民族院校工科民族班“線性代數”教學建議

楊 慧，董連春，馮 杰

（中央民族大學 理學院，北京 100081）

引言

“線性代數”是國內外高等教育院校理工科經管類專業學生的必修課程，具有較強的抽象性與邏輯性，是培養學生基本數學素養的重要課程。同時，它又是實用性特別強的課程，廣泛應用于自然科學、社會科學與工程技術等各個領域。但國內高校使用的教材在內容上大多重理論、輕實踐，同時不同專業使用的教材在內容上無太大差別，缺少和專業相結合的內容知識。這就導致學生認為這門課晦澀難懂，不知道其在所學專業領域的用處，大大削減了學生的學習興趣和積極性。這種現象在民族院校民族班中尤為突出。民族院校民族班的學生主要來自青海、西藏等地區的藏族聚居區，學生的數學基礎較差，有些學生的入學數學成績在及格線以下，其數學思維能力、理解能力、計算能力相比東部地區學生有一定的差距。如果沒有合適的教材，加之教師教學方式死板，教學內容重理論和證明，而輕實踐應用，對于絕大多數學生來說，很難理解掌握這門課，這也就導致學生既沒有學懂理論知識，又不懂實踐應用。因此，我們急需對“線性代數”在教材、教學方式以及教學評價上進行改革，編寫適合工科民族班的線性代數教材，同時改革教學方式方法，讓學生通過本課程的學習真正能獲取一定的線性代數知識和能力。本文通過比較中外線性代數教材，明確我國使用教材的優缺點，同時借鑒國外教材的優點，為編寫適合民族院校民族班學生使用的教材提出建議以及在教學方式和教學評價上進行一些思考。

一、教材比較

美國著名數學教育家David C.Lay教授編寫的《線性代數及其應用》［1］在美國被廣泛使用。我們將其與國內高校使用的吳贛昌編著的《線性代數》（理工類·第五版）［2］做比較。

（一）主要理論知識

國內外教材相差無幾，都包括行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、特征值與特征向量、二次型方面的理論內容［3］。

（二）難易程度

國內教材偏重理論證明，按照先給抽象概念，再給定理與性質，最后給出證明的過程編寫。重點是數學的邏輯推理和嚴謹性，所以結構上較緊湊，沒有重復的內容，連貫性好，但這也導致知識點較分散，前后聯系少，無法突出重點，使學生分不清目標和工具，導致學生學習過程中感到抽象難懂。此外，例題及課后習題主要圍繞概念和定理內容展開，很少有實際應用方面的例子，這就導致學生在學習過程中失去了學習興趣和學習動力。

（三）內容設計

相較國內教材David C.Lay編寫的教材引入了幾何直觀、計算機技術的應用以及數學建模的方法，顯著的特點是理論聯系實際，實踐內容較多［4］。以介紹性實例引出每章主題，用具體簡單的例子說明要考慮的問題以及得出的結論，淡化數學方面的理論和證明。各章之間有很多知識的交叉和重合，所有內容都是圍繞本章的主題。例如第一章《線性方程組》，以經濟學與工程中的線性模型引入本章主題，用二元一次方程組的解的情況說明事實結論，在證明結論時也是以具體實例說明問題，由此弱化了理論證明，著重強調線性方程組的求解過程，同時加入了與線性方程組相關的內容：矩陣、向量組、線性變換，這樣有助于學生建立各個知識之間的關系。作者使用大量幾何意義來直觀地解釋知識點，讓學生更容易接受所學知識。例如，二元一次線性方程組的解可以看作平面坐標系中兩條直線的交點。第二章《矩陣代數》，用飛機設計中的計算機模型解釋矩陣的重要性。圖像的旋轉是通過矩陣的乘法運算實現的，矩陣的LU分解被用在流體動力學中。對于矩陣的運算以及各類性質通過簡單的例子進行解釋，有關逆矩陣和矩陣的秩著重講解了如何計算。最后介紹了矩陣代數在列昂惕夫投入產出模型以及計算機圖像處理中的應用，從實際中來，回到實踐中去，由此培養學生理論聯系實際、學以致用的能力。

