教、學、評一致性的小學數(shù)學“數(shù)與運算”單元整體教學實踐研究

摘要：以培養(yǎng)小學生數(shù)學核心素養(yǎng)為宗旨，以“三位數(shù)乘兩位數(shù)”為例做了教、學、評一致性的單元整體教學實踐研究.在單元整體設計中需要綜合分析課程、教材、學生等要素，確定合理清晰的學習目標；并以學習目標為導向，設計與目標相匹配的評價；將目標轉變?yōu)楹侠淼摹⑴c學生學習經(jīng)驗相對接的學習活動，為學生提供序列化的學習體驗，從而實現(xiàn)“教、學、評的一致性”.

關鍵詞：變式開放；目標分層；單元整體；作業(yè)設計

備課的“碎片化”導致教學的“碎片化”，也會使學生孤立地學習一個個知識點，同一領域、同一單元的知識學習所得互不相關.零散的、碎片化的知識無法在學生頭腦中形成一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結構，故學生所學所得極易忘記，學習效率極低.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對教、學、評一致性的闡述為教學設計與教學實踐提供了新的理念指導.“教、學、評一致性”就是在課堂上同步推進教學、學習與評價活動，且在最大限度上保持三者的一致性，將有效評價滲透到教學與學習中的各個環(huán)節(jié)，更好地指導學生運用所學知識.

1單元主題的確定

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是小學階段整數(shù)乘法知識的最后一個板塊，是學生在認識、理解和掌握“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”知識的基礎上進行算法遷移和理解算理的內(nèi)容，是小學階段筆算乘法的總結［1］.眾所周知，在計算教學中要注重培養(yǎng)學生的運算能力，“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力.培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題.”由此可以看出，正確計算、理解算理、用合理和簡潔的運算解決問題是運算教學的主要目標.在此基礎上提出“理法結合，遷移聯(lián)通，促進運算能力進階發(fā)展”的研究主題并得出以下三方面思考.

1.1“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的核心目標是理解算理、掌握算法

在小學數(shù)學結構化教學研究中，“數(shù)的運算”教（學）什么的關鍵要素是“意義、算理和算法”，怎么教的關鍵要素是“意義理解、理法結合、技能訓練、優(yōu)化運用”.人教版四年級上冊第三單元《三位數(shù)乘兩位數(shù)》是小學階段整數(shù)乘法模塊的最后一個內(nèi)容［2］.教師教學用書中提到的單元教學目標為：（1） 使學生理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算算理、會計算三位數(shù)乘兩位數(shù)；（2） 使學生經(jīng)歷探索積的變化規(guī)律的過程，理解規(guī)律的內(nèi)涵，并能運用規(guī)律使一些計算簡便；（3） 結合具體情境，使學生了解常見的數(shù)量關系，即“總價=單價×數(shù)量”“路程=速度×時間”，并能運用數(shù)量間的關系解決一些簡單的實際問題.以上三個目標分別對應算理要求、運算性質(zhì)和具體應用.而在這三個目標中，理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算算理，掌握相應的計算方法應當是本單元的核心目標.

1.2“三位數(shù)乘兩位數(shù)”應為“遷移”而教

運算能力是義務教育階段數(shù)學核心素養(yǎng)之一.其內(nèi)涵是豐富的，至少包含基本口算、理解算理、掌握算法及運算策略這四個方面，而且在不同的內(nèi)容中，這四個方面的具體內(nèi)涵也不同［3］.同樣是多位數(shù)乘法，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元更加側重的是算理的探索，因此，學生需要經(jīng)歷各種將兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉化為表內(nèi)乘法的活動.而“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元則需要更加側重算理和算法的遷移，因為作為小學階段整數(shù)乘法的最后一個單元，本單元的學習目標不僅僅在于能計算三位數(shù)乘兩位數(shù)，還在于學生在遇到更多位數(shù)的整數(shù)乘法的時候要有遷移的能力，可以運用已有知識和經(jīng)驗去自主探索，利用先前獲得的認知結構對后繼學習施以積極影響，使原有的認知結構得以不斷擴展和壯大.這不僅有利于整體把握筆算乘法的內(nèi)涵，建立新知與舊知的聯(lián)系，也有利于激發(fā)學生主動學習的熱情，讓學生逐步學會自主學習，提升學習能力.

