裁衣需量體，解題重思量

摘要：高考對數列部分的考查主要以基礎知識為主，同時考查學生的運算求解、邏輯思維等能力，多數為基本題型及基本思想方法.學生常把數列定位為容易題，造成先入為主、思維定式、理解不透、關系不明、運算不清等問題.本文從這些問題角度出發，談談學生在解決數列解答題時容易出現的問題.

關鍵詞：解題目標；邏輯推理；理解誤區

高考對于數列內容的考查一般是1道小題，1道解答題，分值約為15—17分. 數列選擇題、填空題一般屬于基礎題或中檔題，考查等差數列與等比數列的定義及基本量的運算.解答題一般也處于基礎題或中檔題的位置，考查考生對基本知識與基本技能的掌握，以及對知識的基礎性、綜合性與應用性的掌握.考查內容常以數列的遞推關系或項與和的關系為背景，考查等差數列與等比數列的通項公式以及前n項和的問題.也經常出現與日常生活實例或數學文化有關的問題，主要考查考生的邏輯思維、運算求解等能力，這時對學生要求較高，甚至會出現在壓軸題的位置.

筆者結合以下幾個例子，談談學生在解決數列解答題時，出現的先入為主、思維定式、理解不透、關系不明、運算不清等問題.

1先入為主

例1設數列{an}的前n項和Sn，且a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*.

（1） 設bn=Sn－3n，求bn；

（2） 若an+1≥an，n∈N*，求a的范圍．

【試題立意】本題以數列的和與項的關系為載體，考查數列的遞推關系與通項公式的求法、數列中的不等式恒成立問題．

【理解誤區】關于以數列前n項和與項的關系為載體的問題，同學們似乎更習慣聯立相減，將和化為項來處理，題目條件給出的是數列{an}，于是就想辦法先求數列{an}的通項公式，此舉表明在解題時缺乏明確的目標指向，有先入為主的感覺，以第（1）問為例．

錯解：（并不錯誤，只是偏繁）

（1） 因為a1=a，an+1=Sn+3n，所以當n≥2時，an=Sn－1+3n－1，故an+1=2an+2×3n－1，所以an+1－2×3n=2（an－2×3n－1），n≥2，

因為a2=a+3，所以當a－3≠0時，an+1－2×3nan－2×3n－1=2，所以{an－2×3n－1}從第2項起，成公比為2的等比數列，所以an+1－2×3n=（a－3）×2n－1，n∈N*，故Sn=an+1－3n=（a－3）×2n－1+3n，所以bn=Sn－3n=（a－3）×2n－1，當a－3=0時，an+1－2×3n=0，故Sn=an+1－3n=3n，所以bn=Sn－3n=0．

綜上，bn=（a－3）×2n－1．

正解：因為a1=a，an+1=Sn+3n，所以Sn+1－Sn=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，所以Sn+1－3n+1=2（Sn－3n），故bn+1=2bn，當b1=S1－3=a－3≠0時，{bn}是以a－3為首項，公比為2的等比數列，即bn=（a－3）×2n－1．當a－3=0時，bn=b1=0．

綜上，bn=（a－3）×2n－1．

【解題回顧】不難發現，第（2）問與數列{bn}無關，所以設計數列{bn}的目的，應該是為求數列{an}的通項公式服務的，暗示了數列{bn}的通項公式更容易求得或理解為數列{bn}為特殊數列．

2思維定式

例2已知各項均為正數的數列{an}滿足：an+2=2an+1+3an.

（1） 證明：數列{an+an+1}為等比數列；

（2） 若a1=12，a2=32，求數列{an}的通項公式.

【試題立意】本題以等比數列為載體，考查數列的遞推關系與通項公式的求法．

【理解誤區】在成功解決第（1）問后，結合第（2）問的a1與a2，得an+1+an=2×3n－1．當同學們看到an+1+an的表達式時，聯立相減得an+2－an的表達式，再分奇偶累加求和，此舉憑經驗下手，俗稱思維定式，以第（2）問為例．

錯解：（并不錯誤，只是偏繁）

由（1）知，an+1+an=2×3n－1，所以an+2+an+1=2×3n，相減得an+2－an=4×3n－1．當n為奇數且n≥3時，由a3－a1=4×30，a5－a3=4×32，……，an－an－2=4×3n－3，所以an－a1=4×（30+32+…+3n－3）=4×1－9n－121－9=3n－1－12，因為a1=12，所以an=3n－12，n=1時，也符合；

當n為偶數且n≥4時，由a4－a2=4×31，a6－a4=4×33，……，an－an－2=4×3n－3，所以an－a2=4×（31+32+…+3n－3）=4×3×1－9n－221－9=3n－1－32，因為a2=32，所以an=3n－12，n=2時，也符合.

