基于PISA的山西數學中考典型題中推理能力探析

摘要：義務教育2022年版新課標把推理能力作為初中階段核心素養的主要表現之一，初中階段數學推理能力會影響高中階段邏輯推理素養的發展，而中考是評判學生能否進入高中學習的選拔性考試，因此以PISA情境分析維度和問題解決過程中的數學推理為基礎，基于PISA2022中提出的理解數學推理的六個關鍵點，分析山西數學中考典型題中推理能力的具體表現，力求為初中數學教師強化學生的推理能力提供參考.

關鍵詞：PISA；中考題；推理能力

1問題提出

21世紀初由經合組織（OECD）提出的“核心素養”，已經成為當今世界各國課程改革的風向標和主旋律. 2016年我國提出了以“全面發展的人”為根本出發點和最終歸宿的核心素養體系.深入數學學科，在2017年版的普通高中數學課程標準中凝練出的六大數學核心素養，《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出的數學核心素養的構成及主要表現，均體現著我國教育立足于發展學生核心素養，落實立德樹人的價值追求.

PISA（Program for International Student Assessment）是OECD發起的國際性教育評估項目，檢測年滿15歲的中學生是否擁有滿足社會需要的終身學習能力，每三年一測，每次選擇數學素養、閱讀素養和科學素養之一來測試. PISA2022［1］的測評重點恰好是數學素養.

考慮到我國即將完成義務教育的中學生恰好與PISA測試對象年齡相仿，探討國際上對15歲左右青少年核心素養的發展要求，能更好地促進我國初中學生數學核心素養的培育．落實核心素養，要求基于解決情境中的問題來促進學生數學思維的發展，尤其是推理能力的發展．因此基于PISA的情境分析維度和數學推理的架構，以山西省2020～2022年中考數學典型題為例，分析在問題解決過程中如何培養學生的推理能力，為初中數學教學及評價提供參考.

2基于PISA的中考數學試題分析基礎

2.1PISA2022情境維度

PISA關注青少年在真實情境中的問題解決能力，并將情境分為個人情境、社會情境、職業情境以及科學情境四類，個人情境是與學生生活密切相關的，包括成績、購物等；社會情境是學生所在社區或有關的環境，包括學習環境、生活場景等；職業情境是學生未來工作中可能出現的問題情境；科學情境是與科學背景相關的情境，數學情境也屬于科學情境．

義務教育數學課程標準中指出試題中應設計合理的生活情境、數學情境和科學情境. 特別要求數學情境的考核應凸顯中考選拔性測試的地位和要求. 這與PISA情境分類高度一致，即生活情境（含個人情境、社會情境和職業情境）和科學情境（含數學情境），故以此分析數學中考題中的情境考查.

2.2PISA2022問題解決過程中的數學推理

“數學的發展主要依賴的是邏輯推理，通過邏輯推理得到數學的結論，也就是數學命題.”［2］，可見推理能力是數學思維形成的關鍵要素. PISA2022測評突出問題解決過程中數學推理的核心地位，并將問題解決過程中數學推理能力分為三個層次：數學推理的表達、數學推理的應用、數學推理的解釋.包含的具體活動如下圖．［1］

結合最新的義務教育數學課程標準中對初中學段推理能力的主要表現和內涵，以及學業質量的描述，分析山西省數學中考典型題中推理能力的考查.

3基于PISA的山西數學中考典型題目的分析

解決情境問題的每一個環節都需要運用推理能力，連接并形成一個整體. PISA2022基于數學素養給出理解數學推理的六個關鍵點［3］，下面以此選取山西省2020～2022年數學中考題中的典型題目進行分析.

3.1數量、數系及其代數性質

數量是由數系概念和基本代數性質共同體現的，這一整體構成了數學素養的根本. 初中階段對數的要求是能通過運算和推理得到具有一般性的結論，在運算過程中培養學生的推理能力．山西省2021年第19題體現該關鍵點，如下.

