基于目標分類的數學復習教學的思考與實踐

- 編者按 -

為助力更多教師依托《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》（簡稱“新課標”）開展高質量課堂教學，本欄目邀請教研專家和一線教師圍繞“新課標如何在實踐中落地”分享他們的特色探索。本期邀請北京教育科學研究院基礎教育教學研究中心數學教研室教研員康杰、侯海全、黃煒和北京市第一七一中學教師劉潔、張舒、梁軍玲，分享他們在落實《義務教育數學課程標準（2022年版）》的相關探索。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：通過義務教育階段的數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。學生能獲得適應未來生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。[1]掌握必要的基礎知識是獲得基本技能的前提，在基礎知識的學習過程中可以不斷積累活動經驗、體會基本思想，因此，基礎知識尤為重要。中學數學學習內容龐大繁雜，概念、原理等知識多種多樣，而中高考數學試卷對基礎知識的覆蓋率常在六成以上，在復習教學中調動學生的積極性，夯實學生的基礎知識顯得尤為重要？

1.數學復習教學中出現的問題

為了深入了解學生的數學復習情況，我們對北京市1288名初高中學生進行了問卷調查，并對部分學生進行了訪談，通過調查數據和訪談結果分析發現，學生的數學復習存在以下三個突出問題。

一是學生缺乏復習的興趣。調查結果顯示，初中和高中都有超過三成的學生在上數學復習課時，感覺到無聊、缺乏興趣。究其原因：感覺數學題目太難，不會做也聽不懂的學生占四成左右；自身缺乏明確的復習目標的學生占三成左右；對知識的重復講解沒有興趣的學生接近二成，還有一成左右的學生受困于題海戰術。為扭轉這一局面，需要幫助每一名學生明確自己復習的目標，而不是僅僅由教師為全體學生設定統一的目標，這就需要教師采用新穎的教學方法、教學策略等來激發學生的興趣，改變教師滿堂講解、學生機械模仿的教學模式，減少機械、重復、枯燥的海量解題訓練。

二是學生缺乏復習的計劃性。問卷調查結果顯示，在數學復習過程中，有近三成的初高中學生表示很少或從不制訂自己的復習計劃，有近五成學生表示只是有時會制訂，僅有二成的學生會經常制訂復習計劃。由此可見，學生在復習過程中無所適從，對教師依賴性較強。

三是學生缺乏復習的針對性。問卷調查結果顯示，僅有近三成的初高中學生非常清楚自己在復習中的薄弱點，六成左右的學生表示只知道自己的部分情況，一成左右的學生表示不太清楚或完全不清楚自己的薄弱環節。這些學生很難實現針對自己的薄弱點采取相應的補救措施。

2.數學復習教學的研究概述

我們以“數學復習”為關鍵詞在CNKI中文數據庫進行文獻搜索，共檢索到14211篇文獻。從2010年開始，每年的文獻數都超過了500篇，其中在2019年達到了1160篇的高點，這表明關于數學復習的教學研究始終是熱點。學者和一線教師對于數學復習的研究投入了極大熱情，尤其是對數學復習的價值、類型、策略等進行了深入的研究。

對于數學復習的價值，各類研究均明確地指出了數學復習的重要性。比如，薩如拉對初中數學復習課的育人價值進行了研究，指出初中數學復習課相比于其他數學教學有其獨特的價值，體現在對學生整體結構認知能力、綜合思維能力以及自主學習能力的培養與提升方面[2]。對于數學復習的類型，大部分研究將數學復習總結為單元復習、專題復習和習題復習三類，并明確了各類型數學復習的目標、內容、結構、設計、評價等方面。多數學者和教師都意識到研究數學復習教學的目的就是為了提升復習的質量，所以多數研究都會提出改進復習課的教學策略。比如，黃悅軍、劉明軍、田明剛立足數學課程標準，提出了初中數學專題復習的教學策略來發展學生的數學核心素養[3]。陳龍提出了優化數學復習教學的具體方法：制訂詳細的復習計劃；明晰角色，提升實效；講練結合，張弛有度；重視錯題，查漏補缺；培優輔弱，靶向培養[4]。鐘志華認為在中考復習中教師應當按照基本、變式、拓展三個階段設置題組，使學生能夠識別和掌握數學模型，吃透解題方法和技巧[5]。

