雙層耦合網絡交通驅動病毒傳播過程研究
2023-12-29 00:00:00孫雪心凌翔
山東科學 2023年4期
摘要：目前對于多層網絡上病毒傳播問題的研究都在靜態網絡上進行，然而絕大多數的實際網絡系統都具有時變特性，對動態多層網絡中病毒傳播問題的研究尚不深入。研究了動態網絡與靜態網絡相結合的雙層網絡模型下病毒和信息相互作用的病毒傳播行為學，發現信息層網絡結構、路由策略以及信息傳播概率、病毒抑制度對病毒傳播閾值有顯著影響。當信息完全抑制病毒時，自我意識率可以有效地控制病毒感染規模。通過調整病毒層動態網絡節點移動速度和接觸半徑，研究了病毒傳播與交通動態之間的相互作用，發現隨著節點移動速度的增加，病毒傳播閾值減小，但隨著接觸半徑的增加，會有效抑制病毒的爆發。
關鍵詞：多層網絡；動態網絡；交通驅動；病毒傳播；路由策略
中圖分類號：U491.1+3; TP393.08 文獻標志碼：A 文章編號：1002-4026（2023）04-0089-08
開放科學（資源服務）標志碼（OSID）：
Traffic-driven epidemic spreading in two-layer coupled networks
SUN Xuexin，LING Xiang*
（School of Automotive and Transportation Engineering， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China）
Abstract∶Current studies on epidemic spreading in multilayer networks are conducted on static networks. However， most of the real-world networks exhibit temporal properties， and extensive research on epidemic spreading in dynamic multilayer networks is not yet done. This work investigates the epidemic spreading behavior of epidemic and information interactions in a two-layer network model combining dynamic and static networks. It was found that the network structure， routing strategy， information transmission probability， and degree of epidemic suppression had a significant impact on the threshold of epidemic spreading. When information completely suppresses the epidemic， the self-awareness rate can effectively control the scale of the epidemic infection. This paper also studies the interaction between epidemic spreading and traffic dynamics by adjusting the node movement speed and contact radius of the dynamic network of thee pidemic layer and finds that the epidemic spreading threshold decreases as the node movement speed increases， whereas the outbreak of the epidemic is effectively suppressed as the contact radius increases.
Key words∶multilayer networks; dynamic networks; traffic-driven; epidemic spreading; routing strategy
