基于關鍵能力的數學考查研究與教學建議

韓富萬 劉再平

摘要：在討論數學關鍵能力的提出與內涵的基礎上，結合2022年高考數學全國乙卷相關試題，詳細分析了高考對數學關鍵能力的考查情況，并提出教學建議.

關鍵詞：關鍵能力；高考數學；考查研究；教學建議

基金項目：陜西省“十四五”教育科學規劃2022年度課題——基于核心素養的高中數學建模實踐研究（SGH22Y1040）；陜西省“十四五”教育科學規劃2023年度課題——新高考背景下高考數學研究、展望與教學建議（SGH23Y1834）.

能力是一個人的綜合素養，關鍵能力是學生適應時代要求和支撐自己終身發展的前提，也是培養核心價值、發展學科素養所必須具備的能力基礎，更是國家所需的高素質人才的重要組成部分.數學在發展人的智力、培養人的關鍵能力的過程中發揮著不可替代的作用.那么，數學關鍵能力的內涵是什么？高考如何考查學生的數學關鍵能力？本文結合2022年高考數學全國乙卷有關試題的特征，探究高考對數學關鍵能力的考查情況，并針對性地提出一些教學建議，期望能給教師教學帶來一些啟發.

一、數學關鍵能力的提出與內涵

隨著《關于深化考試招生制度改革的實施意見》《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》和《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）的相繼頒布與制訂，高考數學逐步構建了以素養為導向、服務選才、知識為基、能力為重的考評體系，提出關鍵能力是高考重要的考查目標，也是測試、評價的核心指標和因素.

數學關鍵能力是指即將進入更高層次學校的學習者，在面對與數學學科相關的生活實踐或學習探索問題情境時，能有效地提出問題、認識問題、分析問題和解決問題所必須具備的數學能力.《體系》中闡述了適合高考評價規律的三個方面的關鍵能力群：以認識世界為核心的知識獲取能力群，以解決實際問題為核心的實踐操作能力群，涵蓋了各種關鍵思維能力的思維認知能力群.

以關鍵能力為重的高考數學評價體系，可以緩解學生對數學知識死記硬背的問題，強化對知識的理解與綜合運用，減少學生大量的機械刷題，消除當下盛行的題海戰術，著重提升學生的思辨意識和創新能力，促進“雙減”政策的落實，從而為一線數學教學樹立正確的導向.

能力的范疇比較寬泛，中國高考在貫徹新一輪教育改革的理念、借鑒國外能力考查的經驗和國內高中教育的實際情況條件下，重點選取了閱讀理解能力、信息整理能力、應用寫作能力、語言表達能力、問題解決能力、批判性思維能力、辯證思維能力、應用實踐能力和創新能力進行考查.然而，在高考數學中，綜合各方面的實際情況，主要選取邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、應用實踐能力和創新能力五種數學關鍵能力進行重點考查，前四項具有明顯的數學學科特征，是高中生學習數學必須具備的關鍵能力，第五項創新能力符合高考服務選才的要求，體現了國家教育發展的意志.

二、高考數學全國乙卷的特征

2022年高考結束后，師生普遍認為數學試題難度較大，然而從整體上來說，全國乙卷試題穩中有變、穩中求新，注重對數學關鍵能力的考查.通過對比2021年和2022年高考數學全國乙卷的考點和試題設置情況，得到以下結論.

（1）2022年高考數學全國乙卷文、理科相同試題由2021年的8道（共計47分）增加到13道（共計91分），并且有兩道試題背景相同的姊妹題.

（2）2022年高考數學全國乙卷文、理科試題基本都立足于高中數學主干知識進行命制，僅理科生學習的微積分、排列組合等知識少有涉及，即將淡出新教材的三視圖、框圖、線性規劃等知識正處于由全考到選擇性考查的過渡階段.

（3）2022年高考數學全國乙卷命制了結構不良的開放性試題，試題順序變化較大，試題的表述簡潔，試題情境與數學本質的融合度更高，文、理科試題的難度都在增加.總體來說，理科卷的難度仍然大于文科卷，但是兩者之間的差距正在逐漸縮小.

綜上所述，高考數學全國乙卷正在向文、理不分科的新高考靠攏，高考數學改革已經進入收尾的關鍵階段.

通過對2022年高考數學全國乙卷考查的數學關鍵能力進行統計，得到以下結論.

（1）2022年高考數學全國乙卷文、理科試題對邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、應用實踐能力和創新能力都有所考查，并且在考查力度上，文、理科呈現相似的趨勢.

（2）2022年高考數學全國乙卷文、理科試題對各種關鍵能力的考查不夠均衡.具體來說，對運算求解能力和邏輯思維能力的考查力度最大，對創新能力的考查次之，對空間想象能力和應用實踐能力的考查力度較弱.

