微正則系綜中理想氣體能殼厚度問題

關鍵詞 微正則系綜;能殼;理想氣體的熵

微正則系綜是統計物理教學中的重要部分。

利用微正則系綜求解系統的熱力學量的一般步驟是在給定系統的粒子數N 、能量E 和體積V 的情況下計算系統可能的微觀狀態數Ω（N ，E，V）， 進而得到系統的熵S =k_BlnΩ 和其他熱力學量，其中k_B 為玻爾茲曼常數。實際操作中，通常計算的是能量在E 到E+ΔE 這個范圍內系統所有可能的微觀狀態數。有的教科書認為ΔE 的存在是由于體系不可能絕對孤立而引起的能量上的微小變化[1]，進而在計算過程中先讓能殼厚度ΔE 取有限值，最后再取薄殼極限ΔE →0。有的教科書則認為在熱力學極限下ΔE 對熵的數值沒有影響，不必取薄殼極限[2]。也有作者認為能殼厚度應當取為體系最小能量量子ε₀[3，4]。例如體積為V 的自由粒子系統，文獻[3，4]給出能殼厚度ΔE 應當取ε₀=h²/（2mV^2/3）， 其中h 為普朗克常數，m 為粒子的質量。文獻[5]在敘述中提到微正則系綜要求E/N lt;ΔE?E， 然而文獻[5]在以理想氣體為例的推導過程中又要求|ln（ΔE/E ）|?N ，即ΔE?Ee^-N 。

顯然上述各種表述存在相互抵觸之處，對于在微正則系綜中理想氣體的能殼厚度應該取何值各有各的說法。更為嚴重的是，在薄殼極限ΔE →0下，能殼內包含的相空間體積消失，進而會得到S=k_Bln（0）=-∞的荒謬結論，而且這個荒謬結論對各種系統都成立[6] 。本文將利用理想氣體系統的熵的詳盡推導，對上述各種說法進行評述與說明，并對理想氣體系統的能殼厚度給出自己的判斷。