速度以及加加速度。通過以上分析可以發現，通過調整關節途經點序列中途經點位置以及相鄰兩點之間的時間間隔來改變軌跡。本文作者將途經點的時間間隔作為優化變量，來實現關節軌跡的可調性。

3 全局能量優化問題

3.1 全局能量優化目標函數

為了獲得液壓機械臂完成指定任務時的全局能量最優軌跡，定義運動時的目標函數為

(16)

式中：S1為時間目標函數，評價整體運動的時間效率，其中Δti為各個關節軌跡途經點的時間間隔，即優化變量，通過調整途經點的時間間隔來改變運動狀態；S2為液壓系統的平均消耗能量，其中T為總的運動時間，qs為液壓泵的輸出流量，為恒值，psd是根據液壓缸兩腔壓力動態特性與關節軌跡反解出的最優供油壓力，該壓力的求解過程如下。

(17)

當液壓缸伸出運動時，根據壓力流量公式(7)可得液壓缸有桿腔流量為

(18)

聯立式(17)(18)得到當前運動時刻液壓缸有桿腔壓力為

(19)

由液壓缸的受力平衡方程可知：

(20)

式中：bi為黏性阻尼系數；mci為液壓缸活塞桿質量；Fci為液壓缸與連桿之間的作用力，可由機械臂動力學求得關節力矩，再由式(4)(5)計算得到。進一步地，可求解液壓缸無桿腔壓力為

(21)

上式存在著控制輸入xvi，在理想條件下，忽略系統存在的擾動，根據液壓機械臂數學模型式(6)(7)計算近似的閥芯位移。

進而根據公式(7)得到當前液壓缸的理想供油壓力為

(22)

同理當液壓缸縮回運動時，可得液壓缸的理想供油壓力為

(23)

由于液壓機械臂每個關節的負載情況不一致，并且理想軌跡也不一致，因此需要分別計算每個關節液壓缸的理想供油壓力，取其中最大值作為整個系統的供油壓力，即：

ps=max{p1s，p2s，…，pns}

(24)

考慮到摩擦等擾動影響，并保證系統的安全性，需要將計算的系統供油壓力加上一個安全閾值，此時系統的供油壓力為

psd=ps+psth

(25)

式中：psth為供油壓力安全閾值，需要根據實際的負載情況進行選擇，文中選擇的閾值范圍為1～2 MPa。

3.2 多目標求解

快速非支配遺傳算法(NSGA-Ⅱ)是一種求解多目標優化問題的優化算法，由于該算法引入了當前個體被支配個數與該個體支配解的集合這兩個參數，降低了非支配前沿面搜索的時間復雜度。引入了基于擁擠度與擁擠度比較算子的密度計算方法，保證前沿面分布的廣泛性與多樣性；同時使用精英保留策略，提高種群水平，擴大了采樣空間[13]。

NSGA-II算法的流程如下所示：

Step1，初始化種群P。根據多目標問題的維度以及約束條件確定初始種群，包括初始優化變量以及其上下邊界。其中種群個體的適應度值的計算方式如圖3所示，種群個體優化變量即為途經點的時間間隔Δti，不同的時間間隔根據式(10)—(15)插值得到不同的軌跡，并根據式(17)—(25)得到不同的系統供油壓力，從而得到每個個體的兩個適應度值。

圖3 種群個體適應度值計算

Step2，使用基于擁擠比較算子的競賽選擇方法，在父種群Pt上進行交叉和變異操作，創建后代種群Ct，其中t表示種群代數。然后將后代種群及其父代種群相結合產生整個種群Rt。

Step3，快速非支配排序。根據提出的基于約束違背度的Pareto支配，確定所有個體的支配關系，并將整個種群按照支配等級分層。一旦排序完成，將計算所有個體擁擠距離值。種群中的個體是根據支配等級和擁擠距離來選擇的。

