拔尖創新人才培養的數學教學研究

摘要：在中美科技全面較量的背景下，拔尖創新人才的培養又被提到了一個新高度，數學等基礎學科的重要地位再次得以彰顯.學優生的數學創造力的培養，是國家實施強基計劃和英才計劃戰略的一個重要基礎.在中學階段，積極探討學優生數學創造力的課堂教學模式是有必要的，本文以數學競賽教學經驗為基礎，提出了以史激趣、以問拓思、以論養素的“三步走”教學模式，拋磚引玉.

關鍵詞： 學優生；創造力；教學模式

1問題的背景

在中美科技全面較量的背景下，我國科技界和教育界普遍感受到，基礎學科對國家核心競爭力的影響.拔尖創新型人才的培養、超常教育的發展，關系著千百萬超常少兒能否得到充分發展的事業，也是關系著我國教育強國戰略和民族復興的偉大工程.

黨中央國務院自十八屆三中全會審議通過《中共中央關于全面深化改革若干重大問題的決定》以來，推出了一系列的教育改革舉措，尤其是從2020年起，在部分高校開展基礎學科招生改革試點，也稱“強基計劃”.這些都是我國實施教育強國和拔尖創新人才培養的重大戰略舉措.在拔尖創新人才培養的奠基階段，特別是在高中數學課堂教學中，對那些數學基礎扎實、思維品質優秀、自主學習能力較強的學優生，怎樣教學才能讓他們對數學學科產生濃厚且持續的興趣？什么教學模式有利于培養他們的數學素養和數學創造力，是當前拔尖創新人才培養面臨的一個基礎性問題.

2問題的解決

2.1以史激趣

當今課堂教育教學存在的很多問題，都與學生的學習內在驅動力不足有關，根本原因在于學生學習興趣不濃，主動學習的意識淡薄.怎樣激發學生的數學學習興趣？如何發展學生的數學創新意識和創造能力？很多專家和學者都給予了不同建議.本文認為，通過引導學生閱讀和了解一些與所學內容相關的數學史，可以讓學生了解數學概念產生與發展的過程，追尋數學家學習、成長和研究的足跡，感受數學家的科學精神和科研情懷，從而激發學生對數學的熱愛，激勵和引導學生掌握數學研究一般思路和方法，培養學生的探究意識和初步的問題研究能力.

例如，在學習“對數”概念時，通過閱讀對數的發明數學史可知：對數的出現對數學的發展和人類的進步有重大意義；對數的發展經歷了漫長且復雜的過程，是一代又一代數學家艱苦求索的結果；對數的本質是指數，指數與對數是互逆關系.

對于數學史的了解，既有專業的數學史著作，教材中也有數學史閱讀材料，作為培養學優生數學創造力的工具，課題組認為：教材中的數學史料，偏于簡略且不夠有趣，而專業的數學史著作，對高中學生來說，又略顯晦澀難懂，因此整合數學史料，對相關的數學史進行再加工，在不違背數學史實的前提下，進行通俗化解讀，以便于教師課堂中滲透，學生課后自行閱讀.

2.2以問拓思

培養學生的創造力，需要有科學的教學方法.問題驅動教學法（Problem-Based Learning，PBL）是一種以學生為主體、以專業領域內的各種問題為學習起點，以問題為核心規劃學習內容，讓學生圍繞問題尋求解決方案的一種學習方法.這種教學方法有利于激發學生的思維活性，增強學生的課堂參與，提升學生的主體地位.因此，在培養學優生創造力的課堂教學中，教師應該以學生熟悉的數學情境為起點，通過精心設計課堂教學的問題串或問題鏈，引發學生思考，引導學生合作交流解決問題，從而拓展學生思維，同時還可以培養學生學會提問、學會學習、學會思考的良好習慣，讓學生受益終生.

例如，在基本不等式教學時，我們通過三個主干問題和若干個小問題組成一個問題鏈，使學生沿著問題的引導方向，逐步探究，逐步深入，不斷拓展思維，最終高質量完成本節的概念教學.

【主干問題1】在第24屆國際數學家大會的會徽“風車”圖案（圖1）中，你能找出哪些相等關系和不等關系？

Q1：從邊的角度，能得到哪些關系？

（a+bgt;a2+b2，a，bgt;0）

Q2：從面積角度，能得到哪些關系？

① a2+b2=2ab+（a－b）2（a，b∈R）;

② a2+b2=2ab（a=b）；

③ a2+b2gt;2ab（a≠b）；

④ a2+b2≥2ab（a，b∈R）.

