深度學習視域下“用分數除法解決問題”教學探析

程彥

［摘 要］深度學習是以課堂為主陣地，在檢視學生淺表性學習的基礎上，引導學生深度參與的課堂學習?！坝梅謹党ń鉀Q問題”的教學，通過連接分數的意義，構建對應的問題模型，學生在利用直觀圖形厘清數量關系的過程中真正理解分數除法解決問題的要素，從而促進思維的發展，達到深度學習的狀態，逐步實現知識、經驗、能力的融合。

［關鍵詞］深度學習；結構化；分數除法；解決問題

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）29-0069-03

一、問題的提出

2005年，研究者黎加厚將深度學習概念引入國內。2006年，郭元祥教授提出并開展深度教學的理論和改革實踐研究，研究團隊在前期工作中，提出深度學習與深度教學的關聯性與一致性，深度即內涵，在于價值與目標、知識的理解與轉化、學習的過程與方法。因此，深度教學是指向學生素養的意義性教學、理解性教學和生成性教學。

通過梳理、歸納文獻，發現關于數學深度學習概念的界定，多以安富海和郭華的深度學習定義為基礎，即數學深度學習是指基于數學本質理解，關注學生的數學應用與分析能力，培養學生的創造性思維和核心素養。在教學過程中，數學深度學習是學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與有意義的數學學習的過程，以數學核心素養為目標，凸顯學生的思維發展和學生對數學整體性的理解。

將深度學習理論應用于數學學科，需要教師深入解讀教材，在理解教學目標的基礎上設計教學方案，開展教學實踐。用分數除法解決問題需要對分數相關知識進行綜合運用。另外，從整數到分數，數系得到了拓展，分數既可以表示具體的量，又可以表示分率，用分數除法解決問題有其自身的抽象性。因此，為了達成深度學習，學生對分數除法解決問題的認識不能停留在淺層上，還要通過問題中的數量關系掌握解決問題的一般方法。

二、“用分數除法解決問題”的教學分析及現狀

在分數問題中有三個因素非常重要：標準量、分率和對應量?？梢愿鶕髽藴柿俊⑶蠓致省⑶髮繉⒘昙壍姆謹祮栴}分為三類（如圖1）。

在以往“用分數除法解決問題”的教學中，教師通常是引導學生建立解決問題的模式：一找關鍵句（含分率）；二定單位 “1”；三列算式，單位“1” 已知時用乘法，單位“1”未知時用除法。依照上述模式，學生只需機械記憶并套用公式。由于沒有達到理解層次，學生在解決綜合問題時不能準確找出單位“1”，遇到不能直接套用公式的問題時就無法正確解答。

表1給出的“用分數除法解決問題”共有四個類型，前兩個類型是“用分數乘法解決問題”類型的逆向問題，二者具有同樣的數量關系，但單位“1”不同（已知的和未知的）。

在教學中，應找出分數乘、除法問題的對應與聯系，讓學生在觀察、比較、溝通中理解“兩個部分量的差”與“其中的一個量”進行比較，感受它們之間的異同和數量之間的聯系，從而體會、內化這個差異和聯系是“用分數除法解決問題”的基礎和關鍵。

三、“用分數除法解決問題”多重屬性

1.鏈接相關知識，找到解題關鍵

在用分數除法解決問題的過程中，如果過分強調機械記憶和建立簡單模型，忽略模型背后的數學本質，就會使得學生對分數除法問題的核心知識達不到理解的程度。為了促進學生思維的發展，教師需要理順思路，將知識進行串聯、整合、類比，通過一道題延伸出一類題，構建對應的問題模型，活化知識的同時使知識結構化，找到用分數除法解決問題的關鍵。有題組如下：

（1）足球有20個，籃球的個數是足球的[25]，籃球有多少個？

（2）足球有20個，足球的個數是籃球的[25]，籃球有多少個？

（3）足球有20個，比籃球少[15]，籃球有多少個？

（4）足球有20個，比籃球多[14]，籃球有多少個？

以上題組的題目形式相近、知識聯系密切，具有一定的對比性和層次性。通過比較，可以發現：列式時需要找到標準量，即單位“1”。標準量已知的，可以用乘法計算，即“標準量×具體的分率”；標準量未知的，可以用除法計算，即“具體量÷對應的分率”。通過比較，學生會發現不管單位“1”是已知還是未知，都可以用乘法數量關系式解決這些問題。“求一個數的幾分之幾是多少”和“求比一個數多或少幾分之幾的數是多少”這兩種題的解題策略是一致的。在教學“用分數除法解決問題”的過程中要以“意義”為本，在學生理解的基礎上進行知識建構，促使學生建立符號表征、邏輯形式和意義系統的三維知識結構觀。