1.3計算教學應培養(yǎng)學生的高階思維

所謂高階思維，是指發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力.它在教學目標分類中表現(xiàn)為分析、綜合、評價和創(chuàng)造.兩位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法豎式是對加法豎式的簡寫，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法豎式記錄著“用乘法分配律進行演算的算理”，依照運算法則，把多位數(shù)乘法分解成一步步表內(nèi)乘法，只要按部就班地進行計算，總能算出結果來.但是，會使用法則進行計算的學生，并不代表一定理解運算法則背后的意義，也不一定會反省自己的運算程序.同時，這種按照一定的程序與步驟進行熟練操作的行為與本領，雖然是必要的基礎，但也只是技能而不是能力，加以訓練學生大都可以達到算得又對又快的效果，但這并不能幫助學生形成算法規(guī)則的高階思維.

由于“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)乘法內(nèi)容的終結，因此運算策略的形成顯然也是非常重要的目標.要形成多位數(shù)乘法算法規(guī)則的高階思維，核心是理解算法的實質(zhì)，關鍵是突破運算順序的桎梏［4］.只有打破一成不變的運算順序，才能產(chǎn)生新的運算思路，也才能選擇最優(yōu)運算方法.

綜上，本單元教學基礎在于理法結合，關鍵是知識間的遷移聯(lián)通，培養(yǎng)學生運算能力，為促進學生高階思維的形成做好充足的準備.

2單元課程解讀

2.1年段課標目標結構分析

查閱《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》可知，三位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容要求、學業(yè)要求和教學提示如下［5］：

內(nèi)容要求：探索并掌握多位數(shù)的乘法，感悟從未知到已知的轉化.

學業(yè)要求：能計算兩位數(shù)乘三位數(shù).

教學提示：通過數(shù)的認識和數(shù)的運算有機結合，感悟計數(shù)單位的意義，了解運算的一致性.利用整數(shù)的乘法運算，理解算理與算法之間的關系；在這樣的過程中，感悟如何將未知轉化為已知，形成初步的推理意識.

綜上，三位數(shù)乘兩位數(shù)的教學重點在于知識遷移和知識轉化，培養(yǎng)學生運算能力和推理意識［6］.

2.2單元教學內(nèi)容結構分析

《三位數(shù)乘兩位數(shù)》的內(nèi)容是在乘法口訣、多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎上學習的，教學內(nèi)容主要有三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算、積的變化規(guī)律、常見的數(shù)量關系，具體結構如下［7］：

本單元內(nèi)容主要有兩方面的作用：

一是總結整數(shù)乘法的一般方法.本單元是整數(shù)乘法學習的最后一個階段，需要對整數(shù)乘法的算理和算法進行回顧與整理.結合梳理進一步學會在整數(shù)乘法運算中采用估算的方法，初步確定結果的大致范圍，進一步強調(diào)對乘法運算的結果進行驗算，以保證運算結果的正確性，養(yǎng)成良好的運算習慣.

二是研究“積的變化規(guī)律”，并能運用規(guī)律簡化計算，總結梳理基于乘法運算的數(shù)量關系，充分體驗運用相應的數(shù)量關系解決實際問題的過程，以培養(yǎng)學生用乘法運算解決實際問題的能力，為后續(xù)進一步學習乘法運算作準備［8］.

2.3單元認知結構分析

從人教版教材安排來看，學生在學習“三位數(shù)乘兩位數(shù)”之前已經(jīng)學習了多位數(shù)乘一位數(shù)的口算和筆算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，這為三位數(shù)乘兩位數(shù)的學習做好了準備.那么學生學完“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這一內(nèi)容后，正確率怎么樣？對算理理解水平如何？能不能靈活運算？筆者對三年級學生（47人）做了測試調(diào)查.