Step4，采用模擬二進制交叉和變突變率多項式變異的實數編碼遺傳算法來產生新的種群。

Step5，重復這個過程，直到達到最大的迭代次數。

由于傳統NSGA-Ⅱ算法中采用的是定突變率，對于種群搜索來說，變突變率更有利于種群收斂到全局最優值。在迭代開始時，希望更大的突變率來避免種群陷入到局部最優解中，在迭代搜索結束時則希望小的突變率使得分布結果更加精確。因此作者提出一種基于Sigmoid函數突變率的變異算子，其突變率mr的形式為

(26)

式中：tmax為最大迭代次數；c1、c2為調整因子，與始末設定的突變率大小有關。隨著迭代次數的不斷增加，突變率逐漸減少且光滑連續。

NSGA-Ⅱ算法最終得到一個最優解集(Pareto 前沿)，可以通過基于隸屬度值的選擇方法得到全局最優解。

4 仿真結果與分析

為了驗證所提方法的有效性，設置3組節能控制策略，分別如下所示：

節能策略1(C1)：文中提出的基于全局能量優化的節能策略，將液壓系統的能量消耗與運行時間構成多目標函數進行求解。

節能策略2(C2)：傳統的規劃層級節能策略，將C1的多目標函數代替為一般的基于時間-能量的多目標優化策略，即：

(27)

式中：n為關節個數；θi為關節角度。同時上式求出的軌跡利用式(17)—(24)反解出最優供油壓力，控制液壓系統。

節能策略3(C3)：傳統的定供油壓力控制方法，軌跡跟蹤時液壓系統的供油壓力保持不變。各個關節軌跡采用C2策略得到的軌跡。

按照順序分別選取途經點為(1 290，50)，(1 432，300)，(1 670，630)，(1 760，830)(單位均為mm)，通過運動學逆解可以得到每個途徑點對應的關節構型。C1和C2優化后的最優時間間隔如表1所示。

表1 途經點最優時間間隔 單位：s

根據以上條件，液壓機械臂在3種策略下的能量消耗如圖4所示，其中C1策略較C3策略節約了46.73%的能量，較C2策略節約了8.62%的能量。圖5與圖6分別為液壓系統的供油壓力與機械臂末端軌跡情況，可以看出C1策略求解出的理想供油壓力最小，末端軌跡也更加平滑。

圖4 不同策略下的能量消耗情況

圖5 不同策略下的供油壓力

圖6 C1與C2策略的末端軌跡

C1策略根據各關節軌跡反解出每一時刻液壓機械臂系統對應的理論供油壓力，從而構造液壓層級的能量函數，并將該能量函數引入到規劃層級中構造多目標優化問題進行優化求解，從而得到液壓機械臂全局最優能量軌跡。反解出的供油壓力可以作為可變溢流閥的控制信號，以此控制液壓系統的供油壓力，從而降低能量消耗。

不難發現C1策略較C2策略節約的能量并不十分明顯，這是由于C2策略的優化目標同樣包含了能量函數。但該能量函數基于機械結構的關節加速度，并沒有考慮液壓層級的能量損耗情況。同時由于固定了關節空間的途經點，限制了系統能量的優化能力，后續可考慮將途經點加入到優化目標中，進一步降低能量消耗。

5 結論

本文作者針對液壓機械臂存在的能效較低問題，提出一種基于全局能量優化的節能方法，將液壓系統的能量消耗函數加入到多目標優化函數中。在得到關節理論軌跡的情況下，根據流量-壓力映射關系反推出每一時刻對應的理論供油壓力，以此壓力計算液壓系統的能量函數，并與運動時間構成多目標優化問題。最后通過改進的變突變率的NSGA-Ⅱ多目標優化算法進行求解。通過對比仿真結果可知，在文中工況下，提出的全局能量優化算法與固定供油壓力策略相比，節約了46.73%的能量，與傳統的基于時間-能量優化的節能策略相比節約了8.62%的能量，從而驗證了所提節能策略的有效性，為液壓機械臂的節能控制策略研究提供了理論參考。