結(jié)構(gòu)不良試題的思維培養(yǎng)功能

許可雄

摘要：結(jié)構(gòu)不良試題指在條件狀態(tài)、結(jié)論狀態(tài)和解決方法中至少有一個(gè)是不明確的問(wèn)題，具有實(shí)踐性、選擇性、開放性和靈活性的特點(diǎn).利用結(jié)構(gòu)不良試題的具體情境，引導(dǎo)學(xué)生多角度分析、多途徑思考，提出多種解決方案，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性、深刻性、選擇性和發(fā)散性，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)向教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)本質(zhì)；育人功能

基金項(xiàng)目：2021年度福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題——“三單”設(shè)計(jì)：“雙減”背景下作業(yè)整體優(yōu)化的實(shí)踐研究（MJYKT2021-177）.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）評(píng)價(jià)體系下高考內(nèi)容改革的一大創(chuàng)新舉措就是要改變?cè)囶}相對(duì)固化的呈現(xiàn)方式，增強(qiáng)試題的開放性和創(chuàng)新性.自2020年高考全國(guó)新高考Ⅰ卷和北京卷中出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題以來(lái)，近兩年的高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了多道結(jié)構(gòu)不良試題.從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向，結(jié)構(gòu)不良試題符合新高考內(nèi)容改革的重大變化.同時(shí)，這一變化對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義，要求數(shù)學(xué)教學(xué)更重視受教育者未來(lái)的思維發(fā)展需求.“引導(dǎo)教學(xué)”是高考評(píng)價(jià)體系的核心功能之一.結(jié)構(gòu)不良試題具有實(shí)踐性、選擇性、開放性和靈活性的特點(diǎn)，是在條件狀態(tài)、結(jié)論狀態(tài)和解決方法中至少有一個(gè)是不明確的問(wèn)題.結(jié)構(gòu)不良試題的解決過(guò)程對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成、素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升具有深遠(yuǎn)意義，能促進(jìn)學(xué)生多角度把握知識(shí)本質(zhì)，探索問(wèn)題背后的價(jià)值，有效激發(fā)學(xué)生的求知欲.在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師利用結(jié)構(gòu)不良試題的具體情境，引導(dǎo)學(xué)生多角度分析、多途徑思考，提出多種解決方案，有利于優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性、深刻性、選擇性和發(fā)散性，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.本文著重闡述結(jié)構(gòu)不良試題在數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)方面的育人功能.

一、梳理知識(shí)，建立數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性指從數(shù)學(xué)知識(shí)體系出發(fā)，整合各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)和功能，相互聯(lián)系、相互作用，促使人更加精確、綜合、深入地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué).“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是讓知識(shí)結(jié)構(gòu)化、思維系統(tǒng)化，追求數(shù)學(xué)的認(rèn)知從“散點(diǎn)”走向“類型”、數(shù)學(xué)的方法從“割裂”走向“聚合”、數(shù)學(xué)的感悟從“斷續(xù)”走向“連續(xù)”、數(shù)學(xué)的理解從“局部”走向“全局”的過(guò)程.結(jié)構(gòu)不良試題具有多條件、多選擇、多結(jié)論和多方法的特點(diǎn)，問(wèn)題的結(jié)構(gòu)從碎片到整體.通過(guò)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良試題，重新梳理單元知識(shí)體系，將數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法重構(gòu)，變換不同的條件得到不同的結(jié)論，讓學(xué)生對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，這是將知識(shí)結(jié)構(gòu)化、思維系統(tǒng)化的過(guò)程.

例1在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知（）

sinA-sinB2=sin2C-sinAsinB.

（1）求角C；

（2）若，求△ABC的內(nèi)切圓半徑r.

在三個(gè)條件①a+b=7；②ab=8；③c=5中任選兩個(gè)補(bǔ)充在橫線上并完成答題.

首先，梳理有關(guān)三角形的知識(shí)，包括邊、角、三線（中線、高線、角平分線）、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等；其次，整理解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，包括內(nèi)角和定理、三角函數(shù)、正弦定理、余弦定理、面積公式、平面向量等；最后，解三角形就是已知幾個(gè)基本元素求出未知元素的過(guò)程.這就是結(jié)構(gòu)化解三角形知識(shí)的梳理過(guò)程.