我們以“數學復習”和“學習目標”為關鍵詞在CNKI中文數據庫進行文獻搜索，只檢索到26篇文獻，僅占總檢索量的0.18%，這非常清晰地表明，廣大學者和教師在進行數學復習教學的研究和實踐時，較少關注到學生學習目標的重要性。謝華東、孫孟清、顧為秀等都意識到了學生的差異性對復習的影響，由此提出在復習教學中要為學生制定分層目標。謝華東是結合教師的經驗和對學生成績的判斷，將學生進行分層，再由教師為各層學生制定各自的學習目標[6]；孫孟清提出根據不同學情制定對應的學習目標，并以此給學生制訂對應的復習計劃[7]。顯然，上述分層目標都是以教師為主導，而且是針對學生群體制定的目標，難以精準到個人。顧為秀先讓學生練習幾份中考試卷或模擬試卷，然后綜合這幾份試卷的答題情況，幫助班上每一名學生進行分析，幫助他們設定自己的奮斗目標[8]。這樣的目標雖然結合每一名學生的情況制定，但由于中考題或模擬試題往往都是綜合多個知識點考查的，難以精準地診斷出學生的問題。

以上的研究重點基本集中于對數學復習的價值、數學復習的類型、改進數學復習的策略等方面，但是我們發現對于如何幫助學生自主建立復習目標，從而制定個性化的復習計劃的研究還相對缺乏，而教育目標分類學理論恰好為我們提供了解決此類問題的新視野。

3.基于目標分類的數學復習教學探析

數學復習教學的首要目標就是為了提升學生綜合運用知識解決問題的能力，那么，怎么才能順利地解決一個數學問題呢？首先，大腦需要提取解決這個問題所需要的數學基本知識，也就是相關的概念、法則、公式等。其次，大腦將這些概念、法則、公式有機地聯系在一起，靈活地解決問題。這就不可避免地使用了或者說觸及到了另一類知識及能力，我們稱之為思路、程序或方法。例如，解決一個分式加減運算的題目時，其實，從教育目標分類的角度來把握以上解題過程更易于理解，那么，教師如何基于此開展數學復習教學呢？

第一，引導學生明晰教育目標分類學與數學公理化思想的一致性。

教育目標分類學將知識分為四類：事實類知識、概念類知識、程序性知識、元認知知識[9]。如果我們從教育目標分類的角度分析以上的解題過程，那么被大腦提取的概念、法則和公式等都屬于事實類知識和概念類知識，而相應的解題思路或者解題方法，則大多屬于程序類知識。顯然，學生能正確提取事實類和概念類知識是順利求解數學問題的基礎，因此這就要求我們在復習教學中必須幫助學生首先要完成對這類基礎知識的復習。通過對一線課堂的觀察我們發現，教師通常采用以下三種方式帶領學生復習基礎知識。（1）用提問帶領學生回顧知識，當學生不能順利作答時，教師給予提示。這種問答式的復習至少存在兩個問題，一是不能幫助學生將所學知識結構化，二是因為每個問題不可能讓每名學生都作答，所以對于學生個人來說，是否成功復習了所有知識是存疑的。（2）用練習引導學生回顧知識，此時又有兩種模式，一是邊做邊講，師生活動交替進行，二是先做后講。這樣的復習方式所存在的問題也很明顯，既不能使學生系統地掌握知識，也難以激發學生的興趣。（3）要求學生用畫知識結構圖的方式回顧知識，這種方式確實可以使學生的知識系統化和結構化，但是對于數學基礎較為薄弱的學生，是難以完成的。那應該怎么解決上述矛盾呢？

