基于改進自適應(yīng)高階滑模的液壓缸位移跟蹤控制

路時雨，鄂東辰，董興華，劉超強，蔡玉強，董小雷

(1.華北理工大學機械工程學院，河北唐山 063210；2.唐山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院，河北唐山 063299)

0 前言

閥控缸電液伺服系統(tǒng)具有功率密度大、響應(yīng)速度快等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于工程機械、武器裝備和航空航天等領(lǐng)域。液壓缸的運動精度決定了主機的動態(tài)性能，例如：液壓驅(qū)動抓取機械手要求液壓缸具有高的定位精度，便于順利抓到重物；車輛的道路模擬平臺要求液壓缸具有高的位移跟蹤精度，以保證路況的真實再現(xiàn)。但是，由于主機執(zhí)行機構(gòu)中零件的間隙、油液的可壓縮性和變負載等一些不確定因素的影響，使得基于模型的控制方法不能達到人們所希望的運動性能。對此研究人員提出了多種魯棒控制方法以消除未建模不確定因素的影響，例如滑模控制[1]、反步法[2]和模型自適應(yīng)控制[3]等。其中滑模控制具有算法簡單、魯棒性好等優(yōu)點，受到廣泛關(guān)注。該方法通過構(gòu)造包含狀態(tài)變量的滑模面函數(shù)，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計控制器保證滑模面函數(shù)漸近穩(wěn)定，使得狀態(tài)變量趨近于零。當把滑模面函數(shù)中的狀態(tài)變量替換為狀態(tài)的真實與期望值之差時，狀態(tài)歸零控制問題轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)跟蹤控制問題。通過設(shè)計滑模面函數(shù)可以調(diào)節(jié)狀態(tài)變量到滑模面的趨近速度。當狀態(tài)變量到達滑模面后，系統(tǒng)將保持在滑模面上運動，并對不確定因素不敏感，體現(xiàn)了控制算法的魯棒性。抖動問題是制約滑模控制應(yīng)用的主要障礙。在理想情況下，狀態(tài)變量會沿著滑模面趨近于零。但實際中存在控制器延時和執(zhí)行機構(gòu)的慣性，都會導(dǎo)致狀態(tài)變量不能始終保持在滑模面上，控制器始終處在調(diào)節(jié)狀態(tài)，表現(xiàn)為液壓缸活塞在位移跟蹤的同時伴隨著小幅抖動。

針對滑模控制的抖動問題，研究人員提出許多可行的方案，例如，用連續(xù)函數(shù)代替sgn函數(shù)[4-5]，動態(tài)邊界層滑模控制[6-7]，以及高階滑模控制[8-9]等。其中高階滑模控制將不連續(xù)的sgn函數(shù)包含在控制信號的導(dǎo)數(shù)當中，再通過積分運算消除了控制器的不連續(xù)，從而抑制抖動。針對高階滑模控制，前人已做了大量的研究。李運華等[10]將時間最優(yōu)與二階滑模控制相結(jié)合，以抑制系統(tǒng)抖動的同時提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。任彥等人[11]將高階終端滑模控制算法應(yīng)用于光電穩(wěn)定平臺的控制當中。姚崇等人[12]提出自適應(yīng)高階滑模算法，對船用發(fā)動機電子節(jié)氣門進行控制。杜文正等[13]將高階滑模控制應(yīng)用于液壓起豎裝備當中。宋勝利等[14]提出一種收斂速度快的二階終端滑模控制算法，并將該算法應(yīng)用于下肢骨骼的姿態(tài)控制。殷凱軒等[15]將滑模擾動觀測器與分數(shù)階積分補償相結(jié)合，以提高永磁同步電機轉(zhuǎn)速控制的魯棒性。

本文作者針對高階滑模控制器參數(shù)設(shè)定缺乏理論依據(jù)的問題，提出根據(jù)時滯控制(Time Delay Control，TDC)算法[16-17]實時估計系統(tǒng)的總擾動，再將估計值作為控制器的參數(shù)，使控制器可以根據(jù)總擾動自適應(yīng)調(diào)節(jié)，既保證了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定又進一步降低了控制信號的抖動幅度。由于高階滑模本身的特點，需要對控制器的導(dǎo)數(shù)進行積分運算，積分環(huán)節(jié)的引入會使系統(tǒng)的響應(yīng)速度降低，增大了跟蹤誤差。對此提出將自適應(yīng)高階滑模控制與比例控制相結(jié)合的控制策略，通過自適應(yīng)高階滑模解決模型不確定問題，通過比例控制解決響應(yīng)速度慢的問題。最后通過液壓系統(tǒng)的仿真分析驗證該控制策略的性能。

1 液壓系統(tǒng)數(shù)學模型

伺服閥控制液壓缸系統(tǒng)如圖1所示。液壓泵為系統(tǒng)提供油液。溢流閥用來穩(wěn)定系統(tǒng)壓力。伺服閥通過閥芯的高頻運動，改變進入液壓缸的流量，實現(xiàn)對活塞位移的控制。其數(shù)學模型包括：油液的流量連續(xù)性方程、液壓缸活塞的受力平衡方程以及伺服閥控制電壓與閥芯位移的關(guān)系方程。

圖1 閥控缸電液位置伺服系統(tǒng)

根據(jù)薄壁小孔的流量公式得伺服閥的的流量方程為

(1)

其中：QL為流經(jīng)伺服閥的流量；Cd為伺服閥口的流量系數(shù)；w為伺服閥口的面積梯度；xv為閥芯位移；ps為伺服閥入口壓力；pL為伺服閥出口壓力；ρ為液壓油密度。

