基于邏輯連貫的“圓與圓的位置關系”教學設計

黃東娜

摘要：新課改下，數學學科提倡大單元教學，大單元教學能很好地整合學習內容和學習方法，使得數學學習是連貫和連續的.文章基于“為學生構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考”的設計思想，基于數學內部知識的邏輯與發展，延續點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系的研究思路與路徑，探索圓與圓的位置關系的學習——由定性描述到定量刻畫，對“圓與圓的位置關系”進行了教學設計和教學反思.

關鍵詞：圓與圓的位置關系；邏輯連貫；定性描述；定量刻畫

章建躍博士指出，在課堂教學中，要以數學地認識問題和解決問題為核心任務，以數學知識的發生發展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索，為學生構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數學知識的過程中學會思考.基于這樣的設計思想，對“圓與圓的位置關系”一課作了如下的教學設計.

一、教學分析

1.教材分析

從數學內部知識發展形成的順序結構和邏輯層面來看，“圓與圓的位置關系”是在研究“點與圓的位置關系”和“直線與圓的位置關系”后自然而然提出的研究課題.在研究思路上，“點與圓的位置關系”和“直線與圓的位置關系”的研究已經奠定了可以一以貫之的思想方法，即問題研究的手段和思維方式是一脈相承的.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對于這部分的要求如下：能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系，即通過代數運算解決幾何問題.

“圓與圓的位置關系”屬于解析幾何的內容，在學習中，我們要充分發揮解析幾何圖形的直觀功能，從而較為容易地得到對位置關系的定性描述.而解析作為手段，強調坐標法與代數運算，能使得對問題的研究實現從定性到定量的升華.在定量研究中，思路有二：第一，基于圓的方程的代數結構特征，將圓與圓的交點的個數問題轉化為一元二次方程的解的個數問題，屬于完全代數方法.然而，該方法只能準確判斷兩圓相交的情況，對于兩圓外切、內切，或者外離、內含，則無法精準判斷，存在局限性.第二，與確定圓的幾何要素（圓心、半徑）相聯系，借助半徑與距離（點到圓心的距離、直線到圓心的距離）的大小比較，獲得定量刻畫.具體是結合定性刻畫的過程，借助圓心距及兩圓半徑的和（差）的大小比較，把定性刻畫轉化為數量表示，從而得到相應的定量刻畫表達式，并且每一種數量關系（不等式）都對應了唯一的位置關系，如此定量刻畫是更為精細、更加準確的.

2.問題解決的一般路徑

對于圓與圓的位置關系，相關問題解決的一般路徑如圖1所示.

二、教學過程設計

環節1：創設情境，梳理脈絡.

問題1：前面我們研究過點與圓的位置關系和直線與圓的位置關系.在與圓相關的位置關系中，還可以研究什么？

問題2：既然都是研究“與圓相關的位置關系”，在研究的過程和方法上一定有可借鑒之處，你能回憶一下我們是如何研究點與圓的位置關系和直線與圓的位置關系的嗎？

問題3：我們可以怎樣研究圓與圓的位置關系？

師生活動：學生回顧已學知識并表達自己的想法，相互交流、補充，教師進行點評，并展示知識框圖，如圖2所示.

【設計意圖】復習的目的在于喚醒學生已有的學習經驗，通過提問聚焦對知識框架體系的記憶與鞏固.基于已學內容，指向從數學知識的發展與邏輯角度教會學生如何提出問題，按照怎樣的線索、用什么方法研究問題，培養學生提出問題和分析問題的能力.

環節2：構建過程，展開探索.

問題4：觀察幾何畫板軟件的動畫演示（略），描述在運動過程中兩個圓的交點個數的變化情況，以及對應圓的位置關系，填寫表1.

師生活動：教師利用幾何畫板軟件演示動畫，學生觀察并根據教師提出的問題完成表1.

【設計意圖】通過幾何畫板軟件演示發揮圖形幾何直觀的功能，讓學生學會看圖思考、看圖說話，從圖形中發現幾何圖形的位置關系，并進行定性描述.

