數學視野下的3D建模與實踐

【摘要】直觀想象能力作為人類智能構造中的一個重要組成部分，在高中數學教學中發揮著重要的作用。文章著眼于數學學科中的空間能力提升，注重STEM與數學課程的深度融合，通過將數學三視圖與3D建模課程相結合，探索如何有效提升高中學生的空間立體感，輔助高中學生學習三視圖與實物圖的互相轉換。以此為基礎開發了STEM與數學學科融合的空間能力提升案例課程——巧借3D ONE學習數學三視圖，包括案例設計、案例實施、案例分析與反思等。作為探索STEM與數學學科融合的新型教育模式，該案例課程產生了提升學生直觀想象能力的教育成果。

【關鍵詞】數學教學；3D建模；3D ONE；三視圖

【中圖分類號】G434【文獻標志碼】A【文章編號】1004—0463（2023）04—0107—06

一、引言

三維計算機圖形學的認知與發展說明了未來的計算機學科教師應該能夠開發計算機科學、物理、數學和其他學科中研究對象的三維模型和動畫，創建帶有三維插圖的版權電子教育資源，將增強現實和3D打印應用于學科教學活動[1]。隨著學科核心素養和空間能力越來越受關注，空間想象能力的提升在學科領域也日益受到重視[2]。新課標中指出數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，其中數學建模和直觀想象是重要的學科核心素養[3]。已有研究表明，在傳統的數學立體幾何教學中，通過手工繪制三視圖、實體及其截面等來培養學生的空間能力，有助于提升學生的空間能力[4]。但是在數學立體幾何教學中，由于教學條件的限制，沒有太多的實體進行三視圖、立體圖形界面等繪制的分析鍛煉，學生的學習和理解是非常困難的[5]。

隨著計算機輔助設計的發展，計算機三維軟件3D ONE所具備的特點與功能可以與高中立體幾何初步相結合，3D ONE繪制的圖形清晰、直觀、修改方便，且可以從不同視角繪制、觀察及打印3D實物圖。高中數學課標中指出立體幾何部分的教學應關注學生空間觀念的逐步形成，遵循從整體到部分、從具體到抽象的學習原則，在教學過程中可以借助3D技術呈現與探究空間幾何體的內部特征[6]。以3D建模為任務驅動學生學習，發展學生的數學核心素養，幫助學生認識空間結合體的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，培養其創造力[2]。

“簡單組合體的三視圖”和“由三視圖還原成實物圖”是高中立體幾何教學中學生初步掌握的一個基礎且重要的知識與技能，每年高考都有一道關于三視圖的選擇題。同時，對于高中學生而言，直觀想象能力在學習理科課程方面有重要的價值，培養與訓練學生的空間立體感是學習數學立體幾何的關鍵，但是授課過程中教師很難直觀判斷學生的空間構想是否正確[7]。因此，筆者借助3D建模軟件設計教學活動，并將其付諸實踐，輔助學生分析三視圖，將學生的空間構想可視化；輔助教師考核三視圖，從而提高教學效果。以此探究3D建模輔助高中學生學習三視圖與實物圖互相轉換的效果，在立體幾何教學中提升學生空間想象能力的有效性。

本研究中借助的3D建模軟件是3D ONE教育版，具備簡單易用的程序環境，不僅支持二維平面草圖繪制和3D實體設計，而且擁有拉伸、分割、下載3D打印模型等多種功能[8]。

二、文獻綜述

（一）3D建模的教育研究

國外在探索3D建模與打印在教育教學中的應用起步較早。2012年，英國教育部及有關部門開展了將3D打印技術應用到學科教學的研究項目，且該項目獲得了實際的成果，推動了3D打印技術在學科教學領域的應用。2013年，美國新媒體聯盟發布的《地平線報告》提出3D打印技術在教育領域的應用會在未來四至五年內得到普及，并詳細介紹了3D建模與打印技術。