（四）例題和課后習題

國外教材中所用的例題都很簡單，只為引出要講解的內容，不會出現多道同類型的題目，點到為止，有時甚至用非常簡單的例子來給出某個定義或性質。教材用實際應用案例來提高學生數學建模和實踐的能力。對于非數學專業的學生，數學知識是用來理解與解決本專業的知識和問題。用各種陷阱、各種計算難度高的題目來訓練學生對知識點本身的掌握程度有些本末倒置。同時，如果用同類型的例題讓學生反復對所學知識點進行練習，會讓學生感到枯燥乏味。這方面筆者在教學過程中深有體會，用簡單的例子和習題講解所學知識點反而可以有效提高教學效果。同時，國外教材課后習題量大，習題類型多，涵蓋的知識點廣，大多是用簡單的、不需要太復雜的計算或證明的問題來引導學生思考，而且用大量應用題目增加學生的知識面，提高學生的興趣和應用理論知識解決實際問題的能力。

（五）教學過程

國內教材大多按照行列式、矩陣、線性方程組、矩陣特征值、二次型、線性空間和線性變換的順序編寫。這種編排的優點是前后知識點無重復，內容緊湊，條理清晰，層層遞進。在教學課時量少的情況下，授課教師容易進行安排和講授，不需要過多的前后聯系和交互，只需按部就班地一章一章進行即可。對于學生來說，更容易記憶和從整體上掌握各章內容。例如行列式和矩陣是為了求解線性方程組，矩陣的特征值是用來化簡二次型。缺點是前后知識聯系少，學生學習過程中感覺知識點零散，需要記憶的內容太多，不成體系。而且一開始就把行列式的概念和矩陣的概念拋給學生，會讓學生感到一頭霧水，不知道學這些知識的目的是什么，分不清重點。

國外教材是按照線性方程組、矩陣、行列式、向量空間、特征值與特征向量、正交性與最小二乘法、對稱矩陣和二次型、向量空間的幾何性質的順序編寫。開篇就讓學生了解學線性代數的目標之一是解線性方程組，將涉及的矩陣、行列式、向量、線性變換的內容加入，將本書所有內容串聯起來，每一章都是完整的一部分。雖然前后內容有重復，但更容易讓學生建立各個知識點之間的關系。

二、思考和建議

通過比較中外線性代數教材，國外的教材有些地方是值得借鑒的。在現代化技術高速發展的時代，我們需要不斷改革教學理念、教學內容和教學方式，以提高工科類“線性代數”課程的教學效果和水平。通過幾年的工科民族班“線性代數”課程教學，筆者認為目前存在兩方面的問題：一是沒有適合工科民族班的教材，二是教師仍然沿用普通班的、不適用于民族班學生的教學方式和教學內容。

（一）教材改革

目前我國高校所普遍使用的線性代數教材內容上理論性強，過于追求數學的邏輯性和嚴謹性，強調理論知識和證明，而忽略了對于工科專業來說，“線性代數”只是屬于工具性課程。而且，課后習題也多是對概念和定理進行純數學的練習，較少關注線性代數的應用性和趣味性，與工科專業的實際應用脫節［5］。加之對于少數民族地區學生來說，其本身理解能力和基礎弱，抽象的概念和理論證明，讓他們很快對線性代數失去了興趣，覺得它毫無用處。事實上，線性代數是一門實用性很強的數學學科，廣泛應用于計算機、通信、電子、工程等領域。只是學生上來就被復雜的數學符號嚇到了，而沒有進一步了解線性代數的實際應用。為解決這些問題，首先在引入理論知識時告訴學生知識的來龍去脈，通過實例，介紹知識的應用背景，吸引學生的注意力。減少理論知識的證明，用淺顯易懂的方式講解知識，甚至用簡單的例子給出性質結論。例如在介紹行列式的定義時，可以拋棄取自不同行、不同列的元素乘積的代數和的定義方式，而采用先給出二階行列式的對角線法則，利用行列式按行展開來給出更高階行列式的定義。利用計算具體的特殊二階和三階行列式來給出行列式的性質。例如，交換兩行，行列式值互為相反數；某行加到另一行上，行列式值不變等性質。其次，在例題和課后習題方面，降低課后習題的難度，不要設置太多計算量大、難度高的題目，用簡單的練習題來幫助學生掌握知識。著重提高學生知識應用的能力，可以在每章增加應用性實例，在課后習題中增加應用題，減少純理論的證明［6］。同時，去掉線性空間與線性變換章節，只講行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、二次型等內容。最后，隨著計算機技術的飛速發展，對于計算機專業，增加數值計算方面的內容，鼓勵學生使用MATLAB等數學軟件進行高階行列式的計算、線性方程組的求解以及矩陣特征值、特征向量的求解，在計算過程中探究如何提高精度和計算速度。對于工學院民族班學生，著重提高其應用線性代數知識進行數學建模以及計算的能力。