二、揭示本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)思維的深刻性

當(dāng)下，有些課堂中仍然存在“教師反復(fù)講，學(xué)生雖然聽(tīng)得懂，但是做題時(shí)找不到解題思路”的現(xiàn)象.這種現(xiàn)象存在的根源是教師沒(méi)有講清楚知識(shí)的本質(zhì).這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生把基本的數(shù)學(xué)概念融會(huì)貫通，要透過(guò)現(xiàn)象看清數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，弄清數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系，這是思維深刻性的體現(xiàn).思維的深刻性指思維活動(dòng)的深度和難易程度，也指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯層次.如果教師在新授課中把大量的時(shí)間和精力花費(fèi)在單純的解題訓(xùn)練上，那么培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生就成了“做題機(jī)器”，其認(rèn)知能力會(huì)存在極大的局限性，無(wú)法真正領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)和解題方法，也將無(wú)法應(yīng)對(duì)新高考中出現(xiàn)的新情境.結(jié)構(gòu)不良試題的解答，需要在厘清所給條件的本質(zhì)意義后，綜合比較幾個(gè)條件的功能與作用，從而更加合理地進(jìn)行探究和推理，突出體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻性.

從一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視知識(shí)的形成過(guò)程，把題目結(jié)論設(shè)置為遞進(jìn)開放的形式，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比、化歸、抽象、提升等方法，厘清數(shù)學(xué)知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的同時(shí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性.

三、設(shè)置情境，提供數(shù)學(xué)思維的選擇性

思維的選擇性指人的大腦根據(jù)自己的思考，對(duì)需要解決的某一事物或現(xiàn)象所作的選擇.數(shù)學(xué)思維的選擇性指對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決選擇最優(yōu)化的路徑和方法，學(xué)生要根據(jù)問(wèn)題所提供的信息進(jìn)行分析、加工和綜合.實(shí)際上，面對(duì)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在進(jìn)行思維和判斷的過(guò)程中，一些學(xué)生未能選擇最簡(jiǎn)單、正確的路徑，主要原因在于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的理解不夠深入，對(duì)數(shù)學(xué)思維策略的掌握不夠熟練，進(jìn)而導(dǎo)致“選擇緊張”和“選擇焦慮”.結(jié)構(gòu)不良試題通常設(shè)置多種情境，可以給學(xué)生提供多種選擇，既能夠反映學(xué)生對(duì)問(wèn)題的多角度思考，又可以顯示不同學(xué)生的數(shù)學(xué)思維智慧.選擇不同的條件會(huì)有不同的求解途徑，具有多種評(píng)價(jià)解決方法的標(biāo)準(zhǔn)，給不同知識(shí)儲(chǔ)備的學(xué)生以更多選擇.

例3在①tanB=2tanC；②3b2-a2=12；③bcosC= 2ccosB中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并完成解答.

問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C及其對(duì)邊a，b，c，若c=2，且滿足___________，求△ABC面積的最大值.

也就是說(shuō)，條件①②③實(shí)際上是等價(jià)的，無(wú)論選擇哪個(gè)條件，求得的△ABC面積的最大值都是一樣的.通過(guò)這樣的邏輯推理和等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵產(chǎn)生比較深入的理解，有助于后續(xù)解題方法的選擇.在做出選擇之前，需要站在不同角度對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行初步推理，進(jìn)而比較每個(gè)路徑的運(yùn)算量，以及自己對(duì)解題路徑的熟悉程度等，最終選擇最有把握且高效的選項(xiàng)進(jìn)行解題.這道題目的解法有很多種，筆者從中選擇三個(gè)視角進(jìn)行比較分析.

解法1：選擇條件①.

由tanB=2tanC，可知角B與角C均為銳角.

如圖1，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)D，則點(diǎn)D一定在線段BC上.

【評(píng)析】解法1側(cè)重幾何視角. tanB= 2tanC中只涉及角，由式子可以考慮正切化弦或構(gòu)造直角三角形.此解法借助幾何圖形，通過(guò)tanB=2tanC構(gòu)造直角三角形，將代數(shù)條件（三角函數(shù)）轉(zhuǎn)化為幾何圖形，實(shí)現(xiàn)由數(shù)思形、以數(shù)構(gòu)形，不僅簡(jiǎn)化了運(yùn)算，而且凸顯了問(wèn)題的本質(zhì)，即斜邊為定值的直角三角形，當(dāng)兩條直角邊相等時(shí)面積取最大值.