例1已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0，試判斷圓C1與圓C2的位置關系.

問題5：我們知道，直線與圓的交點個數對應的代數形式就是聯立的方程組的實數解的個數.同樣地，兩個圓的位置關系也是由它們公共點的個數確定的，而它們有幾個公共點又由它們的方程構成的方程組有幾組實數解確定.試基于這個角度給出例1的運算求解過程，并得出結論.

追問1：畫出圓C1、圓C2，以及過兩圓交點的直線AB，你發現了什么？你能說明原因嗎？

追問2：上述解法中，如果通過兩圓方程聯立消元后得到的方程的判別式為0，說明什么？能據此確定兩圓是內切還是外切嗎？當Δ<0時，兩圓的位置關系是怎樣的？完成表2.

師生活動：學生思考后獨立完成表2的填寫，教師展示學生的答案并點評.教師繼續提出問題，學生思考、交流后發表自己的見解，教師予以補充完善，達成共識，完善表2.

【設計意圖】從方程的視角引導學生通過代數運算求解方程組，以此來判斷圓與圓的位置關系，這與直線與圓的位置關系的判斷方法是一致的.兩圓相交后，引導學生從直線的方程以及方程的直線的角度認識、理解公共弦所在的直線方程，實現了對位置關系由定性描述到定量刻畫的轉變.然而，通過方程的解的個數判斷圓的位置關系不夠精確，對外切與內切、外離與內含無法進一步區分，具有一定的局限性，也預示著另辟蹊徑勢在必行.

問題6：通過幾何畫板軟件的演示，我們可以看到在兩圓由外離到內含的變化過程中，交點的個數在變化.除此之外，我們可以發現兩個圓越來越近，試問如何刻畫“近”？

問題7：在定量刻畫點與圓、直線與圓的位置關系時，我們用了怎樣的數量關系？

問題8：事實上，對于點與圓、直線與圓的位置關系的定量刻畫，我們將“近”與確定圓的幾何要素（圓心、半徑）相聯系，借助半徑與距離（點與圓心的距離、直線到圓心的距離）的大小比較，獲得定量刻畫.試借助上述思想，探索“近”的數量表示.

追問1：你認為先研究哪幾種位置關系的定量刻畫比較容易？

追問2：對于難以理解的位置關系的定量刻畫，我們可以從哪些角度進行更好的理解？

師生活動：教師引導學生繼續觀察圖形，并思考教師提出的問題.學生獨立思考，并表達自己的想法，相互交流、補充，教師進行點評，并達成共識，完成表3.

【設計意圖】通過圖形直觀，兩圓的交點個數可以與“近”相關，而對于“近”，則可以通過距離來刻畫，即與確定圓的幾何要素（圓心和半徑）相聯系，借助半徑與距離的大小比較進行定量刻畫，把定性描述轉化為數量表示，從而得到相應的定量刻畫表達式，并且表達式與位置關系是一一對應的，讓學生感受到通過距離來刻畫圓與圓的位置關系是更加精細、更為準確的.對于相交和內含這兩種位置關系，則可以引導學生利用極端位置，采用先易后難的策略，先解決對外切和內切這兩種位置關系的定量刻畫，再對其進行突破.當然，對于相交的數量表示，也可以通過構成三角形時三條邊所滿足的條件來認識.

問題9：試用圓心距與半徑的關系給出例1的另一種解法.

追問：比較例1的兩種解法，說一說各自的優勢.

師生活動：學生獨立完成，教師展示答案，學生校對后，回答教師提出的問題.

【設計意圖】通過運算熟悉新的定量刻畫方法，并與之前的解法進行對比，讓學生感受兩種解法各自的優勢：方程視角下的定量運算總體上運算量較大，因為涉及二次方程的消元運算，對位置關系的準確判斷只限于兩圓相交的情況，但在相交的前提下，容易獲得公共弦的直線方程，進而可以求解與公共弦相關的量；通過圓心距與半徑的和（差）的大小比較，運算量相對較小，而且能夠精準判斷圓與圓的位置關系，但在相交的情形下無法直接求解公共弦的直線方程，需要通過方程運算獲得公共弦的直線方程.對兩種解法進行對比分析后，學生能夠在面對具體問題情境時作出合適方法的選擇，優化答題策略.