2.3.1從計算的正確率的角度分析

此題用于了解學生是否能正確計算多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)，從上表中看出學生計算正確率較高，說明學生能掌握程序性的計算方法.其中。錯誤的學生主要是因為進位錯或者加法錯誤，說明學生不需要老師指導，便可以自主遷移算法經(jīng)驗，正確計算三位數(shù)乘兩位數(shù).

2.3.2從算理理解的角度分析

此題用于了解學生對算理理解的情況，學生能正確表示出每一步計算的意義的有40人，占比85%，說明學生對于計算的算理也基本理解.

2.3.3從算法多樣和優(yōu)化策略的角度分析

以下三題分別用于了解學生在算法多樣化和優(yōu)化策略方面的表現(xiàn)，從數(shù)據(jù)看，學生能用2種方法計算的有6人，占比12.8%，其中63.8%的學生仍然習慣用豎式計算.用分拆的方法（實際也是根據(jù)運算的意義進行分拆）的學生占比44.7%，說明學生在算法多樣化方面的表現(xiàn)比較差，因而在優(yōu)化運算策略上的表現(xiàn)就更為單薄.

綜上，可以看出學生能正確掌握計算三位數(shù)乘兩位數(shù)的方法，也能由兩位數(shù)乘兩位數(shù)的經(jīng)驗理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，此外，計算教學過分強調(diào)精確計算，忽視估算能力的培養(yǎng)；過分追求掌握統(tǒng)一的豎式計算，而削弱了學生在算法多樣化和優(yōu)化運算策略方面的培養(yǎng)等，使得學生的高階思維難以得到鍛煉.

2.4單元統(tǒng)整分析

為了有效地做好整數(shù)乘法的教學，筆者從教材編排結構、學生的認知結構、豎式教學的價值三個角度進行單元統(tǒng)整分析重構教學.

2.4.1整數(shù)乘法教材編排分析

（1） 有關“乘法”內(nèi)容的教材編排分析

人教版教材中對于乘法的教學有三個層次：乘法的初步認識、乘法口訣是第一層次，多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)是第二層次，小數(shù)乘法是第三層次.

（2） 有關“整數(shù)乘法”的教材編排分析

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”和“三位數(shù)乘兩位數(shù)”被分別安排在了不同的年級.“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學習采用了“乘數(shù)是整十數(shù)的口算乘法——兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算乘法——兩位數(shù)乘兩位數(shù)的不進位筆算—— 兩位數(shù)乘兩位數(shù)的進位筆算——兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習”的學習探索序列，其中“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算”和“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的不進位筆算”是利用同一個例題“14×12”展開教學的.在實際教學中筆者發(fā)現(xiàn)這樣的學習安排存在著以下的不足：知識鏈接不夠緊密，缺少結構性；教材安排步子較小，降低了學習的探索性.

2.4.2有關“整數(shù)乘法”的學習結構分析

“整數(shù)乘法”的學習結構相同，都是在解決問題中經(jīng)歷口算、筆算和估算.整數(shù)乘法的算理也是相同的，都是在理解乘法意義的基礎上，運用分與合思想把新知變舊知，凸顯位值在筆算中的作用.

2.4.3有關豎式教學的價值分析

教師所教學的豎式其實是“心算”，這是相對合理、比較簡便的一種記錄方式.在后繼數(shù)學學習中，除法筆算是以兩位數(shù)或三位數(shù)乘一位數(shù)的口算為基礎的.可見，豎式只是繼續(xù)學習的一種計算工具，一種解決數(shù)學問題過程中使用計算的“草稿”.

基于以上認識，對于“整數(shù)乘法”的教學，教材是循序漸進進行編排的，從乘法口訣到兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)，都是把一個個新問題轉化為舊知識而解決的.如何體現(xiàn)對主題的整體把握，能否一以貫之地讓學生感受到計算的道理？筆者通過教材分析，將本單元內(nèi)容進行系統(tǒng)重構，具體內(nèi)容見下表.

