關注特技，更要掌握通法

摘要：本文通過一節基本不等式習題課，對比通法與特技的關系，論述在解題教學時，應該注重數學思想方法的總結與提煉，即通法教學，要關注特殊技巧的教學，更要掌握通法的概括．

關鍵詞：通法；特技；基本不等式

數學家哈爾莫斯指出：“問題是數學的心臟”．而思想方法是解決數學問題的核心，在高中數學解題過程中，需要分清通法與特技的關系.通法是指解決問題普遍適用的方法，是對數學知識最高層次的概括與提煉.特技是特殊技巧，它雖不適用于解決普遍性問題，但可以高效地解決某一類問題或一般方法無法解決的問題.特技是在熟練地掌握通法的基礎上產生的，通法是戰略，特技是戰術，我們既要掌握通法，也要關注特技，但是不能全靠特技．

筆者在教學過程中，逐漸發現不少學生沒有從宏觀上掌握思想方法，而是片面地記題型、背特技，這種做法對于做過的原題或者類似題很奏效，但是一旦題型不熟悉則無所適從，原因是沒有從根本上掌握思想方法，就像在黑暗中沒有方向地航行一樣，通法就像燈塔，指引著前進的方向，特技就像船上的燈光，只能照亮局部的地方，為了讓學生辨別通法與特技的關系，筆者設計一堂基本不等式探究課，讓學生通過對比理清關系，加深印象．

1教學實錄

案例一：（提前讓學生做，在課堂探討）

（1） 若正數a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是，a+b的取值范圍是．

（2） 已知9a2+b2=1，求ab3a+b的最大值．

師：哪位同學回答第一題？

生1：依題意ab=a+b+3≥2ab+3（當且僅當a=b時，等號成立），∴（ab-3）（ab +1）≥0，

∴ab≥3，（ab≤-1舍）．∴ab≥9（當且僅當a=b=3時取等號）；

同樣的ab=a+b+3≤a+b22（a+b）2－4（a+b）－12≥0a+b≥6（當且僅當a=b=3時等號成立）．

師：好，該同學迅速而準確地得到正確答案，哪位同學來概括一下他使用了什么思想方法？

生2：題目中有和有積，他采用了“統一到和”或者“統一到積”的方法，后一問也可以用前一問的結論ab=a+b+3≥9得到a+b≥6．

師：非常好，式子里面有和有積，該同學采用了“統一到和”或者“統一到積”的方法實現了減元、化單的目的，類似于數列中的“去和留項、去項留和”，我們可以將它命名為……

生眾：“去和留積，去積留和”．

師：很好，還有其他方法嗎？

生：（可能上面方法比較簡潔，很多學生怕被嘲笑不愿意說）沉默．

師：好，我們繼續下一題，誰來回答？

生3：ab3a+b=133ab3a+b，這里3a與b的位置平等，因此3a=b時出現最大值為212．

師：嗯，利用對稱性，做大題不嚴密，還要另取值來看看是不是最大值，還有其他方法嗎？

生4：ab3a+b=13b+1a≤123ab=ab23，9a2+b2=1≥6ab，ab≤16，兩個不等式中等號成立的條件都是b=3a，于是最大值為212．

師：很好，兩次使用基本不等式，恰好等號同時成立，想法很奇妙，還有其他解法嗎？

生5：利用兩個正數的調和平均數不大于它們的平方平均數：

ab3a+b=16·2（3a）b3a+b≤16·（3a）2+b22=212．

師：好，用到了四個平均數的結論：agt;0，bgt;0，則2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22，在使用這一結論時最好要證明一下.以上幾位同學的解法技巧性較強，有的不容易想到，哪位同學來說說有沒有更一般性的解法？

生6（在教師鼓勵下）：第一題： 消去b，∵ab=a+b+3，∴b=a+3a－1=1+4a－1，∵bgt;1，∴agt;1．∴ab=a+4aa－1=a+4+4a－1=a－1+4a－1+5≥9．∴ab≥9，同理得a+b≥6．

第二題： 平方得：ab3a+b2=（ab）21+6ab，令1+6ab=t，原式=136t+1t－2，最大值為212．

師：非常好，大家看一看生6的解法是不是更接地氣，更具有一般性，更容易想到？分別體現了哪些思想？

生眾：消元、減元、換元．

師：這些思想就像黑暗中的指明燈一樣照亮了我們前進的方向，前面的特技很好，但是我們更要掌握通法，通法掌握了，特技自然就會產生了．

案例二：已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），則x2+y2的最小值是．

生7：∵5x2y2+y4=1，y≠0∴x2=1－y45y2，∴x2+y2=1－y45y2+y2=15y2+4y25≥45.