（3）2022年高考數學全國乙卷文、理科試題對關鍵能力的考查呈現綜合性，即某道試題不只考查一種關鍵能力，而是綜合考查了多種數學關鍵能力.

綜上所述，為了更好地服務選才，高考數學對邏輯思維能力和創新能力的考查有所加強，然而對運算求解能力的考查力度過大，在有限的時間內開展大量運算不利于學生數學水平的發揮，建議適當“少算多想”.另外，建議高考數學加強對應用實踐能力的考查，探索適合學生和國情的應用實踐能力考查范式，發揮高考在數學建模等方面的積極導向作用.

三、試題關鍵能力考查分析

1.邏輯思維能力

邏輯思維能力是指按照數學本身的規律，理性地認識數學問題，不受其他無關因素的干擾，以概念、判斷、推理的方式展開邏輯思考，從而得出表征清晰、邏輯嚴密的數學結論的能力.具備邏輯思維能力的主要表現有：能對問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，能用演繹、歸納和類比進行推理，能準確、清晰、有條理地進行表達.

數學是理性精神與實踐結合的產物，邏輯思維能力不僅是運用數學知識解決問題的關鍵能力，更是人們形成理性精神的保障.高考考查邏輯思維能力的主要措施有：利用數學圖形和數據處理問題、設置日常生活情境、開發多項選擇題、增加開放型試題、提高對語言表達的要求.教學中，教師要善于創設適合學生的問題情境，在發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中，培養學生的邏輯思維能力.

2.運算求解能力

運算求解能力是指在數學問題解決中起到調節作用的個性心理品質，這種調節必須先明確運算方向、運算的操作程序和運算結果.運算求解能力主要表現為：對運算對象的理解，對運算法則的掌握，對運算思路與方向的探究，準確求解運算結果.運算是數學最典型的特征.

例2（全國乙卷·文/理19）某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到數據如表1所示.

（1）估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數（精確到0.01）；

關鍵能力考查分析：此題以我國多年的環境治理工程植樹造林為真實情境進行命制，契合習近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發展理念.為了估計一林區某種樹木的總材積量，層層遞進地設置了求平均數、相關系數和總材積量三個小問題.相關系數的求解無疑是運算的難點，試題所給的參考數據適用于相關系數的另外一個公式，因此學生在運算求

在高中階段，要引導學生意識到數學運算屬于演繹推理，是正確解決數學問題的保障和發展其他數學素養的前提.數學運算能培養學生思考問題的品質和一絲不茍、嚴謹求實的科學態度.高考考查數學運算求解能力的主要措施有：利用統計應用問題和統計圖表問題等直接考查數學運算能力，設置具體情境間接考查數學運算能力，將運算與圓錐曲線、導數等融合綜合考查數學運算能力.教學中，教師要善于引導學生將有關問題轉化為運算問題，明確運算對象、合理選用運算法則、優化運算思路，切實培養學生的運算求解能力.

3.空間想象能力

空間想象能力是人們對客觀事物的空間形式、空間幾何體進行觀察、分析、認知的抽象思維能力，它主要包括三個方面的內容：能根據空間幾何體或表述幾何體的語言、符號在大腦中展現出相應的空間幾何圖形，并能正確想象其直觀圖；能根據直觀圖，在大腦中展現出直觀圖表達的幾何體及其組成部分的形狀、位置關系和數量關系；能對大腦中已有的空間幾何體進行分解、組合，產生新的空間幾何體，并正確分析其位置關系和數量關系.

例3（全國乙卷·文18）如圖1，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點.

（1）證明：平面BED⊥平面ACD；

（2）設AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求三棱錐F-ABC的體積.

關鍵能力考查分析：此題以三棱錐為背景，要求學生探究平面與平面的位置關系，并通過分析△AFC面積的最小值，計算具體三棱錐的體積.解答時，不僅需要學生結合題意對空間四面體進行形狀觀察，數量分析，抽象線與線、線與面和面與面的位置關系，而且需要將試題中的四面體在大腦中進行分解、組合，分析△AFC面積取最小值時點F的位置和有關數量關系.此題在考查學生邏輯推理能力的同時，對空間想象能力的考查力度更大.

高考考查空間想象能力的主要措施有：利用立體幾何證明與求解問題，直接考查空間想象能力；設置實際情境或古代國內外著名建筑等數學文化背景，間接考查空間想象能力；挖掘某些代數問題的幾何背景，數形結合地將代數問題轉化為幾何問題，綜合考查空間想象能力.在高中階段的數學教學中，教師要引導學生從初中二維平面自然過渡到三維空間，意識到空間想象能力是溝通數與形的媒介，強化學生對三維空間的認識，引導學生從周圍的實物模型出發，養成良好的畫圖習慣和識圖、理解、表達問題的習慣，培養學生的空間想象能力.