【主干問題2】如何發現并證明基本不等式ab≤a+b2（a，b∈R+）成立？

Q1：你能從生活中或已知的事實中發現基本不等式的來源嗎？

① 能否從已知事實a2+b2≥2ab（a，b∈R）中獲取ab≤a+b2（a，b∈R+），獲取過程中用到了什么數學方法？（當agt;0，bgt;0時，可以用a，b分別代替a，b可得，代換法）

② 能否類比重要不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）的發現方法，也通過相關幾何圖形中數量關系直接得出基本不等式？（如下圖2無文字證明）

③ 你使用過不等臂天平稱量物重嗎？能否使用兩次質量測量的“平均值”a+b2來代替實際質量？（實際質量為ab≤a+b2）

Q2：你能用哪些方法證明ab≤a+b2（a，b∈R+）？

① 應用比較大小的基本方法—比較法，如何進行？（作差法）

② 你能理解執果索因的證明思路嗎？（分析法）

③ 你知道利用代換方法從重要不等式到基本不等式的證明方法嗎？（綜合法）

Q3：你能利用構造的思想來證明基本不等式嗎？

① 從形式上看a+b，ab，你能想到什么方程？（構造二次方程x2－（a+b）x+ab=0必有實數根）

② 從本質上看，ab為兩數a，b的幾何平均值，a+b2為算術平均值，你能從幾何圖形中構造出相關量及其關系嗎？（構造下圖3）

③ 指對數運算可以把乘法運算與加法運算聯系起來，你能構造相關函數解決問題嗎？（圖4中根據函數的凹凸性顯然有lna+lnb2≤lna+b2）［1］

2.3以論養素

當今的課堂教學，教師和學生普遍感到被“卷”得很累，除了學生被反復機械地刷題折騰得疲勞外，學生的學習興趣不濃和收獲感低下，也是學生感覺累的主要原因.目前大多數教師為了所謂的“趕教學進度”，仍習慣于講授法，滿堂灌，學生沒有參與進來，以致于“教師講得累得要死、學生聽得厭得要死”［2］，然而教學效果卻一塌糊涂，這時就完全依賴于刷題來提升教學的效果.長期來看，大量的機械刷題會泯滅學生學習數學的興趣，既不利于學生的能力的提升，更不利于學生創造力的培養.

在教師通過問題串完成基本概念和基本定理等教學后，學優生往往都有了一定的解題能力，在后續的鞏固提高環節，教師可以放手讓學生們去討論、去交流，然后安排學生輪流到講臺評講相關的練習、并接受大家的提問.這種教學法會促進主講學生認真準備，從而能更深更透了解問題本質，進而提升學習的效果.同時，站在講臺上與同學們討論交流，可以增強學生的語言表達和溝通能力、自信和表現能力，有利于培養學生的綜合素養，為學生的全面發展奠定基礎.

3問題的補充說明

以史激趣、以問拓思、以論養素的“三步走”教學模式，是基于我校的學科競賽輔導經驗凝練而成.我校的學科競賽一般安排在課后的晚上，一周2—3次，每次三節連堂，“三步走”分別應用在課前概念引入、課中師生互動和課后拓展提升環節，教學節奏與常規教學有較大差異.參加競賽小組的同學，大多都是思維品質比較優秀，學習積極主動的學生.這種教學模式，對這些學生來說是比較有效的.我校的數學聯賽成績從原來的全省中等到目前躍居全省一流，近兩年也連續實現了全國金牌的突破.競賽組培養的學生不少在強基中獲取名校破格入圍資格，也有些學生在高考中取得全省前茅的好成績，且目前在高校或走向社會，發展勢頭也良好.綜上，課題組研究的成果，對發展學優生數學創造力是有顯著影響的.

誠然，影響學生數學創造力的因素也是復雜的，學生數學創造力的測量難度也是很大的，本課題只是從一個角度進行了研究，還不完善，不全面.研究成果的有效性也需要更多的時間和樣本進行檢驗，成果的推廣還有待于研究內容的進一步優化.參考文獻：

［1］ 楊育池.寓理于形意趣生形理交融知識明——“基本不等式ab≤a+b2”的教學實踐與思考［J］.數學通訊（教師版），2013，673（20）：12-15.

［2］ 章建躍.我講了n遍你怎么還不會［J］.中小學數學（高中版）2011，389（5）：50.