隨著打印技術的發展，我國大部分中小學都開設了3D打印課程，成為培養學生創新思維和創新能力的重要載體[9]。2015年，我國廣州中望龍騰軟件股份有限公司成立了青少年三維創意社區（簡稱i3DOne社區），該社區集課程、培訓、認證、賽事活動、教學管理為一體，全方位服務科創教育師生，助力我國STEM教育事業的發展。同時，為響應落實國務院《新一代人工智能發展規劃》及《全民科學素質行動規劃綱要（2021—2035年）》，助力“雙減政策”落地，我國的一些機構面向學生舉行了一些3D建模與打印比賽，比如中望軟件開展的第二屆“中望杯”全國青少年科創教育成果展示大賽，以《逐夢航天，探索未來》為主題，面向小初高學生征集有想象力且有創意的3D設計作品，分小學、初中、高中學段評獎。

（二）數學教學中的3D建模應用研究

在美國，數學建模是當前K-12數學、科學和技術以及工程（Technology Engineering，TE）教育標準的關鍵組成部分，然而，數學建模在綜合STEM課程中經常被忽視或低估，這可能歸因于教師在綜合STEM課程中整合與數學建模相關的內容和教學知識有限。Asempapa R S等人研究了數學、科學和TE教師的數學建模知識和觀點的變化，并將3D打印解決方案應用于綜合STEM課程，結果顯示這項研究對教師、學校、研究人員和專業發展提供者都有影響。

在中國知網上檢索與“數學教學”和“3D建模”相關的學術文獻，結果發現將3D建模應用到數學教學中的文獻僅有19篇，尚處于起步階段。華東師范大學孫江山的博士畢業論文《基于3D CAD的初中生空間能力提升研究》著眼于數學學科教育中的空間能力提升，將3D CAD應用到常規課程教學中，研究表明該方案能夠顯著提升初中生的三維空間想象力[10]。溫州中學謝作如等人在文章《讓3D建模和數學“強關聯”起來——談“數學建模和3D打印”課程的設計》中提出，利用參數化建模的方式將3D建模和數學“強關聯”起來，不僅拓展了課程的深度和廣度，還培養了學生的動手操作和創新意識及創新能力[11]。

基于以上經驗，筆者以《巧借3D ONE學習數學三視圖》案例課程為例，將數學教學與新興科技相結合，探索如何有效提升高中學生的空間立體感，輔助高中學生學習三視圖與實物圖的互相轉換，培養學生的創新思維能力，提高學生的空間想象和動手能力。

三、案例設計

（一）研究環境與研究對象

研究環境為計算機教室，教室由安裝了3D ONE軟件的教師機和學生機構成。研究對象選取的是A省B市附屬中學高一年級《3D創意設計》校本課程的45名學生。

（二）研究計劃

在課程開始之前，筆者設計了兩套難易程度相當的空間想象能力測試試卷，內容圍繞“簡單組合體的三視圖”和“由三視圖還原成實物圖”。采用智慧課堂在線作業形式進行課前、課后測試。一套試卷在學習“巧借3D ONE學習數學三視圖”之前測試學生，用于了解該班學生空間想象能力的現狀。另一套試卷在學習“巧借3D ONE學習數學三視圖”之后測試學生，用于探究3D建模輔助高中學生學習三視圖與實物圖的互相轉換的效果，驗證該課程在教學中提升學生直觀想象能力的有效性。

（三）研究思路

本研究以培養學生空間想象能力為目的。首先，通過文獻閱讀與調查研究，從當前存在的問題入手，說明研究的可行性與必要性。其次，結合一定的設計理論，選取較為典型的高中數學三視圖內容設計案例，開發了基于3D ONE的STEM與數學學科融合的空間能力提升案例課程《巧借3D ONE學習數學三視圖》，在3D建模的過程中訓練與提升學生的空間想象能力。在課程結束后根據課堂效果、作品展示、師生訪談及空間能力測試試卷對學生進行評價，結合實施效果判斷學生空間想象能力的發展情況，以說明研究的有效性。研究思路如圖1所示。