3三位數(shù)乘兩位數(shù)課時解讀

3.1課時目標

（1） 借助“□□□×□□”回顧三位數(shù)乘兩位數(shù)的口算、估算和筆算方法，結合已有知識經(jīng)驗理解三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算算理，類推三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，歸納筆算乘法的算法和算理，形成完整的整數(shù)乘法的知識結構.

（2） 經(jīng)歷自主探索三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算方法的過程；能在豎式中合理地解釋三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘一位數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，準確地確定部分積的位值.

（3） 針對具體的問題，能靈活選擇合適的方法進行正確的計算.在探索計算方法、解決問題的過程中體會知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)遷移、類推和梳理知識的能力，優(yōu)化學習的方法.

3.2課時重難點

從學生前測看，能正確計算三位數(shù)乘兩位數(shù)的占91%以上，能解釋每一步的含義的占85%以上，說明學生對于三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理理解與算法掌握不存在太大的困難，但是學生不能用多種策略進行計算，所以本節(jié)課的重難點確定為：

重點：理法結合、遷移聯(lián)通，構建整數(shù)乘法計算的算法結構.

難點：溝通口算、筆算、估算之間的聯(lián)系，靈活選擇合適的策略進行計算.

3.3教學活動

3.3.1確定學習起點，鞏固算法結構

師：今天我們研究的內(nèi)容是“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，在研究新問題之前，先來回憶前面我們學過的三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)，誰來說說你是怎么算的？（出示學生寫的豎式）

（1） 鞏固三位數(shù)乘一位數(shù)的算法結構

師：145×2是怎么算的？（根據(jù)學生口答，在豎式上畫箭頭）

生：2×5=10，2×40=80，2×100=200，最后把它們加起來等于290.

師：簡單概括地說，就是用一位數(shù)與三位數(shù)中的每個數(shù)位上的數(shù)分別相乘.（邊說邊在□□□×□上畫箭頭表示算法）

（2） 鞏固兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法結構

師：45×12怎么算？

生：先算2×45=90，再算10×45=450，把它們加起來等于540.

根據(jù)學生回答在豎式上寫出每一步的算理.

師（追問）：這里的45的5為什么對齊十位，表示什么？90呢？

生：表示45個十，所以末尾的5與十位對齊.

生：90表示90個一，所以末尾的0對齊個位.

根據(jù)學生回答，板書45個十，90個一.

師：計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)要注意什么？

生：要注意相同數(shù)位對齊.

師：用簡潔的話概括兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，就是用其中一個乘數(shù)的個位和十位分別去乘另一個乘數(shù)，再把兩個積相加起來.（老師在豎式和□□×□□上畫出箭頭）

小結：看來同學們不僅掌握了三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，還明白了方法背后的道理.（板書：方法、道理）

設計意圖：了解學生對三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理的理解和算法的掌握情況，引導學生回顧已有知識，為自主構建新知識做鋪墊的同時，也為培養(yǎng)遷移能力埋下伏筆.

3.3.2遷移聯(lián)通，理法結合，構建乘法模型

（1） 自主遷移，理法結合

師：（出示145×12）三位數(shù)乘兩位數(shù)你會算嗎？嘗試著算一算.（寫在練習紙上）

師：說一說，你是怎么算的？

師相機板書：2×145，10×145.

師：如果你是一名數(shù)學老師，你最想向她提什么問題？

生：145的末尾為什么要與十位對齊？

生：290末尾的0為什么要與個位對齊？

師：我明白了，你是用先分后合的方法，把新知識轉化成舊知識來計算的.（板書：先分后合）

師：通過剛才的交流，我們發(fā)現(xiàn)乘法豎式中蘊藏著數(shù)的位置值和數(shù)學的簡潔美.

師：現(xiàn)在請你檢查一下自己的豎式，有錯誤的舉手，說說錯在哪里.

