關于函數教學的幾點思考與建議

王云，熊慶林，郭曉俊

（重慶市育才中學校，重慶 400050）

一、平穩銜接，關注知識儲備結構

任何學習都需要有一定的知識儲備，學習者以原有的知識經驗作為新知識的生長點，通過與外界的相互作用來建構新的理解。教師需要準確把握初高中教材中相關內容，著力關注學生已有知識結構，力求以學生熟悉的知識經驗為起點展開教學，以求消除學生對抽象知識的陌生感和焦慮情緒，以求教學的有效性。

案例1 函數的概念抽象難懂是學習者在函數學習中的第一個攔路虎，初高中關于函數概念的介紹不盡相同，為了說明方便此處將這兩個定義摘抄如下：

初中函數定義：一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應，我們就說x是自變量，y是因變量，此時稱y是x的函數。

高中函數定義：設A、B是兩個非空數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的函數，記作y=f(x)，x∈A。

教學中雖然教材和教師在介紹函數概念時做了不少努力，比如設置各種情景、作為輸入—輸出黑箱等幫助學生理解函數概念，但現實的情況是最終還得面對學生說下函數抽象的概念，教師還需把這種嚴格的定義強加給毫無認知準備的學生，學生沒有經歷理解定義的過程。

教學中，教師應充分挖掘二者定義的區別與聯系，可以通過這種方式介紹高中函數概念：“在一個變化過程中對于x的每一個值”就構成集合A（函數的定義域），“與每一個x都唯一與之對應的值y”就構成函數的值域C（在映射中沒有要求B中的元素都有原象），“對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應”說明存在一個對應法則f，如此類比，初高中函數定義就無縫對接了，讓學生感到高中的函數定義就是從初中函數定義中過渡過來的，實質沒有發生變化。

此外，為了消除學生的陌生感和面對新知識的焦慮情緒，教師所列舉函數盡量確保學生熟悉，比如，講授函數對稱性的時候最好以二次函數為例，講授函數單調性的時候，最好以一次、二次、反比例函數為例，這樣既保證了新知識有較好的生長點，也確保了學生良好的心理準備態勢。

二、螺旋上升，結合學生心理特征

螺旋上升原理符合人的認知特點和身心發展規律，心理學研究成果表明，人的大腦接受外界信息以后，都有一個自我消化、梳理的過程。

《普通高中數學新課程標準(實驗)》（以下簡稱《課標》）指出像函數這樣的核心概念需要多次接觸、反復體會、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握并靈活應用。為此，教師要改變教學理念，變傳統的講授、機械訓練為主的單一教學模式，為學生從事數學活動提供足夠的時間與空間，以豐富學生的學習經歷、改進他們的學習方法，讓具有不同潛能的學生學習不同層次的數學[1-3]。

螺旋式上升教學原理是將同一塊知識安排在不同階段學習，以函數為例，為讓學生充分理解函數概念，初中安排了函數板塊，初步接觸函數概念，初步學習一次、二次、反比例函數等簡單函數，高中階段要求學生以運動變化的觀點認識函數、理解函數的要素、認識幾類基本初等函數、掌握函數基本性質等，隨后通過不等式、數列、向量等知識加強學生對函數的理解，加深函數與不同知識間的聯系，最后運用導數研究函數局部性質，提高學生從微觀認識函數的能力。

針對高一學生學習函數困難這一現狀，教師在某些重要知識、重要思想方法等不能一步到位的重要節點的教學上也應遵循螺旋上升的原則，以求教學效果最大化。

案例2 求解不等式|x-1|+|x+3|<6。

教學中，可以在采用分段討論絕對值求解不等式后順便延伸出兩個問題，①讓學生畫出函數y=|x-1|+|x+3|和y=6的圖像，②結合二者圖像，求解不等式|x-1|+|x+3|<6。