當且僅當15y2=4y25，即x2=310，y2=12時取等號．∴x2+y2的最小值為45．

生8：∵5x2y2+y4=1，y≠0∴5x2+y2=1y2，∴5x2+5y2=4y2+1y2≥4，x2+y2≥45

（等號成立條件同解法一）．

師：這兩種解法頗為類似，都是利用了消元減元思想，具有普適性，有進步，非常好，我們要優先考慮通法，掌握通法之后，再來看看有沒有其他方法？

生9：可分為：（5xy）2+（y2）2=1，令5xy=cosθ

y2=sinθ，得x2=cos2θ5sinθ，

x2+y2=cos2θ5sinθ+sinθ=1－sin2θ5sinθ+sinθ=15sinθ+45sinθ≥45（等號成立條件同解法一）．

生10：5x2y2+y4=（5x2+y2）y2=1，令5x2+y2=a2

y2=b2，則x2=b－a5，y2=a，a2b2=1，

x2+y2=b－a5+a=b+4a5≥24ab5=45.當且僅當b=4a，即x2=310，y2=12時等號成立．

生11：令x2=m，

y2=n，所以5mn+n2=1，n（5m+n）=1=144n（5m+n）≤145m+5n22，得x2+y2≥45（等號成立條件同解法一）．

生12：（x2+y2）2=x4+y4+2x2y25x2y2+y4=xy4+2xy2+15xy2+1，令5xy2+1=t，t≥1，

則（x2+y2）2=t2+8t+1625t=125t+16t+8≥1625，x2+y2≥45（等號成立條件同解法一）．

生13：令x2+y2=t，則x2=t－y2，5（t－y2）y2+y4=1，得4y4－5ty2+1=0，

令y2=zgt;0則4z2－5tz+1=0必有正根，可得x2+y2≥45（等號成立條件同解法一）．

師：妙啊，這道高考題大家共找到了七種解法，哪位同學再來概括下后面五種解法分別有什么特點？

生14：生9用的是三角換元，實質也是減元，生10、11用的是降次，生13用的是判別式法這些都是通法，生12用的是換元、化單，是通法．

師：概括的非常到位，通過上面幾道題，我們發現要想解決基本不等式問題，首先要從整體上把握，而不能局限于某些特殊技巧，這樣會使我們的思路愈來愈窄從而迷失了方向，欲識廬山真面目，就要跳出此山中，只有掌握了蘊含解題思想的通法之后，再來研究特技才能使解題更加高效．

2教后反思

2.1教師要盡力營造學生獨立解題的氛圍

在數學教學中，教師要留充分的時間給學生思考，不少教師在出示題目之后就會好心地提示一下，這其實是越俎代庖，牽著學生的鼻子走，結果造成學生的心神不定、無頭緒、恐慌，好心辦成了壞事．實際上，在學生獲得初步的知識和形成一定的能力之后，學生肯定會有自己的想法，這時讓他們付諸實踐并進行檢驗是最明智的選擇，而不應該強迫他們按照自己的想法走，課堂上暫時的“冷場”不一定是壞事，往往是暴風雨來臨前的先兆；部分學生在經歷行動、受挫、反思、改進、再受挫、再反思、再改進直至成功，還有部分學生在接近成功或者迷失了方向，這時才需要教師組織學生交流.讓成功的學生介紹做法及經驗，讓接近成功的學生談一談受挫的原因及改進措施，教師對成功的學生要及時點評與表揚，對還沒有成功的學生要及時分析原因，尋求對策并且給予鼓勵，事實證明讓學生獨立解題，可以使學生思維更靈活、方法更多樣，計算更準確．

2.2教師在課堂上要擔任好裁判角色

面對課堂上出現的學生新穎的、奇特的解法，教師要及時捕捉、判斷并給以科學、高效和智慧的回應，對優秀的解法及時表揚；出現錯誤、疑問可以先別忙表態，而是加以啟發、引導，使他們自己解決問題，從而培養學生獨立解決問題的能力；教師最后還要做出評判，支持正確而簡潔的方法，剖析錯誤或繁雜的方法，不能模棱兩可；要始終把握課堂的正確方向．例如在案例中，生10、13的解法筆者事先也沒有考慮到，雖然不易想到，學生既然提出來，筆者仍因勢利導，改變原來的設計，臨時插播一下，會有意想不到的回報．

2.3教師在課堂上要正確處理好通法與特技的關系

通法蘊含著解題方向和解題策略，掌握通法就能夠抓住問題的本質，通法自始至終是高考考查的核心，抓住通法可以較好地掌握基礎知識，提高能力，提升思維品質，而特技可以高效地解決某一類問題或能解決一般方法無法解決的問題，因而備受學生的青睞，以至于過分追求“標新立異，多樣快捷”而忽視了通法，教師在平時教學時要求學生關注特技，但是不能全靠特技，要把握好一個度，為了使學生把握通法與特技的關系，筆者設計了兩個案例，案例1中通法與特技都可以順利解決問題，案例2中通法明顯優于特技，通過對比使學生不會過分迷戀于特技，認識到通法的重要性.

參考文獻：

［1］ 李小艷，吳欣榮，漆青梅.HPM視角下“基于不等式”的教學［J］.數學通報，2022，61（6）：49-43.

［2］ 鐘志華，李渺，基于變式教學的數學教學設計——以“基于不等式”為例［J］.數學通報，2019，58（5）：23-27.

［3］ 張蜀青，曹文福.大學教師與中學教師關于《基本不等式》的“同課異構”評析［J］.數學教育學報，2015，24（6）：40-43.