近日，教育部印發了《關于舉辦第三屆中華經典誦寫講大賽的通知》，本屆大賽以“傳承中華經典，慶祝建黨百年”為主題，分為“誦讀中國”經典誦讀，“詩教中國”詩詞講解，“筆墨中國”漢字書寫，“印記中國”印章篆刻比賽四類（依次記為A，B，C，D）．為了解同學們參與這四類比賽的意向，某校學生會從有意向參與比賽的學生中隨機抽取若干名學生進行了問卷調查（調查問卷如圖所示），所有問卷全部收回，并將調查結果繪制成如圖所示的統計圖和統計表（均不完整）．請根據圖表提供的信息，解答下列問題：

（1） 參與調查的總人數為___________人，統計表中C的百分比m為___________；

（2） 請補全統計圖；

（3） 小華想用扇形統計圖反映有意向參與各類比賽的人數占被調查總人數的百分比，是否可行？若可行，求表示m類比賽的扇形圓心角的度數；若不可行，說明理由.

該題凸顯了生活情境中的個人情境（參加比賽意向調查），利用問卷進行數據收集并分析數據. 考查學生利用統計圖表中數據對應關系，求解各項參賽人數和總人數，發展學生的推理能力.

在數學推理的表達上要求學生能識別情境中的數學關系并簡化情境背后隱藏的條件，具體表現為能識別數學變量“參賽意向人數”與“所占百分比”在統計圖表中的含義和對應關系.

在數學推理的應用上要求學生能夠用統計圖表中的信息進行運算，具體表現為能求出總人數（120人），根據“筆墨中國”漢字書寫的人數求得m的值（50%），根據所占的百分比求得的“詩教中國”的參賽人數（36人）.

在數學推理的解釋上要求學生能解釋統計圖表所呈現的信息，理解扇形統計圖數據的含義，具體表現為能補全統計圖，能解釋扇形統計圖反映數據的合理性及其原因（由于有意向參賽的人數占總人數的百分比之和大于1，所以不可用）．

3.2感知抽象和符號表征的力量數學是一門具有高度抽象性和形式化特點的學科.初中階段要求學生能從問題中抽象出變量并用數學符號表達變量之間的關系.在抽象問題和符號表征的過程中培養學生的推理能力. 山西省2020年中考第12題體現該關鍵點，如下.

如圖是一組有規律的圖案，它們是由邊長相等的正三角形組合而成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形…按此規律擺下去，第n個圖案有___________個三角形．

該題凸顯的情境是科學情境中的數學情境（看圖找規律）.主要考查探究圖形的變化規律以及函數的應用，學生在利用代數式表達三角形個數的過程中，發展推理能力.

在數學推理的表達上要求學生能識別并理解圖案的變化規律，找到探求規律的方法并翻譯為數學語言，具體表現為理解數學變量“第n個圖案”與“三角形的個數”的含義，嘗試借助坐標探求圖案的變化規律.

在數學推理的應用上要求學生能創建恰當的數學解決策略并通過實施得出結論，具體表現為將第n個圖像與圖案中對應的三角形個數在坐標系中標記，借助坐標系用一次函數描述圖案的變化規律（y=3n+1）.

在數學推理的解釋上要求能使用數學思維和計算思維進行預測，體會用數學知識解決問題的便利性，具體表現為借助坐標系更直觀的預測變化規律，進而用一次函數能表示圖案變化規律（“第n個圖案”與“三角形的個數”之間的關系）.

3.3認識數學結構及其規則

數學結構可以是一個具體的代數式、幾何圖形，也可以是一種抽象的模型結構．初中階段要求能從問題結構的不同角度用不同方式思考和推導，在這一過程中培養學生的推理能力．山西省2020年中考第15題體現該關鍵點，如下.

如圖（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點，AE與CD交于點F，則DF的長為___________．

該題凸顯的情境是科學情境中的數學情境（數學知識），檢測學生對知識的把握.主要考查學生如何在三角形中添加輔助線，構造相似三角形．學生在幾何命題的推導和證明過程中，發展推理能力.