液壓缸的流量連續(xù)性方程為

(2)

式中：Ap為液壓缸活塞的油液作用面積；Ct為液壓缸的內(nèi)泄漏系數(shù)；V為液壓缸進油腔的容積；βe為油液的體積彈性模量。

液壓缸活塞的受力平衡方程為

(3)

式中：mt為活塞質(zhì)量；Bp為活塞與缸筒內(nèi)壁之間摩擦力的黏性阻尼系數(shù)；k為負載彈簧剛度；FL為外負載。液壓缸在工作過程中其負載通常是變換的，因此文中將FL設(shè)定為不確定因素。

伺服放大器等效為比例環(huán)節(jié)。伺服閥的輸入電流與閥芯位移之間的關(guān)系也近似為比例環(huán)節(jié)，則有：

kp=i/u

(4)

ksv=xv/i

(5)

式中：kp為伺服放大器的放大系數(shù)；ksv為xv與輸入電流i的比例系數(shù)；u為控制電壓。

根據(jù)式(1)—(5)整理出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程分別為式(6)和式(7)。其中3個狀態(tài)變量x1、x2、x3分別代表液壓缸活塞的位移、速度和加速度。

(6)

y=x1

(7)

2 高階滑模控制

針對前文電液伺服系統(tǒng)的狀態(tài)方程，設(shè)計滑模面函數(shù)為

σ=c1e1+c2e2+e3

(8)

其中：e1=x1-x1d，e2=x2-x2d，e3=x3-x3d，x1d、x2d、x3d分別為x1、x2、x3的期望運動軌跡；c1、c2為設(shè)計參數(shù)。對式(8)求二階導(dǎo)數(shù)，并將式(6)代入得

(9)

設(shè)計二階滑模趨近率為

(10)

(11)

式中：等號右邊的u為前一采樣時刻的控制信號。

通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明控制器[式(11)]使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。設(shè)由σ構(gòu)造正定的Lyapunov函數(shù)為

(12)

對式(12)求導(dǎo)得：

(13)

將式(9)(11)代入式(13)得：

(14)

3 自適應(yīng)高階滑模控制

TDC假設(shè)當采樣間隔很短時，前一采樣時刻的u可以近似代替當前時刻的u。根據(jù)該假設(shè)由公式(9)推導(dǎo)出當前時刻總擾動估計的計算公式為

(15)

(16)

將式(9)(16)代入式(13)得：

(17)

4 高階滑模與比例的復(fù)合控制策略

(18)

其中：u為自適應(yīng)高階滑模控制信號；k1為比例系數(shù)。控制算法的構(gòu)建思路如圖2所示。

圖2 控制算法的構(gòu)建思路

5 仿真分析

通過建立伺服閥控制液壓缸的Simulink仿真模型，對比分析所提出的控制策略的性能。仿真模型主要包括參考模型和實際模型兩部分，其中參考模型為伺服閥控制液壓缸的理想狀態(tài)方程，其參數(shù)均已知且固定。當參考模型中加入不確定因素后即為實際模型。控制目標為：在有不確定因素條件下實際模型的狀態(tài)變量能夠跟隨參考模型的狀態(tài)變量，跟隨誤差越小控制效果越好。設(shè)定參考模型的控制信號為

(19)

仿真模型的參數(shù)如表1所示。

表1 仿真模型參數(shù)

圖3 負載曲線

控制器的參數(shù)如表2所示。

表2 控制器參數(shù)

5.1 控制信號抖動分析

圖5 自適應(yīng)一階滑模控制信號

圖6 高階滑模控制信號

圖7 自適應(yīng)高階滑模控制信號

5.2 跟蹤誤差分析

分別采用自適應(yīng)高階滑模和自適應(yīng)高階滑模+比例的復(fù)合控制策略仿真得出x1如圖8、9所示。在自適應(yīng)高階滑模控制下的最大e1=9.1×10-12m，在復(fù)合控制下的最大e1=1.8×10-12m。位移跟蹤誤差如圖10所示。可見復(fù)合控制使e1迅速減小，并穩(wěn)定在小幅值范圍內(nèi)。自適應(yīng)高階滑模控制的e1幅值較大，需要較長的時間使e1調(diào)整到小誤差范圍內(nèi)，說明了復(fù)合控制策略的優(yōu)越性。

圖8 高階滑模控制下的液壓缸位移

圖9 復(fù)合控制下的液壓缸位移

圖10 液壓缸位移跟蹤誤差

6 結(jié)論

(1)針對高階滑模控制器中總擾動的上限無法預(yù)知的問題，提出通過TDC算法實時估計系統(tǒng)的總擾動，并根據(jù)估計值自適應(yīng)調(diào)整控制器的參數(shù)，既保證了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定又進一步降低了控制信號的抖動幅值。伺服閥控制液壓缸的仿真結(jié)果表明：自適應(yīng)高階滑模控制信號的抖動幅值相對一階滑模的抖動幅值減小了約4×106倍，相對高階滑模減小了約60倍。為抑制滑模控制算法引起的系統(tǒng)抖動提供了解決方案。

(2)針對高階滑模控制算法使系統(tǒng)的響應(yīng)速度慢的問題，提出在自適應(yīng)高階滑模控制的基礎(chǔ)上加入比例控制以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。仿真結(jié)果表明：加入比例控制后的液壓缸位移響應(yīng)速度大幅提高，跟蹤誤差也顯著減小，驗證了文中提出的控制策略的優(yōu)越性。