病毒傳播問題與生活息息相關，例如COVID-19、計算機病毒等等。復雜網絡上的病毒傳播問題是網絡科學中的一個基本問題［1］，自提出以來一直受到學者們的密切關注。研究復雜網絡上的傳播行為和傳播規律［2］，對人類社會的發展有著重要的實際應用價值和理論意義。
文獻［3-7］將交通過程與病毒傳播過程相結合，研究了在無標度網絡上的交通驅動病毒傳播模型。之后，學者們在交通驅動病毒傳播領域進行了廣泛的研究［8-12］。隨著研究的深入，學者們構建了動態網絡模型［13］，用來更準確地描述現實時變網絡，Yang等［14］研究了動態網絡中交通驅動病毒傳播模型下不同路由策略對病毒傳播的影響。其實當病毒爆發時，不僅僅是網絡的拓撲結構，與病毒有關的信息以及防護措施等都會對病毒的擴散造成影響［15］。近年來，已有部分研究考慮到了病毒與信息的耦合傳播，但大多集中在單層網絡上［16］。隨著社會的快速發展，網絡系統的規模也越來越大、越來越復雜，多層網絡相比于單層網絡，是對真實復雜網絡系統更有效的抽象表達［17-18］。Granell等［19］針對雙層網絡上關于病毒的信息擴散和病毒傳播的耦合動力學行為研究，提出了信息擴散-病毒傳播多層網絡模型。Velsquez-Rojas等［20］在此基礎上研究了信息和病毒在雙層網絡中，不同傳播速度對病毒傳播的影響。Ma等［21］提出了基于大眾媒介的無意識-意識-無意識-易感-暴露感染-恢復模型，發現降低無癥狀感染者的比例可以有效阻止疫情的傳播。
上述研究中采用的多層網絡大多數是靜態網絡之間相互耦合，然而在現實生活中，交通個體（行人、車輛等）會隨著時間不斷移動，同時交通個體之間進行著信息傳遞（在線網絡社交，如QQ、微信等），即病毒傳播在動態的接觸網絡上進行，信息傳播則在靜態的虛擬網絡上進行。因此，在本文的研究中，將動態網絡與靜態網絡耦合起來，通過對雙層網絡系統的大量模擬實驗，分析了虛擬層（信息傳播層）不同網絡結構下的信息傳播概率、病毒信息抑制度、自我意識概率、信息傳播的路由策略和物理層（病毒傳播層）動態網絡接觸半徑、節點移動速度等相關參數對病毒傳播影響。
孫雪心，等：雙層耦合網絡交通驅動病毒傳播過程研究
1 理論模型
多層網絡由M層構成，每層N個節點。為了簡化模型，本文取M=2，采用由一層動態網絡和一層靜態網絡構成的雙層耦合網絡。兩層網絡中節點一一對應，即每一個節點在另一層中都存在一個副本，但擁有不同的鄰居節點。
動態網絡模型具體為在一個具有周期性邊界條件的二維正方形區域內（正方形的邊長L=10），有N個獨立的節點隨機移動［22］。初始狀態，所有節點隨機分布在正方形的區域。每個時間步，節點將以固定的速度v和隨機的方向δ移動。對于任何一個節點，其位置更新如下：
其中：xi（t）和yi（t）對應了節點i在t時刻的x軸和y軸坐標；Ψi是一個均勻分布在區間［-π，π］上的獨立隨機變量，用來描述節點的移動方向。在t時刻，節點i和節點j之間的歐式距離Dij（t）可以計算為：
本文中靜態網絡模型主要采用了Erdás-Rényi隨機網絡（ER網絡）和Barabási-Albert無標度網絡（BA網絡）［23］模型。
1.1 交通模型
在交通過程中，每個節點都可以生成數據包，同時也可以傳遞數據包。在每層網絡上，每個時間步會產生R個數據包，產生的數據包隨機選擇初始節點目的節點，數據包到達目的節點就從系統中刪除。排隊規則為先進先出（FIFO）。為了避免系統中出現擁堵，設置節點數據包容量和處理能力都是無限大的。當網絡中一個節點產生了一個數據包，每個時間步會按照給定的路由策略向下一個節點傳送一步。
兩中層數據包采用不同的路由策略進行傳輸，路由策略如下：（1）在動態網絡層，為了發送一個數據包，每個時間步節點會在其接觸半徑r內對鄰居節點進行搜索。如果數據包的目的地在搜索區域內，它將被直接發送到目的地。否則，數據包將按照指定的路由策略發送給某個鄰居。（2）在靜態網絡中，具體路由策略為有效路由［24］：
其中k（xi）為節點xi的度，α為可調參數。當α=1時，數據包傳輸選擇的路徑為節點度之和最小的路徑，即有效路由；當α=0時，數據包傳輸選擇的路徑為節點數之和最小的路徑，即最短路徑。
1.2 傳播模型
