落實單元教學理念，挖掘核心素養內涵

摘要：《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：“數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.”高中數學教材的變革中，核心素養的導向更加明確，突出單元教學理念，幫助學生加深對知識整體系統的理解.本文以“立體幾何初步”單元教學為例，探究單元知識的“內在關聯”.圍繞“等體積法”在本單元求體積、空間距離及空間角方面的活躍運用展開“一題多問”“一題多解”，總結策略的同時深化對該單元知識本質“垂直平行體系”的理解，形成貫通整個單元的重要思想方法，指向高中數學核心素養.

關鍵詞：等體積法；單元教學；核心素養

核心素養導向的高中數學教材變革，充分體現了整體性、過程性、聯系性、選擇性、融合性、實踐性的特點.教師實施教學的關鍵在于如何從單元知識的本質入手，挖掘其內在關聯，形成單元知識體系，掌握解決問題的策略規律、思想方法.

立體幾何初步這個單元教學從整體入手，先了解多面體、旋轉體的概念，感知其結構特征，理解并掌握柱、錐、臺、球的表面積及體積計算；接著回到構成幾何體的點、線、面的位置關系上，并構建起平行、垂直體系，學會證明；最后基于平行、垂直體系，通過輔助線添加及相關證明，進一步掌握空間距離、空間角的求法.整個單元教學注重培養學生幾何直觀和空間想象能力.其中，求解體積、空間距離及空間角等問題是平行、垂直體系的重要應用，也是歷年高考的考查重點，且空間垂線的添加和證明是一個難點，若采用常規方法解決，往往不易.“等體積法”正是從整體入手，指向高中數學核心素養——直觀想象、邏輯推理、數學運算的重要內容.通常選取一個合適的面作為底面，利用“等體積法”求體積、求距離，還可以通過“設而不證”直接求得距離，實現空間角的求解，該方法往往可以化難為易，事半功倍，也充分體現出轉化與化歸的數學思想方法.

正因為“等體積法”在立體幾何初步的單元教學中的運用始終很活躍，且是基于本單元知識的本質“垂直平行體系”形成的重要解題方法，因此，本文專門針對“等體積法”的解題策略——三種“轉移”：頂點轉移、平行轉移及比例轉移選取代表性圖形及例題進行探究，歸納策略、總結規律、深化理解、靈活應用.

1整體感知，構建單元教學觀

1.1例題呈現

例1平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠BAF=90°，BC∥AD，BE∥AF，且BC=12AD，BE=12AF.設AB=BE=BC=a.

（1） 求三棱錐B-ADE的體積；

（2） 求點B到平面ADE的距離；

（3） 求BE與平面ADE所成角的大小；

（4） 求二面角A-ED-B的正弦值.

1.2解法探究

分析取AE中點G，連接BG，得BG⊥AE；再利用AD⊥平面ABEF得AD⊥BG，從而得到BG⊥平面ADE，即BG是三棱錐B-ADE的高，從而解決問題（1）（2）；再由∠BEG是BE與平面ADE所成角，結合平面幾何知識解決（3）；最后利用平面ADE的垂線BG，并在平面BDE或平面ADE上作棱ED的“垂線”，利用“三垂線”構造出二面角A-ED-B的平面角，結合平面幾何知識解決（4）.

感悟這種解法的突破口在于三棱錐B-ADE高的求解，重點在于作出高并證明，證明過程需多次基于“垂直體系”展開，屬于間接證明，不易想到.特別是當遇到三棱錐的高“不易作，不易證，不易求”時，可以嘗試換一種思路.

分析從已知或易證的垂直關系入手，利用“等體積法”，轉換思路，從明顯的垂直關系入手，變換三棱錐的上頂點和底面，更易求得體積.本例問題（1）即可從易證BE⊥平面ABD入手，通過VB-ADE=VE-ABD=13S△ABD·BE求得三棱錐體積.問題（2）可設點B到平面ADE的距離為h，利用三棱錐VB-ADE=13S△ADE·h及直角三角形ADE的面積求得距離.問題（3）可繼續利用距離這個結論，求得BE與平面ADE所成角θ的正弦值sinθ=hBE，從而得到θ.問題（4）中二面角A-ED-B的平面角不易作，可繼續利用距離這個結論，過點B作平面AED的垂線.設垂足為G，則BG=h，在△BDE中，作BH⊥DE于H，連接GH，得到∠BHG是二面角A-ED-B的平面角，且sin∠BHG=BGBH.

感悟利用“等體積法”轉變思路，快速求體積、距離，再利用距離作為垂線段長，繼續求線面角、面面角，更易實現問題的求解，充分體現單元知識教學的關聯性，讓學生充分感受到“等體積法”相比直接求解少了尋找及證明平面垂線這個最困難和繁瑣的環節，優勢明顯.“設而不證”的方法讓整個解題過程更加簡潔，“轉化與化歸”的思想讓解題更加靈活高效.可見“等體積法”是本單元教學的重要環節，也是培養高中數學核心素養的重要內容.

本例通過一題多問，環環相扣，將立體幾何初步單元學習中基于平行、垂直體系的關于三棱錐體積、空間距離、空間角的求法進行總結.兩種思路的切換與比較，易體會到“等體積法”的解題優勢.