在數學推理的表達上要求學生能識別問題情境的數學結構，找到解決問題的方法，具體表現為能用三角形的性質和三角函數解決問題，找到求DF的兩種方法，直接求DF或利用DC和CF的長求DF.

在數學推理的應用上要求學生能使用不同的方式解決問題，具體表現為能添加不同的輔助線，有兩種輔助線的構造方式：一種是過點F，作FH垂直于AC，垂足為點H，利用兩次相似三角形，△AFH∽△AEC與△CHF∽△CDA，求出FH和DC得到CF，最終求出DF，如圖（2）；另一種是作BD中點G，由中位線定理，知道EG=12CD，利用相似三角形△AEG∽△AFD，如圖（3）．此外該題還可以用面積法求解；

在數學推理的解釋上要求學生能理解使用不同的方法會有不同推理過程，具體表現為通過“一題多解”的解題策略，培養學生的發散思維．

3.4認識數量之間的函數關系

數量之間的關系有方程、圖表等多種表達形式，函數是表達數量關系最常用的一種方式. 初中階段要求借助問題情境理解函數的實際意義，在理解函數變量關系時培養學生的推理能力．山西省2022年中考第12題體現該關鍵點，如下.

根據物理學知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強P（Pa）是它的受力面積S（m2）的反比例函數，其函數圖象如圖所示．當S=0.25 m2時，該物體承受的壓強P的值為___________"Pa.

該題凸顯的情境是科學情境（物理學壓強的變化），該情境屬于跨學科的學習活動，學科之間知識的互通有利于增強學生用知識解決問題的能力. 主要考查反比例函數的應用，學生在應用反比例函數的過程中，發展推理能力.

在數學推理的表達上要求學生能理解符號語言在函數中的表征性質，具體表現為通過反比例函數圖象更直觀地感受物體受力面積與壓強的變化，根據數據信息確立壓強和受力面積的函數關系式P=100S.

在數學推理的應用上要求學生能根據反比例函數關系式進行數學運算，具體表現為能求出給定面積（S=0.25 m2）時物體所受到的壓強值P=400.

在數學推理的解釋上要求學生能理解數學知識在實際生活的延展性，具體表現為感受數學知識與其他學科知識在解決實際問題過程中發揮的作用和意義.

3.5借助于數學模型作為觀察現實世界的鏡頭

數學模型是現實世界理想化狀態的假設，數學模型建立起數學問題和真實情境之間的聯系．初中階段要求借助模型簡化問題情境，在利用模型進行推理的過程中培養學生的推理能力［4］. 山西省2020年中考第21題能體現該關鍵點，如下.

如圖（1）是某車站的一組智能通道閘機，當行人通過時智能閘機會自動識別行人身份，識別成功后，兩側的圓弧翼閘會收回到兩側閘機箱內，這時行人即可通過．圖（2）是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形ABC和DEF是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC和EF均垂直于地面，扇形的圓心角∠ABC=∠DEF=28°，半徑BA=ED=60cm，點A與點D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm．

（1）（2）

（1） 求閘機通道的寬度，即BC與EF之間的距離（參考數據：sin28≈0.47，cos28≈0.288，tan28≈0.53）；

（2） 經調查，一個智能閘機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍，180人的團隊通過一個智能閘機口比通過一個人工檢票口節約3分鐘，求一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數．

該題凸顯的情境是科學情境（智能閘機檢票人數預測），對智能設備工作效率的分析，有利于人們明確它的優勢并決策是否要取代人力. 主要考查三角形的實際應用，學生在用代數式推導數學結論的過程中，體會情境中的數學推理能力．

在數學推理的表達上要求學生能識別問題情境中的模型，使用合適的數學符號描述問題情境，具體表現為能利用三角函數求A點到BC邊垂線的距離（設過點A向BC作垂線，垂足為N，則有AN=AB×sin28°≈28.2米），同理可知D到EF的垂線距離，求得BC與EF之間的距離（約66.4米）.