2.注重數量關系，進行整體建構

數量關系是兩個或兩個以上的數（或表達式）之間的關系。對于加減乘除運算，無論是一步計算還是混合運算，學生解題的正確率都比較高，然而在解決問題時，經常出現錯誤。原因在于學生建立數量關系模型時，缺少教師的引領。因此，在解決問題教學中，教師要注重引導學生分析數量關系，培養學生分析問題和解決問題的能力。學生遇到數量關系稍復雜的問題時，便能夠從數量關系入手，正確建構思維框架。

學生在解決問題時，一般會經歷如下過程：首先，從情境中尋找數學問題及解決問題所需的信息；接著，從復雜的信息中抽象出數量關系；最后，根據數量關系列式解答。例題：小明的體重是35千克，比爸爸輕[815]，小明爸爸的體重是多少千克？要真正理解“小明的體重比爸爸的體重輕[815]”，就要先弄清楚小明的體重是爸爸的幾分之幾。若將爸爸的體重平均分成15份，小明的體重相當于15份中的15-8=7（份），即小明的體重是爸爸體重的[715]。至此，問題轉化成了“小明爸爸體重的幾分之幾是多少”。學生除了發現“小明的體重=爸爸的體重×（1-[815]）”，還發現了“小明的體重÷（1-[815]）=爸爸的體重”，即數量關系沒有改變。

數學知識之間有密切的聯系，是一個由淺入深、由簡到繁、由易到難的結構。結構化教學能夠將數學知識、數學思想與數學教學內容相結合，使學生將學習的內容視為一個整體，學生就能夠在實際環境中提升自身的邏輯思維，全面理解數學知識。結構式教學的核心就是學生帶著問題主動建構知識的過程。用“分數的意義”統領整個分數單元，將前后知識有機銜接，學生運用分數除法來解決問題時就能對“分數的意義”和“一個數乘分數的意義”達到理解的程度，從而將較復雜的分數問題轉化為“一個數乘幾分之幾等于另一個數”的問題來解決。

3.利用圖形直觀，促進數學思考

合理運用線段圖可促進學生的解題能力和數學思考力的提升。在“用分數除法解決問題”的學習中，學生經常會遇到一些不太符合基本結構特征、數量關系不是很清晰的問題，教師要引導學生畫線段圖來理解題意，幫助學生在數和形的轉化中通過數量關系式找到突破口。

上述例題呈現了含有豐富信息的問題情境，學生在解題時，會遇到“把小明的體重平均分成15份”的情況。 線段圖具有的直觀屬性，有助于學生逐步理解題中所傳達的各種數學要素。從題目中可知爸爸的體重是單位“1”，將單位“1”平均分成15份，小明占其中的7份，而這7份所對應的量是小明的體重——35千克，用線段圖表示爸爸的體重是35千克和剩余的8份之和，也就是單位“1”——15份。

學生通過線段圖，明確了小明的體重是爸爸體重的（1-[815]），即“小明的體重=爸爸的體重×（1-[815]）”。

基礎知識與思想方法是數學課堂教學中的兩條主線。除了基礎知識鏈這條明線，教師對數學思想方法鏈的構建也要重視。在建構知識的過程中，要引導學生用數學的眼光去分析各種數學問題，概括常用的數量關系，培養學生分析數量關系的意識和能力。學生在學習“用分數除法解決問題”的過程中，往往難以將具體量和分率對應起來，而線段圖能詮釋分數問題中的數量，從而輕松求解。

以上對“用分數除法解決問題”多重屬性的分析與表達，也是“深度的教與學”在課堂中的具體呈現。教師只有具備結構化、立體化、多元化的教學思維，建立發展性的課程知識觀，才能幫助學生獲得整體性的知識，理解知識的本質屬性。

綜上，通過分析“用分數除法解決問題”教學中存在的問題，提出了結構化教學的優勢和有效性，并強調了數量關系的重要性，以及通過圖示促進學生的理解和思維的提升。在未來的教學中，可以進一步探索不同教學策略在分數問題教學中的優劣，以提升教師在學生深度學習過程中的引導和支持能力，推動學生數學素養的提升。

深度學習是以課堂為主陣地，在檢視學生淺表性學習的基礎上，引導學生走向深度參與的課堂學習，從而促進學生思維的發展，達到深度的學習狀態，逐步實現知識、經驗、能力的融合。

［ 參 考 文 獻 ］

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【此文系廣東省2023年規劃課題（項目編號2023YQJK025）“‘結構·聯系·遷移導向的小學數學單元主題教學實踐研究”階段性研究成果?！?/p>

（責編 黃 露）