綜上：an=3n－12．

正解：因為an+1+an=2×3n－1，所以an+1－12×3n=－（an－12×3n－1），又因為a1=12，所以a1－12×30=0，所以an－12×3n－1=0，所以an=3n－12．

【解題回顧】同學們在解決第（2）問時，更多的是依賴于解題經驗，如之前可能解決過形如an+1+an=3n之類的遞推關系，聯立相減后得到奇數項與偶數項分別成等差數列，分類處理最終得數列的通項公式．

殊不知an+1+an=2×3n－1也屬于an+1=pan+qn型遞推關系，通過構造等比數列或常數列（當p≠q時）或等差數列（當p=q時）處理效果更好．當然，命題老師給出的條件a1=12，a2=32，其實是為了給出第1，2兩項之和，給大家造成了分奇偶討論的誤導．

再解：

因為an+2=2an+1+3an，設an+2+λan+1=μ（an+1+λan），所以μ－λ=2，

λμ=3，故μ=3，

λ=1或μ=－1，

λ=－3，即an+2－3an+1=－（an+1－3an）．又因為a1=12，a2=32，所以a2－3a1=0，故an+1－3an=0，則an+1an=3，所以an=3n－12．

3理解不透

例3記Sn為數列{an}的前n項和，已知na1+（n－1）a2+…+an=2Sn－1．

證明：（1） {Sn}為等比數列；

（2） 1a1+2a2+…+nanlt;7．

【試題立意】本題以數列前n項和與等比數列為載體，考查等比數列的證明、數列的通項公式的求法以及錯位相減法求和．

【理解誤區】由數列的前n項和Sn，求通項公式時需要考慮n≥2及n=1兩種情形，再檢驗n=1時是否也能符合一般形式．多數情況是n=1時能符合一般式子，所以導致少數同學認為檢驗多此一舉，容易忽略檢驗，這里我們以第（2）問為例．

錯解：由（1）知，{Sn}是以1為首項，2為公比的等比數列，所以Sn=2n－1，故an=Sn－Sn－1=2n－1－2n－2=2n－2．令Tn=1a1+2a2+…+nan，則Tn=12－1+220+…+n2n－2，所以12Tn=120+221+…+n2n－1，所以12Tn=12－1+120+…+12n－2－n2n－1=4－42n－n2n－1，所以Tn=8－8+4n2n．顯然n≥5時，Tngt;7與證明的不等式矛盾．

正解：由Sn=2n－1，故當n≥2時，an=Sn－Sn－1=2n－1－2n－2=2n－2．而a1=S1=1，所以an=1，n=1，

2n－2，n≥2.所以Tn=1+220+…+n2n－2=12－1+220+…+n2n－2－1，所以Tn=7－8+4n2nlt;7，得證．

【解題回顧】當n=1時，不符合，導致通項公式錯誤，對后續問題的解決有決定性的影響．對于這類問題，同學們更多理解為是老師對于規范的強調，并沒有從問題的本質進行理解，理解不透導致對問題的忽視．

4關系不明

例4已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an+1，n為奇數，

an+2，n為偶數.

（1） 記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數列bn的通項公式；

（2） 求an的前20項和．

【試題立意】本題以數列遞推公式為載體，考查數列通項公式與數列求和．

【理解誤區】對于數列中交叉型遞推關系，學生易形成某些個人習慣，有的喜歡用漢字奇偶書寫，有的喜歡寫成n=2k與n=2k+1，k∈N*．兩者只是書寫形式不同，但是會有學生存在較明顯的心理暗示，能有效理解自己習慣的那種表達，對另一個存在抵觸情緒，導致關系代入錯誤，我們以第（1）問為例．

錯解：（1） 由題設可得b1=a2=a1+1=2，b2=a4=a3+1=a2+2+1=5．

由bn+1=a2n+2=a2n+1+2=a2n+1+2=a2n+3=bn+3，知bn+1－bn=3，又b1=2，所以bn為首項為2，公差為3的等差數列，故bn=2+（n－1）×3=3n－1．

正解：其實bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3=bn+3，一步之差，但反映關系就是錯誤的，表面上結果沒有影響，但已導致整題后續不得分．

【解題回顧】對于數列的交叉遞推關系，一般利用已知的關系得到奇數項或偶數項的遞推關系，進而求其通項公式．學生們要學會對條件進行觀察、比較、分析、抽象與概括，會用演繹、歸納和類比等進行推理．命題老師設置先寫出b1，b2，其實就是在幫助大家理清關系，然后再代入．如果命題老師沒有設置先求b1，b2，作為數列題目而言，從特殊情況歸納發現一般規律，也是處理數列問題的常見方法．

5運算不清

例5已知數列an和bn滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an－bn+4，4bn+1=3bn－an－4.

（1） 證明：an+bn是等比數列，an－bn是等差數列；

（2） 求an和bn的通項公式．

【試題立意】本題以數列遞推公式為載體，考查等差數列、等比數列的概念和數列通項公式．

【理解誤區】對于數列的一些運算，特別是與等比數列的通項公式及前n項和公式相關的指數型的運算，有時我們會犯錯，我們以第（2）問為例．

錯解：由（1）知an+bn是首項為1，公比為12的等比數列，an－bn是首項為1，公差為2的等差數列．所以an+bn=12n－1，an－bn=2n－1．故an=12［（an+bn）+（an－bn）］=12n－1+2n－12=12n－2+n－12，且bn=12［（an+bn）－（an－bn）］=12n－1－2n+12=12n－2－n+12．

正解：實際上an=12［（an+bn）+（an－bn）］=12n－1+2n－12=12n+n－12，

bn=12［（an+bn）－（an－bn）］=12n－1－2n+12=12n－n+12．

【解題回顧】本題考查了數列的相關性質，主要考查了等差數列以及等比數列的相關證明，及通項公式的求法，屬于容易題.正由于同學們在做題時比較順手，導致思想上麻痹大意，就會更容易犯上述錯誤．所以在遇到指數型運算時，大家更需謹慎，當然我們可以通過驗證a1=1，b1=0是否符合來檢驗通項公式正確與否．

通過以上五個案例，點明了同學們在解決數列問題時可能存在的誤區，旨在引導大家重視數列的思維過程．