四、案例實施

【課程名稱】巧借3D ONE學習數學三視圖

【授課對象】高一年級《3D創意設計》校本課程的45名學生

【學情分析】三視圖是高中立體幾何教學中的主要內容之一，學好三視圖為學生后期根據三視圖計算立體幾何圖形的面積與體積奠定基礎。在初中階段，學生已經學習了從簡單幾何體到三視圖的單向轉化，但是對于三視圖的形成原理、投影關系以及由三視圖還原成實物圖還不清楚。本節課借助3D建模軟件，學生通過觀察和親手構造立體模型，在構建模型的過程中鍛煉學生的空間立體感，提升學生的空間想象能力。

【教學對象分析】高一年級《3D創意設計》校本課程班的學生具有一定的計算機操作基礎，且已經學習過3D ONE軟件的基本操作。

【教學目標】

信息意識：利用3D ONE軟件搭建與呈現簡單組合體的3D模型。

計算思維：綜合運用3D建模思想分析三視圖并進行3D轉換。

數字化學習與創新：利用3D ONE軟件的視圖導航、搭建和拉伸、切割命令實現三視圖與3D實物圖的相互轉換；學會制作簡單組合體的3D模型，學會用恰當的技術語言與他人交流技術思想和分享成果。

信息社會責任：培養和鍛煉學生在學習過程中善于利用工具和軟件提高自身的分析能力；培養學生的數學建模和直觀想象素養，體會技術創新的愉悅感。

【教學工具】PPT、鉛筆、直尺、橡皮、圓規、3D ONE軟件

【教學過程】

（一）簡單組合體的三視圖分析

“三視圖→3D實體”的思維過程是需要強化和練習的，我們可以嘗試借助3D ONE軟件呈現3D組合實體，幫助學生認識簡單組合體的結構特征，進一步掌握平面上表示空間圖形的方法和技能，進行簡單組合體的三視圖分析，培養其創造力和空間想象能力。

教師指導學生借助3D ONE平臺，利用平臺“視圖導航”功能先觀察簡單幾何體（長方體、球、圓柱等）的不同視圖，再觀察由簡單幾何體組成的組合體的不同視圖。教師演示3D ONE中點投影、線投影、面投影命令，師生共同探究簡單組合體三視圖的投影規律，繪制簡單組合體的三視圖。探究過程如圖2所示。

教師提問：我們在分析簡單組合體三視圖的過程中，采用了什么樣的方式？

學生回答：將簡單組合體分割成多個簡單幾何體，觀察組合體的每一部分，化繁為簡，一步一步繪制簡單組合體的三視圖。

通過課堂師生探究，由易到難展示3D組合實體，總結出繪制簡單組合體三視圖的簡便方法——“化繁為簡”。即將組合體分割為多個簡單幾何體（長方體、球、圓柱等），將簡單幾何體相互增加、減少的方式，根據其方位關系逐步繪制三視圖，在構成組合體的過程中完成三視圖的繪制。

【學生活動】觀察3D組合實體及構成3D組合實體的各個簡單幾何體，逐步繪制三視圖，體驗三視圖投影關系在繪制三視圖中的應用，發現三視圖繪制規律；回顧簡單組合體三視圖繪制思路分析，轉換思路到三視圖還原3D實物圖。

【設計意圖】引導學生學會“化繁為簡”分析簡單組合體的三視圖，并將其遷移到三視圖還原3D實物圖的分析中。為下節課《三視圖還原3D實物圖》的學習作鋪墊。

（二）三視圖還原3D實物圖

三視圖的繪制可以采用“化繁為簡”的方式，三視圖還原3D實物圖是否可以采取類似的思路展開分析呢？一起來探究一下吧（如圖3所示）。

通過課堂師生探究，利用“化繁為簡”的方法，拆分三視圖，形成清晰簡單的圖形。在3D建模的過程中，借助3D ONE平臺，利用“增加材料/減少材料”的方法，使用平臺中的“基本實體”“草圖繪制”及“拉伸”命令，根據三視圖方位關系逐步繪制3D實物圖。在3D建模的過程中進一步讓學生明確三種視圖之間存在的密切關系，即“長對正（正視圖與俯視圖），高平齊（正視圖與側視圖），寬相等（側視圖與俯視圖）”。