在雙層網絡中，動態網絡用來模擬病毒層，病毒在動態網絡上傳播，靜態網絡用來模擬信息層，與病毒有關的信息在靜態網絡上傳播。本文采用易感-感染-易感（SIS）模型［18］來描述病毒傳播，未知-已知-未知（UAU）模型來描述信息傳播。在動態網絡中，節點存在兩種狀態：易感態（S）和感染態（I），靜態網絡層中節點中也存在兩種狀態：未知態（U）和已知態（A）。
對于SIS模型，病毒會隨著數據包在動態網絡中的傳輸而擴散，當一個S狀態的節點收到一個I狀態節點發送出來的包時，該S狀態節點將以β1的概率變為I狀態，以1-β1的概率保持S狀態。該I狀態節點將在下一個時間步以μ1的概率恢復到S狀態。
對于UAU模型，與SIS模型類似。當U節點收到A節點的數據包會有β2的概率接受到與病毒有關的信息，同時A節點會以μ2的概率遺忘信息。其中數據包攜帶的信息可以視為與病毒防護有關的知識或者預防方法。因此，對于已知信息的節點，會對病毒層對應的節點的感染率產生抑制作用，用γ（0≤γ≤1）來表示節點對病毒的抑制程度。當病毒層節點i1在信息層的對應節點i2為已知節點（A），那么i1的感染概率則為γβ1≤β1。同時，感染節點（I）的對應節點如果是未知節點（U），那么該節點會有θ的概率自我意識到病毒的有關信息，即由U狀態轉變為A狀態。
2 模擬結果與分析
病毒經常會隨著交通個體的移動而擴散，同時有關病毒的信息（預防方法）或者防護措施（防疫物資）也會隨著病毒擴散而傳播，ER網絡可以用來模擬有關病毒的知識（預防方法）在交通個體之間的傳播，BA網絡用來模擬防護措施（防疫物資）在交通個體間的運輸。為了研究病毒傳播-信息擴散多層網絡模型中病毒傳播情況，本文對病毒層和信息層不同的參數進行了研究。沒有特殊說明下，恢復概率μ1與遺忘概率μ2均取1，信息層路由策略采用最短路由。
2.1 信息層
首先，研究了不同網絡結構的信息層中抑制度γ對系統中病毒傳播的影響，本小節中采用雙層網絡中動態網絡分別和ER網絡、BA網絡相耦合的情況，其中每層網絡N=1 000，靜態網絡平均度K=6，數據包產生率R=1 000。
結果如圖1所示，其中病毒層與信息層網絡節點N=1 000。（a）（c）信息層為ER網絡，（b）（d）信息層為BA網絡。病毒層動態網絡v=0.5，r=0.5，恢復概率μ1=1，信息層自我意識概率θ=0，遺忘概率μ2=1。
圖1展示了不同信息網絡結構下針對不同的抑制度參數γ，病毒層病毒傳播的概率β1和最終感染節點密度ρi的函數關系。參數γ說明了健康個體（易感節點）在獲得了病毒相關信息后，采取相應防護措施后獲得的免疫程度，γ=0為完全免疫，γ=1為完全不免疫。從圖1可以看出，在雙層網絡上SIS-UAU模型中，不論信息層網絡結構是ER或是BA，隨著γ的減小，病毒傳播閾值βc1逐漸增大，這是由于采取保護措施后，獲得信息的節點（A）所對應的節點的感染概率β1小于未得到信息節點（U）的感染概率。對于不同的信息傳播概率β2，在ER網絡除去完全不免疫情況（γ=1）下，當γ=0.5時，β2=0.5時的βc1=0.06，β2=1時βc1=0.07；當γ=0時，β2=0.5時的βc1=0.11，β2=1時βc1=0.16。BA網絡也會有同樣的現象。由此可以看出，相比信息傳播概率β2=0.5時，β2=1時病毒傳播概率閾值βc1較大。模擬結果與現實情況相符，即采取相關的預防措施可以有效地抑制病毒傳播。同時，對于不同程度的預防措施（不同γ值），采取強力的預防措施（小γ值）可以更加有效的抑制病毒在網絡中的傳播。研究還發現與節點完全不免疫（γ=1）相比，當節點存在免疫（γ≠1）時，隨著γ的逐漸減小，不僅增大了病毒的傳播閾值，而且可以顯著降低病毒層最終感染節點密度ρi。因此，采取有效的預防措施不僅可以抑制病毒的傳播，同時還可以控制病毒的傳播規模。對于圖1（a）和（b）更進一步分析可以得到在γ=1時，閾值βc1和最終感染節點密度基本相同，這是因為γ=1時已知信息的節點對病毒處于完全不免疫狀態，病毒傳播取決于病毒層網絡。隨著γ的減小，ER網絡BA網絡的病毒傳播閾值逐漸增大，最終感染節點密度逐漸減小。當γ=0，已知信息的節點對病毒完全免疫時，BA網絡的病毒傳播閾值（βBA1=0.92）會小于ER網絡（βER1=0.11）。這主要是因為信息傳播采用的最短路由及BA網絡特性導致的，BA網絡的無標度特性會使得網絡中存在度比較大的節點，一般稱其為hub節點。最短路由會使信息傳輸主要集中在hub節點，已知信息節點因此變少，病毒傳播閾值相對于ER網絡會更小。