（二）改革教學方式

“線性代數”的課時安排較少，教師為了保證完成教學內容，課上基本都是“滿堂灌”，留給學生思考和討論的時間很少。學生剛開始還能聽懂一些內容，到后面就完全跟不上了。由于民族班學生基礎和理解能力弱，加之線性代數非常抽象，一學期下來，部分學生連最基本的內容都沒有掌握。對于工科民族班學生，應該改變傳統的以教師講授為主的教學方式。我們可以借鑒譚友軍提出的PIPA方法，首先把相關問題、背景講解清楚，之后鼓勵學生對相關問題根據直覺解答，用簡單實例給出證明的思路和想法，最后就某些具有實際背景的問題進行數學建模，用所學知識來解決問題［7］。同時，充分利用現代化教學設備，比如將上課過程錄制成視頻，以便學生課后復習。把某些典型習題的講解做成微課，讓學生課下學習，課上主要是學生討論和教師點評，講解具體應用實例。還可進行網上答疑，使學生學習更加積極主動。此外，教師在講授過程中務必要多總結，多和學生交流，用更加通俗、更容易讓學生接受的方式講解理論知識。例如在講解線性方程組的基礎解系時，國內的教材大多是將齊次和非齊次情形分別講解：對于齊次情形，對系數矩陣做初等行變換；對于非齊次矩陣，對增廣矩陣做初等行變換。事實上，我們可以將兩種情形統一，都對增廣矩陣做初等行變換，只是在齊次情形，增廣矩陣的最后一列全是0。在筆者最開始的教學中，采用的是吳贛昌《線性代數》課本上的講解方式，發現學生很難掌握，在做題過程中經常出錯。后來筆者采用國外教材上的講解方式，發現學生基本都能掌握。用最直觀、直接的方式講解，更符合學生的思維習慣，更容易讓他們接受和理解。對于民族班學生，要從學生的實際出發，根據他們的特點來進行教學。教師在教學過程中要多總結，多和學生交流，不斷改進自身的教學手段和方法，以此提高教學效果。

（三）改革教學評價

教學評價對師生的教與學都具有重要的導向作用，考核方式在很大程度上會影響學生的學習積極性。國內對“線性代數”的考核方式一般是平時成績、期中考試成績和期末考試成績。平時成績包括作業、出勤。期中考試和期末考試仍然是考查學生對理論知識的掌握程度。期末考試成績比重較大，這就導致有些學生學習不積極，作業靠抄襲，期末考試時集中突擊復習，目標是及格，考完對所學知識記住得很少。結果是，部分學生經過一學期的學習，增加的知識和技能很有限。因此，我們應該按下面幾種方式進行改革：（1）增加對學生應用實踐方面的考核，比如在課后習題中增加探索性問題、實踐性問題，培養學生數學建模的能力以及利用現代數學軟件解決線性代數中問題的能力。這樣不僅能夠加深學生對理論知識的理解，還能夠提高學生的學習興趣。（2）增加學生課上表現的考核，比如課上回答問題，課前知識的準備，課上對實際問題進行分組討論得出解決方案的能力。（3）增加測驗的次數，降低期末考試成績的比重，在每章或某塊知識點結束時進行測驗，使成績構成多元化，使學生通過這門課的學習真正獲得某些知識和能力。

結語

少數民族學生數學教育問題一直廣受人們關注。目前急需開發適合民族班學生的線性代數教材，同時要改革教學方式，努力提高教學質量，為少數民族地區培養高質量創新型人才貢獻力量。