【學生活動】思考并繪制三視圖還原3D實物圖的形狀，嘗試采用“化繁為簡，增加材料”“化繁為簡、減少材料”以及將其綜合應用的方法，還原3D實物圖，并利用3D ONE軟件建立模型進行驗證。完成3D模型后展示與交流建模思路。

【設計思路】鍛煉學生的空間想象力，并考查學生綜合運用3D ONE軟件的能力及動手實踐能力，在3D建模的過程中進一步讓學生明確三種視圖之間存在的密切關系“長對正（正視圖與俯視圖），高平齊（正視圖與側視圖），寬相等（側視圖與俯視圖）”，激發學生的學習興趣。為學生下節課“應用三視圖建?！钡膶W習作鋪墊。

（三）應用三視圖建模

通過上面的學習，同學們了解并實踐了組合體三視圖的3D轉換的基本方法，了解到三視圖的3D轉換不僅僅局限在增、減材兩種思路，我們可以根據實際情況綜合應用，在三視圖建模中同時利用增、減的思想。

教師提問：三視圖在設計過程中如何應用？

學生回答：可以根據圖樣來制作模型或原型。

任務驅動：根據Inventor零件圖樣繪制零件實物圖。

學生分組進行合作探究，體驗三視圖的繪制、還原以及應用。并在之后的設計實踐中，學生嘗試運用三視圖來表達自己的設計構思，與他人交流設計方案，在班級展示與講解作品及其設計思路，通過全體師生的評價，來進一步完善作品。

【學生活動】分組討論制作，根據三視圖完成3D模型。小組成果展示與評價。

【設計意圖】通過小組考核讓學生構想出3D模型在電腦中呈現出來，檢查學生的學習效果?？疾閷W生綜合運用及動手實踐能力，激發學生的學習興趣，加深理解，鞏固學習成果。

五、案例分析與反思

（一）案例分析

《巧借3D ONE學習數學三視圖》案例課程共計6課時，歷時5周，案例參加學生共計45人。首先，借助3D ONE平臺，可以讓學生親身體驗從“鑒賞、學習、繪制、還原、應用”這五個方面學習二維圖形和三維實體相互轉化的過程，使得學生頭腦中的想象、創意變為現實。學生在此過程中不僅學習了數學三視圖知識，也提高了動手操作及創新能力。其次，案例前后測試結果數據顯示，學生測試平均分從76分提高到了92分，提升了21%，有效說明對于學生三維空間想象能力的培養，同時案例課程教學也顯現出了積極有效的教學效果。

案例課程授課過程中，首先，學生學習效果明顯，教師設置的任務由簡到難，學生能在輕松的環境下完成；而且學生已經在校本課程前期學習過3D ONE軟件基礎操作，對軟件環境比較熟悉，對學習過程起了很大的幫助。其次，通過課堂觀察、小組合作、師生訪談及學生作品展示表明，教師通過使用空間描述不斷問答，結合繪制策略和實物原型，利用3D ONE平臺實時修改和優化，引導學生在頭腦中不斷地將進行二維三視圖到三維實物圖之間的轉換，再利用3D ONE平臺進行驗證，讓學生注意并理解更多的三維實物圖的幾何細節特征，促進了學生構建更加明晰的空間概念，有效地在學科融合中提升學生的空間能力。