接下來本文研究了病毒層對信息層的反饋，自我意識概率θ與病毒層最終感染密度的函數如圖2所示。其中病毒層動態網絡v=0.5，r=0.5，恢復概率μ1=1，信息層信息傳播概率β2=0.5，遺忘概率μ2=1。圖1（a）、（b）中γ=0.5。
圖2（a）、（b）分別展示了不同網絡結構下不同自我意識率θ情況下病毒傳播概率β1與最終感染節點比例ρi的函數關系，圖2（c）、（d）展示了不同網絡結構下θ和ρi的函數關系。由圖2（a）和（b）可以看出在ER和BA網絡兩種情況下，BA網絡病毒傳播閾值βBA1與ER網絡病毒傳播閾值βER1都約為0.06，θ不論對病毒傳播閾值或是最終感染節點密度的影響都呈現出相似的趨勢和數據。從圖2（c）和（d）可以看出，不論信息層網絡結構是ER或是BA，當系統處于完全抑制狀態時（γ=0），此時病毒層最終感染節點密度ρi會隨著自我意識率的增加而減小，這說明在完全抑制狀態下，隨著自我意識率θ的增大，會有效抑制病毒的感染規模。而當系統處于非完全抑制狀態（γ≠0）時，自我意識率θ對病毒傳播的影響相對較小。這也與文獻［20］的研究結果相似。
為了更進一步分析信息層網絡對于病毒傳播的影響，本文研究了信息層為BA網絡下不同信息傳播路由的影響，其中E代表有效路由，S代表最短路由，病毒層動態網絡v=0.5，r=0.5，恢復概率μ1=1，信息層信息自我意識概率θ=1，遺忘概率μ2=1。
圖3研究了信息層不同路由策略對病毒傳播的影響，首先可以看出不論γ的變化，最短路由下病毒傳播概率閾值β1都大于有效路由閾值，這主要是因為相較于最短路由，在有效路由的條件下，數據包的傳輸會有意繞開BA網絡中存在的hub節點，從而hub節點獲得信息的幾率降低，信息擴散會比最短路由慢，進而導致有效路由下獲得信息的節點密度要小于最短路由條件下的密度，所以有效路由的病毒傳播閾值會小于最短路由。進一步可以看出，當β1gt;0.1時，兩種不同路由會有相近的最終感染節點密度ρi，說明信息層不同路由會對病毒傳播閾值有明顯影響，但對于病毒感染規模影響較小。當γ=0時，最短路由下病毒傳播閾值β1約為0.09，有效路由閾值β1約為0.08，當γ=1時，βs1=0.05，βE1=0.04。即隨著γ的增加，兩種路由的閾值都會逐漸減小，這與圖1所得的結果相符。
1.2 病毒層
除了信息層對病毒傳播的影響之外，病毒層中動態網絡的參數也會對病毒傳播產生影響。接下來本文研究了病毒層動態網絡中相關參數對病毒傳播的影響。
為了方便研究，本節固定信息層靜態網絡的參數β2=0.5，γ=0.5。
從圖4可以看出，隨著動態網絡v的增加，病毒傳播閾值βc1會逐漸減小，是因為隨著動態網絡移動速度v的增加，節點會有更多的機會與其他節點接觸，意味著感染節點會更容易與易感節點連接，病毒會更容易從感染節點擴散向其他節點，造成系統病毒傳播閾值降低。同時β1會隨著動態網絡r的增加而增加。在之前的楊涵新［22］的相關研究中已經表明在動態網絡上交通驅動的病毒傳播閾值與旅行時間成反比，隨著r的增加，動態網絡節點會有更多的鄰居，數據包會更容易傳輸到目的地，那么數據包在網絡中的旅行時間會更少，途徑的節點數會更少，所以感染節點會有更小的概率去感染易感節點，系統病毒傳播閾值增加。
3 結論與討論
本文在動態網絡與靜態網絡耦合的雙層網絡上，探討了交通驅動的病毒傳播SIS模型和交通驅動的信息傳播UAU模型之間的相互作用，提出了動態網絡與靜態網絡結合的交通驅動病毒信息交互（SIS-UAU）模型。假設病毒和信息分別在動態網絡和靜態網絡上傳播，交通過程完全獨立，傳播過程是相互影響的。在傳播過程中，兩層的影響通過節點的病毒抑制度γ和感染節點自我意識概率θ來控制。研究發現，節點的病毒抑制度γ和信息層的傳播概率β2對控制病毒層的傳播閾值以及病毒感染規模都非常有效，但節點的自我意識對傳播閾值的影響較小，當γ=0時，θ對控制最終態感染節點數量有顯著作用。調整信息層的路由策略，發現信息層不同的路由策略同樣可以對傳播閾值有著顯著的影響。還通過調整病毒層動態網絡節點移動速度v和接觸半徑r，探討了疫情傳播與交通動態之間的相互作用。
本文揭示了動態網絡與靜態網絡結合的雙層網絡上病毒傳播過程和交通過程相互作用的動態規律，希望對抑制交通網絡上病毒傳播機制的研究有所幫助。
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