解決上述矛盾的關鍵是引導師生認清數學學科的本質特征——公理化。公理化就是把一個科學理論公理化，用公理方法研究它，建立一個公理系統。公理化的實現就是：（1）從它的諸多概念中挑選出一組初始概念，該理論中的其余概念，都由初始概念通過定義引入，稱為導出概念；（2）從它的一系列命題中挑選出一組公理，而其余的命題，都應用邏輯規則從公理推演出來，稱為定理。實際上，數學的概念、定理構成了數學學科的基礎。通過引導學生認識到數學公理化的進程也有助于學生調整和改進認知策略。

第二，利用教育測量工具促進學生進行數學學習診斷。

從教育測量的角度為學生提供進行自我診斷的工具，亦即命制進行基礎知識檢測的測試試卷，其中的每一道題目只考察一個數學知識要素，并且認知加工方式比較基礎，僅涉及記憶、理解和簡單應用這三類。如果學生做錯某道題目，我們就可以斷言是某個單一知識要素的學習出現了問題，我們稱這樣的復習課為“明細課”。這類課的目的就是幫助每一名學生清晰判斷某一模塊中所有應該掌握的知識要素情況，這一模塊所包含的具體知識要素有哪些，對這些知識要素的簡單認知加工方式是什么等細節；同時，讓學生經歷自我診斷的過程，充分了解自身知識掌握的優勢與不足，進而明確個人的學習目標，合理制定個性化的復習方案。為了達成“明細課”的目標，教師在課前需要為學生準備一套檢測題目。命制這套題時需要注意兩個要點，一是要根據課程標準中的相關要求，分解出詳細的知識要素表，并形成知識細目表，二是依據知識細目表設計僅僅考察一個知識要素的單一考點的題目。這樣的測試卷既覆蓋了全部知識要素，同時又具有診斷性功能。除了測試題目的命制，教師還應該為學生準備“知識內容分布圖（對某一模塊進行二次分類）”“知識類型分布圖（標注其類別屬性）”和“個人發展明細表”等學習資源。

“明細課”的第一個教學目標是幫助每一名學生知曉課程標準中所規定的基本要求，教師通過引領學生將前測題目與課程標準的要求建立對應關系，進而使學生真正了解數學課程標準對相關內容的具體要求，加深對教材編寫和考試命題原則的理解，為后續自主建立復習目標和制定個性化的復習方案奠定基礎。

“明細課”的第二個教學目標是幫助每一名學生認清自己數學學習內容領域的強項和弱項，依據自己的答卷情況，通過勾畫“知識內容分布圖”和“知識類型分布圖”，分析自己和年級得分率的對比情況，可以知道自己哪部分學得好，哪部分有較大漏洞。設計這樣的環節，就是為了幫助每一名學生進行精準的自我診斷，增強自我認知水平。在知識分類中，還有一類重要的知識——元認知知識，有人稱之為“關于知識的知識”或者“合起來的知識”。相對于事實類、概念類和程序性三種知識類型在數學教學中比較容易產生關聯并得到教師的認同，元認知知識很少在數學學習活動中得到體現。元認知知識可以進一步分為若干個亞類，亞類之一是自我認知，主要是指對自己在學習和認知方面的強項和弱項的了解，自我認知還包括自我動機信念，如自我效能感、興趣和價值。學習理論的研究顯示，學生對自己的知識和思維多一些意識與責任將會學得更好[9]。由此，我們認為，學生明確自己數學學習領域的強項和弱項，將有助于其增強自我認知水平，從而為建立自主的復習目標和方案提供依據。

“明細課”的第三個教學目標是幫助每一名學生自主建立復習目標和個性化的復習方案，支撐這個目標的資源是“個人發展明細表”。教師引導學生結合本課之前的分析，從明確知識、培養習慣、提升能力、規劃時間等方面詳細制定屬于自己的復習方案。這樣的復習方案是有證據支撐的，而非完全感性的認識，可以使學生的復習更有針對性和個性化，更能真正激發學生的學習興趣和主動性。

“明細課”使學生真正實現了查漏補缺，高效完成了對基礎知識的復習，為后續總結方法、培養能力、提升解題水平奠定了基礎。