此處，雖然還未介紹分段函數的概念，但是分段討論去絕對值求解不等式的過程讓學生已經萌芽了分段討論的意識和能力水平，同時訓練了作圖能力，在學生頭腦中初步樹立了分類討論和數形結合等重要數學思想，為后續進一步學習提供基礎。

三、數形結合，圖像支撐函數學習

高中生的思維水平雖然已經逐步開始由以形象為主的思維向以抽象為主的更高的思維水平發展，但是形象思維在其學習過程中仍起著不可估量的作用。華羅庚先生有一首廣為傳播的打油詩：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。

教師要積極引導學生，通過對學生作圖、讀圖能力的培養，提高學生用圖像解決函數問題的能力，幫助學生理解函數問題的本質。比如，在介紹完指數函數、對數函數后，應要求學生準確畫出二者圖像，在記住圖像的基礎上記憶函數的基本要素及一般性質：定義域、值域、單調性、恒過定點等，以形記數，做到心中有圖。在介紹抽象程度高不易理解的函數單調性、對稱性等概念時，應時刻緊抓函數示意圖，定能取到不錯的效果。

案例3 在學習函數單調性之后，可以從定量定性角度引導學生作出函數y=x+(k> 0)圖像。首先，雖未學習奇偶函數相關概念，但是據分析可以發現函數的圖像關于原點對稱，由此可知只需畫出函數在x>0部分的圖像即可，其次，通過函數單調性的定義可以發現函數分別在(0,k),(k, +∞ )內單調遞減和單調遞增，最后，可以發現x→0+時函數值趨于正無窮，又，由此可知函數圖像始終在直線y=x（x>0）的上方，并且x(x→+∞)，故函數有漸近線y=x。最后可以讓學生自行畫出函數的圖像。在作圖的過程中讓學生充分感受數與形的緊密聯系，增強對相關概念的理解，同時認識到學習函數相關性質的目的和意義。

總之，學生的抽象能力發展水平與函數圖象的形象直觀屬性直接決定著函數教學離不開圖像的支撐。因此，教師要在數學課堂中有意識地培育和滲透物、形意識，構建抽象的數學概念、定理與形象生動的實物、圖形之間的無縫連接，簡單地講就是讓數學課堂與實際生活緊密聯系起來，深刻體現數形結合的數學思想，形象直觀地展現知識，這對培養學生思維能力、減輕學習負擔、打造高效課堂是十分必要的，必須引起高度的重視[4-6]。

四、問題鋪墊，搭建支架破解難點

什么是“學習支架”？它來源于構建主義理論指導下比較成熟的教學模式：支架式教學。支架式教學以維果茨基的“最近發展區”的概念為核心，這個發展區存在于學生已知與未知，能勝任與不能勝任之間，是需要支架幫助的區域。威林厄姆在《為什么不喜歡上學》中提到，努力解決難度恰當的問題是有好處的，但是解決太簡單或太困難的問題，是不會讓學生開心的。

案例4 （1）二次不等式的解法教學中，應準確把握二次函數、二次方程、二次不等式三個二次關系間的緊密聯系，可設置以下問題，為自然生成一般形式一元不等式的解法搭建支架：請作出二次函數y=x2-5x的圖像，請回答：一元二次方程x2-5x=0的兩根為？一元二次不等式x2-5x>0的解為？一元二次不等式x2-5x<0的解為？問題：如何求解一般形式的一元二次不等式呢？

（2）函數的表示法中有一類常見問題——方程思想求解函數解析式，比如已知函數f(x)(x≠0)滿足3f(x)+=x，求f(x)的解析式。常規教學中是將x換成代入上式得到另一個方程，再解方程組即得f(x)的解析式。實踐表明，這樣的灌輸式教學效果并不明顯，學生只是將其作為一個解題技巧記憶下來，甚至對其合理性產生懷疑。經分析，筆者認為可以設置以下問題為學生搭建理解的支架：①求f(3)的值；②求的值（促進學生形成方程組求值的方法萌芽）；③求f(x0)的值（x0為某非零常數）；④求f(x)。經過問題串的設置，學生逐漸意識并理解方程組求解的可行性，同時也滲透了賦值法的教學，最后還可以設置問題；⑤是否求解每一個函數值都需解方程組？（計算f(1)、f(-1)只需賦值一次即可）。