師：對于忘記進位、抄錯數(shù)，你有什么好的經(jīng)驗與大家分享？

師評價：真好，樂于分享自己的學習經(jīng)驗，大膽地說出自己的想法，就是學習的好方法.掌聲也要送給做錯的同學，她們有承認錯誤的勇氣以及知錯就改的好習慣.

（2） 遷移聯(lián)通，歸納算法

師：三位數(shù)乘兩位數(shù)以前學過嗎？沒有學過為什么都會了？

生：跟兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法和道理是一樣的.

生：都是先用個位去乘三位數(shù)，再用十位去乘三位數(shù)，最后加起來.

生：都是先分后合.

生：計算道理一樣，就是一個是用一個因數(shù)的個位和十位分別乘三位數(shù)，一個是用一個因數(shù)的個位和十位分別求兩位數(shù).

師：看來，數(shù)學知識之間是有聯(lián)系的.三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法和道理都是由兩位數(shù)乘兩位數(shù)遷移過來的.

（3） 知識延伸，構建模型

師：我們在二年級的時候就知道了求幾個相同加數(shù)的和可以用乘法，緊接著學習了兩位數(shù)乘一位數(shù)和三位數(shù)乘一位數(shù)，在此基礎上，又學習了兩位數(shù)乘兩位數(shù)，今天還通過自主探索學習了三位數(shù)乘兩位數(shù).你們猜，接下來會學什么？

生：三位數(shù)乘三位數(shù).

生：三位數(shù)乘四位數(shù).

生：四位數(shù)乘四位數(shù).

生：我覺得后面不會再學了，因為都一樣了.

師追問：為什么？

生：因為計算方法和計算的道理都是一樣的，可以以此類推.

師：這是整數(shù)乘法的最后一個內(nèi)容，后面不再學習了，你知道為什么嗎？

師：數(shù)學看起來千變?nèi)f化，其實“萬變不離其宗”，現(xiàn)在你能用一句話概括整數(shù)乘法的計算方法嗎？

生：用一個因數(shù)的每一位去乘另一個因數(shù)，再把乘得的積相加.

師：計算時還要注意什么？

師：同學們講得真好！掌握了計算的方法，就能正確地算；懂得計算的道理，就能明白地算；如果能選擇合適的方法進行靈活的計算，就能達到計算的最高水平.

設計意圖：對于三位數(shù)乘兩位數(shù)，學生有能力把已經(jīng)學會的算理和算法遷移過來.因此，在教學中給學生充分的思考和說理的空間，在觀察對比、分享交流中溝通多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)之間的聯(lián)系，意在疏通新舊知識之間的關聯(lián)，讓學生真正掌握算法，理解算理，并對整數(shù)乘法的計算方法做一個系統(tǒng)的總結.

參考文獻：

［1］ 金千千，張秋爽，魯靜華.重構單元凸顯整體——“整數(shù)乘法”主題教學實踐與思考［J］.教學月刊（小學版）數(shù)學，2019（22）：11-15.

［2］ 姜榮富.靈活使用法則，探索運算思路——三位數(shù)乘兩位數(shù)算法規(guī)則的高階思維［J］.小學數(shù)學，2021（10）：20-24.

［3］ 劉馳.“不學而會”怎么教——《三位數(shù)乘兩位數(shù)》教學片斷與思考［J］.小學教學設計，2020（22）：73-74.

［4］ 章勤瓊，陳錫成.基于學習路徑分析的小學數(shù)學單元整體教學思考框架［J］.小學教學，2021（3）：13-16.

［5］ 楊雪，張春莉，劉冠男.教、學、評一致性：貫穿單元整體教學的設計與實施——對《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的一些思考［J］.小學教學研究（數(shù)學版），2022（25）：13-16.

［6］ 魏芬芬.學海無涯研作舟［J］.新課程（上），2015（9）：35.

［7］ 鄧求平，謝加文，劉碩鵬，等.“三位數(shù)乘兩位數(shù)”教學研究報告［J］.湖南教育（C版），2017（4）：26，29.

［8］ 劉英.小學數(shù)學深度學習課堂教學策略探索［J］.教學管理與教育研究，2021（22）：68-70.