在數學推理的應用上要求學生能創建合適的解題策略，具體表現為能找到速率和時間的關系并列出方程（設人工閘機每分鐘檢票通過的人數為x，則有180x－3=1802x）.

在數學推理的解釋上要求學生能闡述數學結論（閘機口通道寬度為66.4米；智能閘機每分鐘通過60人）

3.6方差是統計的核心

差異性（方差）是當今社會的一個重要特征，通過解釋數據的差異性能幫助學生理解現象. 初中階段要求能借助方差和感受描述事物的不確定性，體會方差是刻畫數據波動程度的變量. 山西省2020年中考第13題體現該關鍵點，如下.

某校為了選拔一名百米賽跑運動員參加市中學生運動會，組織了6次預選賽，其中甲、乙兩名運動員較為突出，他們在6次預選賽中的成績（單位：秒）如下表.

由于兩名運動員成績的平均數相同，學校決定依據他們成績的穩定性進行選拔，那么被選中的是．

該題凸顯的情境是生活情境中的個人情境（運動員選拔），單次成績具有偶然性，只有對多次成績分析才能了解事物的整體發展水平．主要考查方差及算術平均數的定義，學生在整理數據并對數據分析的過程中，發展推理能力.

在數學推理的表達上要求學生能夠確定情境中的變量并簡化情境背后的隱藏條件，具體表現為在運動員成績平均數相同時，用方差判斷成績穩定性.

在數學推理的應用上要求學生能進行數學運算，具體表現為知道方差的計算公式s2=1n（x1－x-）2+（x2－x-）2+…（xn－x-）2，能夠計算方差（S2甲=1530，S2乙=0.2）.

在數學推理的解釋上要求學生能理解數學概念在實際生活中的應用，具體表現為能判別運動員的穩定性（由于s甲lt;s乙，甲運動員穩定性較好）．

4結論與啟示

4.1借助真實情境中的問題，發展學生推理能力

中考試題主要受制于學校課程體系，關注數學知識和邏輯，以數學情境為主．而除數學情境外，氣候、科技、計算機模擬等與實際生活并非緊密貼近的情境，也能訓練學生分析、推斷和解釋生活中存在的各種問題情境，為成為21世紀公民做好準備．因此在日常教學過程中，教師應結合學生的認知水平，借用情境問題，激發學生解決問題的興趣，在解決情境問題的過程中發展學生推理能力．

4.2關注推理的“解釋”環節，完善學生推理能力

PISA提出問題解決過程中數學推理的“表達”“應用”和“解釋”三個環節，這三個環節是推理能力逐步提升的過程，也是解決問題的三個步驟. 通過對山西省數學中考典型題的分析發現，題目中“解釋”環節多為解釋圖表，闡述結論等淺層解釋，僅有2021年第19題是闡述結論是否成立的緣由. 因此在日常教學過程中，教師應有意引導學生解釋問題的結果或結論，完善學生推理能力.

4.3探索數學試題解決過程，提升學生推理能力

數學解題是以“題目”為出發點，尋找解題的思路，促進學生思維發展的一個過程．中考試題能反映學生解題思路的題目較少，教師僅能把握學生基礎知識的掌握情況，對學生思維的發展了解較少. 因此在日常教學過程中，教師可以引導學生樹立創造多種解題策略的意識，培養學生對數學概念、性質的表達和應用，從而在解決問題的過程中，提升學生推理能力．

參考文獻：

［1］ OECD. PISA2022 Mathematics Framework Draft （受到全球新冠疫情的影響，將PISA2021評估推遲至2022年）［EB/OL］，2022.

［2］ 孫曉天，沈杰.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀初中數學［M］.北京：教育科學出版社，2022.

［3］ 李娜，趙京波，曹一鳴．基于PISA2021數學素養的數學推理與問題解決［J］．課程·教材·教法，2020（4）：131-137．

［4］ 俞卓君.基于PISA2021分析高考情境題的數學推理能力［J］.中學數學雜志，2022（1）：46-51.