五、數學思想，滲透教學貫穿始終

《課標》指出，函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，數學思想、方法作為基礎知識的重要組成部分明確提出來，這不僅是對數學思想方法的重視，也是對學生實施創新教育、培養創新思維的重要保證，是提高教學質量的基礎[7-8]。

本章教學應逐步滲透數形結合、分類討論、函數與方程等數學思想，提高學習效率與思維層次。教學中教師要把握滲透數學思想的時機，選擇適當的方法，化顯為隱、循序漸進，依據不同階段和不同內容的特點精心設計教學程序與方法，讓學生深度參與領悟并逐步學會運用這些思想方法去解決數學問題。

案例5 方程與不等式是函數的兩種特定狀態，二次不等式教學中充分體現了數學結合、函數與方程的思想。

六、提升理解，夯實數學閱讀能力

閱讀是學生自主獲取知識的一種學習過程，它不僅僅是讀的過程，而且是動口動手動腦有機結合，統一協調的過程。數學閱讀由于數學語言的符號化、邏輯化及嚴謹性、抽象性等特點，有不同于一般閱讀的特殊性，它是一個完整的心理活動過程，與文學閱讀最大的區別是數學閱讀要包含文字、數學符號、術語公式、圖表圖像等閱讀對象、新概念的同化和順應、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動等因素，同時，它也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。研究表明，閱讀能力差是構成一些學生學習數學感到困難的因素之一。

案例6 定義在R上的函數y=f(x)滿足f(-2)且f(x+3)=-f(x-1)，求f(2018)的值。

教師在指導學生審題的過程中應注意從本質上而非形式上理解題意，比如針對條件“f(x+3)=-f(x-1)”，一般處理方法是：將x→x+1，即得f(x+4)=-f(x)，再將x→x+4即得f(x+8)=-f(x+4)，由此可得，f(x+8)=f(x)，即f(x)是周期為8的函數。如此一來，基礎較差的學生就會犯糊涂了，為什么要如此變換？如果教師從條件本身所表達的含義入手，抓住條件本質含義，引領學生閱讀并翻譯條件，則學生理解起來就輕松多了，可以設置如下問題串：

問題1：f(x+3)=-f(x-1)中x+3與x-1兩個值有何關系？（相差定值4）

問題2：那這個條件想告訴我們函數f(x)滿足一個什么關系？（相差定值4的兩個點處函數值異號）

問題3：因此條件f(x+3)=-f(x-1)還可以寫成什么形式？f(x+4)=-f(x)，此式與原式本質一樣嗎？（一樣）

問題4：x+8與x+4間有何關系？（相差定值4）那么f(x+8)與f(x+4)間有何關系？f(x+8)=-f(x+4)，

問題5：因此f(x+8)與f(x)間有何關系？（f(x+8)=f(x)）

形式化的表述是學生學習函數的一大難點，教師應從細節入手，適當關注形式化，但更應注重本質具體化、形象化，以求幫助學生輕松學習，這也是一線廣大數學教師的不懈追求。

七、注重應用，函數建模學以致用

任偉芳在《課堂教學設計與評析中》給出了一首數學應用的贊美詩：數學精微何處尋，紛紜世界有模型；描摹萬象得神韻，識破玄機算古今；豈是空文無實效，能生妙策濟蒼生。我們要更加注意數學和現實世界的聯系和應用，重在發展學生的數學思維能力，發展學生的數學應用意識，提高學生自覺運用數學分析問題、解決問題的能力，為日后進一步學習或在工作、生活中的應用打下更加堅實的基礎。