4.應用實踐能力

應用實踐能力是指學生積極主動參與和充分體驗數學知識生成、生長和發展的全過程，并運用數學基礎知識、基本方法和基本思想對實際問題進行分析探究，進而解決問題的能力.高考數學對應用實踐能力的考查主要分為三個階段：表征分析階段，提煉數量關系階段，模型化階段.其中，模型化階段是數學應用能力考查的高級階段，對學生數學建模能力有著一定的要求.

例4（全國乙卷·理10）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（）.

（A）p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關

（B）該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

（C）該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

（D）該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

關鍵能力考查分析：此題以某棋手與三名棋手下棋比賽為背景，通過分析比賽規則，構建連勝兩盤的實際模型，運用獨立事件、互斥事件和對立事件等知識，推導該棋手連勝兩盤的概率p的表達式，并且通過作差比較獲得不同條件下概率p的最大值.顯然，此題考查了學生的數學建模能力和應用實踐能力.

高考考查數學應用實踐能力的主要措施有：綜合考查數學思維，注重對數學表達的考查，突出試題情境的真實化，試題形式與位置的動態化.教學中，為了培養學生的數學應用實踐能力，既要重視從實際問題中提取數學概念與原理，又要關注運用數學概念與原理解決實際問題，讓學生感受數學與現實世界的聯系，樹立正確的數學觀，體會數學的內在價值和應用價值，拉近數學與學生實際生活的距離，同時突出其中的人文精神和德育價值.

5.創新能力

創新能力是指在數學實踐研究活動中，不斷提供具有原創價值、學術價值、發展價值的新思想、新理論和新方法的能力.高考數學對創新能力考查的主要特點有：一是相對的新穎性，即考查的對象不是學生沒見過的，而是學生不熟悉的，對學生來說相對新穎；二是注重思維過程，即不全注重問題結果，而是鼓勵學生在思路的選擇與優化上有所創新；三是關注思維的靈活性和深刻性，以不變應萬變.隨著高考改革的不斷深入和為了更好地服務選才，高考數學試題越來越關注對學生創新能力的考查.

關鍵能力考查分析：此題考查了函數的對稱性（對稱軸、對稱中心）、周期性等重要性質，涉及數形結合思想，看似平淡無奇，實則難度較大.究其原因是命題人創新性地命制了兩個函數，學生需要從兩個函數的交會關系中深入探究隱藏較深的函數性質，學生對此并不熟悉，體現了高考數學的公平性、綜合性和選拔性，有效考查了學生的數學創新能力.

創新能力是民族進步的靈魂、經濟競爭的核心.高考考查數學創新能力的主要措施有：增強考試內容的基礎性、綜合性，多角度、多層次考查學生的綜合素質；突出對分析問題和解決問題能力的考查；增強試題的開放性和探究性，加強獨立思考能力的考查；創新新穎情境，創新試題呈現方式；設置開放性的參考答案，建立多元綜合的評價標準.教學中，教師要引導學生充分經歷知識的生成過程，營造思考與探究氛圍濃厚的數學學習環境.加強對數學創新能力的培養，是社會進步和國家發展對高考的急切要求，也是高考數學作為選拔性考試的重要體現.

四、教學建議

數學關鍵能力是高考數學測評的核心指標和因素.那么，教學中要如何培養學生的數學關鍵能力？筆者認為應該在以下幾個方面采取措施.

1.創設新穎的問題情境是培養學生數學關鍵能力的工具

教學中，在導入環節和試題命制情境的挖掘方面，要善于將抽象、枯燥的數學知識和新穎、真實的生活情境或科學情境恰當地融合起來，突出數學的趣味性、靈活性和實用性.在學生揭開情境層層面紗的思考過程中，培養學生的數學關鍵能力，發揮數學在育人心智方面的重要作用.

2.以外顯知識為主、內隱知識為輔，培養學生的數學關鍵能力

數學知識主要包括外顯知識和內隱知識，外顯知識是靜態的，主要指以文字、語言、符號、圖形、圖標等在教材或媒體上顯示的知識，而內隱知識是被顯性知識所包含的知識內核，主要涉及知識的文化元素、過程元素、邏輯元素、背景元素和外顯知識的拓展等.在數學關鍵能力的形成過程中，外顯知識起著主要作用，內隱知識起著輔助作用，但內隱知識是培養學生數學關鍵能力不可或缺的資源，兩者要有機結合.

3.深度教學是培養學生數學關鍵能力的核心手段

開展數學深度教學時，教師要在數學思維層面下功夫，即當學生出現困惑時，教師要恰當地參與，引導和鼓勵學生對問題進行反復、深入的思考，深度教學離不開合作探究學習，但也少不了獨立思考，應該將兩者有機融合起來，以構成合作探究學習的核心要素和內在精神品質，培養學生的數學運算、邏輯推理和創新能力等.當然，數學教學不必為了探究而探究，要避免表面的熱鬧掩蓋學生認知的膚淺和思維貧乏的現象.

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