環節3：練習鞏固，強化理解.

例2已知圓C1：x2+y2=4，圓C2：x2+y2-8x-6y+16=0，判斷圓C1與圓C2的位置關系.

例3已知圓C1：x2+y2+2x+3y+1=0，圓C2：x2+y2+4x+3y+2=0 .

（1）證明圓C1與圓C2相交；

（2）求圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程.

思考：你會采用什么方法確定例2和例3中兩圓的位置關系？說明你選擇的理由并給出解答過程.

師生活動：學生獨立完成，完成后展示，教師點評.

【設計意圖】讓學生在熟悉解題過程的同時，更加熟練地針對問題的設置及條件中方程的代數結構特征選擇更加適合的方法，優化解題策略.面對條件與結論之間明確的邏輯，先確定問題解決的“大思路”，再關注“小細節”.

環節4：小結提升，形成體系.

問題10：本節課我們研究了什么問題？是按照怎樣的路徑展開研究的？獲得了哪些知識？

師生活動：學生思考、發言，教師補充，達成共識，即學習了圓與圓的位置關系，并探索了判斷圓與圓位置關系的方法.隨后展示問題學習路徑，如圖3所示.

【設計意圖】從整體上把握知識內容，形成知識體系框架，以及問題解決的思維方式.

環節5：布置作業，夯實鞏固.

師生活動：限時訓練，學生獨立完成，教師進行批改.

【設計意圖】通過限時訓練，鞏固本節課所學.

三、教學反思

1.注重知識聯系，為學生構建前后一致、邏輯連貫的學習過程

點與圓的位置關系和直線與圓的位置關系是研究圓與圓的位置關系的知識基礎，這兩種位置關系的研究手段和思維方式與圓與圓的位置關系的研究是一脈相承的.在教學過程中，教師要注重強化新、舊知識之間的關聯，引導學生學會用已有的知識和方法研究圓與圓的位置關系，這不僅有利于本節課的教學，而且有利于培養學生連續學習和思考的品質.

2.注重信息技術的應用，促進課堂的良好生成

在本節課的教學設計中，筆者注重對信息技術的運用，利用幾何畫板軟件展示圓與圓的位置關系，通過幾何圖形的直觀性，讓學生更好地感悟所學知識.信息技術的適當運用，讓課堂學習更加有趣和有效.

3.注重突出教學重點，完美突破教學難點

本節課的教學重點是對圓與圓之間的5種位置關系的定性分析和定量刻畫.其中，對相交和內含兩種位置關系的定量刻畫是難點.在教學中，采用先易后難的策略，較好地化解了這一教學難點.

4.注重練習質量，檢驗鞏固學習效果

例題和習題，貴精不貴多.本節課的選題非常有代表性，通過例1，讓學生從代數角度定性判斷圓與圓的位置關系；通過例2和例3，讓學生學會基于問題的設置及條件中方程的代數結構特征選擇更加適合的解法，優化解題策略.這3道例題有利于學生更好地掌握圓與圓的位置關系的相關知識及其應用.

四、結束語

前后一致、邏輯連貫的學習過程使得學到的數學知識不再是零散、孤立的.這種學習過程可以很好地培養學生連續思考和學習的思維品質，使得數學學習更加有方法和規律可循，使得學生更加專注于數學的核心內容及其反映的數學思想方法，讓學生可以更好地思考問題、解決問題，達到以不變應萬變的效果.而這恰恰與新高考對學生的能力要求和數學核心素養要求是相匹配的.相信在廣大教師的共同努力下，教學的過程會越來越連貫，學生的思考和學習也會越來越連續，數學學習也會越來越輕松.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[3]章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數學通報，2013，52（6）：5-8，封底.