2探究發現，指向核心素養

在發現“等體積法”的優勢后，筆者繼續通過三個例題探索“等體積法”的三種常用“轉移”——頂點轉移、平行轉移、比例轉移.

2.1例題呈現圖2

例2三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別是AB，AC的中點.求三棱錐B-PEC的體積.

2.2解法探究

分析由于不共面的四個點可以確定一個三棱錐，無論哪個頂點是上頂點，哪個頂點是下頂點，得到的體積是一樣的.

若以B為上頂點，向底面PEC作垂線，顯然不易.由于已知平面PAB⊥平面ABC且△PAB是等邊三角形，易找到交線AB邊上的高PD，易得點P到底面ABC的距離，通過VB-PEC=VP-BCE求得體積.

感悟像這樣，通過尋找一個高易作或易求，且底面積易算的方式利用“等體積法”求出體積，將其歸納為“頂點轉移”.

2.3例題呈現

例3在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1C1C⊥底面ABC，所有棱長都為2，且A1C=2，O為AC的中點.求三棱錐C1-ABC的體積.

2.4解法探究

分析由于直線與平面平行時，直線上的任意一點到平面的距離均相等；平面與平面平行時，平面上任意一點到平面的距離也相等.因此若要求某三棱錐的上頂點到底面的距離時，可以轉化成與上頂點共線或共面，且與底面平行的直線或平面上的點到底面的距離.本例中，由于A1C1∥平面ABC，利用垂直關系，由VC1-ABC=VA1-ABC求得三棱錐的體積.

感悟像這樣，通過平行關系，轉移頂點或底面，從而找到更易求得體積的方式，將其歸納為“平行轉移”.

2.5例題呈現

例4四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，E，F分別為AD，PC的中點，求三棱錐F-PBE的體積.

2.6解法探究

分析觀察本例所求的三棱錐四個頂點所在位置，并結合已知條件的垂直關系，發現任何三個頂點都不在同一個易作垂線的平面上.因此首先要解決的是能否轉移頂點，以達到易作、易證、易求高的效果.本例中利用PD⊥平面ABCD這個垂直關系，設法將三個頂點轉移到底面上.

思路1根據上述“平行轉移”法，通過平行關系，從易求體積的角度嘗試轉移頂點：

取BC的中點G，得到FG∥平面PBE，從而有VF-PBE=VG-PBE，再結合“頂點轉移”法，有VG-PBE=VP-BEG=13S△BEG·PD，求得三棱錐F-PBE的體積.

思路2探究將頂點F轉移到底面ABCD上的其它方式，易發現P，F，C三點共線：由于F是PC的中點，那么F到平面PBE的距離等于C到平面PBE距離的一半，因此可以將高按1∶2縮放，從而轉移頂點位置，即VF-PBE=12VC-PBE=12VP-BCE，從而求得三棱錐體積.

感悟像這樣，通過一定比例縮放三棱錐的高，從而實現體積的求解，將其歸納為高的“比例轉移”.

2.7例題呈現

例5在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF=DE，M是棱AE的中點，AB=1，BF=2.求三棱錐A-CEF的體積.

2.8解法探究

思路1從已知條件看，明顯的線面垂直為底面的垂線以及易證的AC⊥平面BDEF.因此考慮可否將E或F轉移到底面ABCD上，或是將A或C轉移到BDEF上.由于N是AC的中點，A到平面CEF的距離是N到平面CEF的距離的兩倍，而N，E，F共面于平面BDEF，可利用“比例轉移”完成，即VA-CEF=2VN-CEF=2VC-NEF，從而求得三棱錐體積.

思路2由于EN將△ACE分成面積相等的兩部分，因此可先“頂點轉移”將F作為上頂點，再將底面ACE按2∶1縮放為底面NCE，從而實現將四棱錐的其中三個頂點轉移到平面BDEF上，即VA-CEF=VF-ACE=2VF-NCE=2VC-NEF.

感悟像這樣，通過底面積按比例縮放找到易求體積的方式，將其歸納為底面積的“比例轉移”.

3啟發思考，深化認知體系

通過思維導圖的形式對策略進行總結以進一步加深學生對該單元知識的本質理解，具體如圖所示.圖6

4整體感悟，啟迪課堂教學

本文源于新版教材所突出的單元教學理念，探索單元知識的內在關聯.所探究的“等體積法”的幾種“轉移”策略，其本質仍是對本單元核心內容平行、垂直體系的深刻理解和靈活運用.從是否存在垂直、平行體系關系出發，進行基本圖形分析、線面關系分析，找出圖形中所包含的平行、垂直關系.本文的探究形式可作為本單元復習時的專題來實踐，以方法探索為主要學習內容，整節課以教師引導、學生發現展開，注重解題思路講授，將推導證明的邏輯過程以及數學運算留在課后，延伸課堂，總結方法的同時，注重夯實基礎.復習課在于喚醒，由問題喚醒，發現問題，借助“形”的幾何直觀深化知識理解；再深入知識內部，提煉經驗，注重單元設計理念，形成貫通整個單元的重要思想方法，指向高中數學核心素養.在往后單元教學可成為一種常態，一方面對教師教學研究有很大的促進，讓教師更注重知識關聯和方法總結提升；另一方面也對學生主動學習有更高的要求，對發展學生數學核心素養有更大的推動，實現育人使命，貫徹黨的二十大精神，落實立德樹人的根本任務.參考文獻：

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