【評(píng)析】解法3側(cè)重?cái)?shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)用視角. bcosC= 2ccosB中既有角又有邊，由式子聯(lián)想到用余弦定理實(shí)現(xiàn)角化邊，或用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而可以用類似選擇條件①或條件②對(duì)應(yīng)的解法解題.但運(yùn)用射影定理，利用式子的特殊性能讓解題過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新性和多樣性.

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》要求從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變，考查情境從學(xué)科知識(shí)化逐漸過(guò)渡到真實(shí)情境化.結(jié)構(gòu)不良試題往往會(huì)呈現(xiàn)出多種情境，迫使學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題的多種可能，這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中設(shè)置更加多樣化且更開放的問(wèn)題情境，以更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.

四、開放問(wèn)題，培育數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性

結(jié)構(gòu)不良試題的主要功能在于訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的自主性，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)創(chuàng)新、創(chuàng)造.命制數(shù)學(xué)題目，需要學(xué)生既懂得相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，又能夠創(chuàng)造性地提出有意義且數(shù)學(xué)思維層次較高的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以真正體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良試題時(shí)，可以將問(wèn)題的條件或結(jié)論進(jìn)一步開放，為解決問(wèn)題提供多種可能，添加或變換不同的條件探索論證思路，并能將論證過(guò)程用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)，發(fā)揮學(xué)生思維的自主性.從命題角度來(lái)看，可以在對(duì)結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題求解的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)不良試題，為學(xué)生提出新想法、新解法、新結(jié)論和新思維打開新的空間.這種問(wèn)題既與所學(xué)知識(shí)有較強(qiáng)的聯(lián)系，又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，這種問(wèn)題情境有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.

例4如圖2，AC為圓O的直徑，B為圓周上不與點(diǎn)A，C重合的點(diǎn)，PA垂直于圓O所在的平面，AN⊥PB于點(diǎn)N，AS⊥PC于點(diǎn)S，連接SN .

（1）證明：平面ANS⊥平面PBC .

（2）若圓O的半徑為1，∠PCA=45°，試提出一個(gè)有關(guān)“異面直線所成角或直線與平面所成角或二面角”的問(wèn)題，并寫出解答過(guò)程.

學(xué)生可以提出許多有意義的問(wèn)題，舉例如下.

（1）若∠ACB=30°，求PB與AC所成角的余弦值.

（2）若∠ACB=45°，求PC與AB所成角的余弦值.

（3）若∠ACB=30°，求PB與平面PAC所成角的正弦值.

（4）設(shè)B為圓上任意一點(diǎn)，PB與平面PAC所成角為θ，求sinθ的最大值.

（5）若∠ACB=30°，求二面角A-PC-B的正弦值.

（6）若∠ACB=30°，求平面ASN與平面PAB所成二面角的余弦值.

設(shè)計(jì)一道有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，鍛煉學(xué)生獨(dú)立思考的數(shù)學(xué)思維能力，變被動(dòng)接受為主動(dòng)探索，使學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新能力得到發(fā)展，這比教師直接給出一道固定的題目更有教育意義.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教育要促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.結(jié)構(gòu)不良試題嘗試將數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到高考數(shù)學(xué)不僅要求知識(shí)和能力，更關(guān)注如何解決現(xiàn)實(shí)生活中無(wú)處不在的結(jié)構(gòu)不良試題，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)的習(xí)得與記憶轉(zhuǎn)向解決問(wèn)題、選擇策略，從而真正實(shí)現(xiàn)思維層面的優(yōu)化.在平時(shí)的教學(xué)中，教師可以滲透一些結(jié)構(gòu)不良試題，采用開放、互動(dòng)的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的變化.在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良試題時(shí)，要兼顧開放性和公平性，形式不能固化，在問(wèn)題條件數(shù)據(jù)缺失或冗余、問(wèn)題目標(biāo)界定不明確、具有多種評(píng)價(jià)解決方法等特征上深入研究，更好地發(fā)揮結(jié)構(gòu)不良試題的育人功能.

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