（二）案例反思

《巧借3D ONE學習數學三視圖》案例課程以學生為主體，借助3D ONE學習三視圖激發了學生的學習興趣。整個課堂從“鑒賞、學習、繪制、還原、應用”這五個方面學習了二維圖形和三維實體間的相互轉化。通過合作探究，學生體驗了三視圖的繪制、還原以及應用，完成了案例課程教學任務；并為今后在設計實踐中，運用三視圖來表達自己的設計構思，與他人交流設計方案，優化設計方案、還原3D實物奠定了基礎。

3D ONE平臺為教師教學和學生學習三視圖都提供了便利。首先，教師可以根據學生情況和教學進度，有針對性地設計合適的3D模型，進行3D展示或3D打印為三視圖繪制提供素材。其次，在三視圖教學過程中，存在三視圖與3D實物圖之間可逆的兩個過程。鍛煉學生分析三視圖是教學上的一個重點，3D ONE平臺能夠將學生作品可視化，有助于教師驗證學生繪制出的3D模型精準程度，也有助于教師判定學生的掌握程度。

但也有不足之處，學生樣本不是隨機的，學生的空間能力變化也可能是其他不可測的、隨時間改變的因素引起的，且常規的數學課程中包含了一些有助于培養學生空間感的教學內容和活動，這可能導致3D ONE案例課程不能夠完全展現出提高學生空間能力的效果。但是，課堂觀察及訪談表明，3D ONE課程教學對于高中學生空間想象能力的提升是有益的，學生在案例課程中，要在腦海中實踐二維圖形到三維實體的轉化，且有3D ONE平臺的驗證支持，使得學生能夠直觀形象地理解數學概念，構建明晰的空間概念，有利于學生空間能力的發展。

六、結論與建議

課堂教學是教育數字化轉型的核心，本研究注重STEM與數學課程的深度融合，讓3D建模進入了高中課堂。筆者借助3D ONE搭建一個數學與三維空間圖形思想溝通的橋梁，將數學三視圖與3D建模課程相結合，探索如何有效提升高中學生的空間立體感，輔助高中學生學習三視圖與實物圖的互相轉換。因此，筆者認為借助3D ONE輔助三視圖的教學是教授三視圖的首選方法，希望對中小學教師開發STEM與數學學科融合的課程有一定的借鑒價值。

參考文獻

[1]RYLOVA O.Features of training 3d computer modeling and visualization of future teachers of informatics[J].System analysis and applied information science，2019（04）.

[2]孫江山.基于3D CAD的中學生空間能力提升：模型構建與課堂實踐[J].中國電化教育，2022（09）：114-121.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[4]Emiko TSUTSUMI，Hellmuth STACHEL，Gunter WEISS，Hans-Peter SCHR CKER.EVALUATION OF STUDENTS’ SPATIAL ABILITIES IN AUSTRIA AND GERMANY[C]//.Proceedings of the 11～（th） International Conference on Geometry and Graph？ ics，2004：219-224.

[5]潘海軍.淺談高中數學立體幾何教學[C].教育理論與實踐科研學術研究論壇論文集（二），2022.

[6]李海龍.數學學科拓展實踐課程研究——利用3D One構建學生立體空間思維能力[J].數學學習與研究，2021（22）：24-25.

[7]張麗娟.3D建模在高中立體幾何教學中提升學生空間想象能力的應用研究[D].蘭州：西北師范大學，2021.

[8]李柯影，鄭燕林.3D打印技術在中小學教學中的應用——以英國中小學課堂引進3D打印技術項目為例[J].現代教育技術，2015，25（04）：108-114.

[9]劉彩嫦.STEAM理念下初中3D打印課程的實踐與探索[J].中學課程輔導，2022（30）：126-128.

[10]孫江山.基于3D CAD的初中生空間能力提升研究[D].上海：華東師范大學，2021.

[11]謝作如，周源遠.讓3D建模和數學“強關聯”起來——談“數學建模和3D打印”課程的設計[J].中小學數字化教學，2017（03）：43-46.

編輯：張昀