多思維突破，多視角變形

摘要：三元最值問題一直倍受高考數學命題者的青睞.這種問題能較好地交匯相關數學知識，融合數學知識、思想與能力，同時條件多變，情境創新，靈活變通，可以很好地拓展思維與反映數學能力．本文將結合一道模擬題的多解思維，一題多解，多向變式與規律總結，引領并指導教師進行數學教學．

關鍵詞：最值；基本不等式；三角換元；柯西不等式

相比較于雙元最值問題，三元最值問題在問題維度、深度與難度等方面都有一定的提升，是近年高考、競賽等數學試卷中的一個常見題型與熱點問題，根據變元的次數、系數、運算符號以及對應的表達關系式等，可以與眾多其他相關知識加以交匯與融合，實現對數學基本知識與數學基本能力等的全方位考查．

1問題呈現

【問題1】（2022—2023學年廣東省深圳高級中學（集團）高三（上）第一次調研數學試卷）已知正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則5－8xyz的最小值為（）.

A． 6B． 5C． 4D． 3

此題以三元正實數的平方和為確定常數這個條件來創設問題情境，通過三元所對應的分式關系式的最值來創新設置.同時，分式關系式不具有對稱性與輪換性，給問題的破解提供了更多的障礙，設置了更多的困難．

2問題破解

方法1：二次利用基本不等式法

解析：由于正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，

由基本不等式，得1－z2=x2+y2≥2xy，即－2xy≥z2－1，當且僅當x=y時等號成立，

則有5－8xy≥5+4（z2－1）=4z2+1.

由基本不等式，得5－8xyz≥4z2+1z=4z+1z≥24z×1z=4，當且僅當4z=1z，即x=y=64，z=12時等號成立.

所以5－8xyz的最小值為4，故選擇答案：C．

解后反思：根據題設條件與所求結論，其中變量x，y的“地位”相同，第一次利用基本不等式時，視變量z為“靜止”的常值，結合關系式的變形與轉化，再恢復變量z的變量身份.第二次再對于利用基本不等式來得到最值．在解決多元最值問題時，經常采用相關的常值與變量的變化關系和不等式來進行分析與求解．

方法2：三角換元法——單角參

解析：由于正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，可得x2+y2=1－z2，

結合三角換元，可得x=1－z2cosθ，y=1－z2sinθ，θ∈0，π2.

則有5－8xyz=5－8（1－z2）sinθcosθz=5－4（1－z2）sin2θz≥5－4（1－z2）z=4z2+1z≥24z2×1z=4，當且僅當sin2θ=1且4z2=1，即x=y=64，z=12時等號成立.

所以5－8xyz的最小值為4，故選擇答案：C．

解后反思：根據題設條件與所求結論，其中變量x，y的“地位”相同，視變量z為“靜止”的常值，再進行三角換元處理，根據所求代數式的三角關系式的變形，利用三角函數的圖象性質進行放縮處理，進而恢復變量z的變量身份，利用基本不等式來得到最值．該解法巧妙綜合三角換元與基本不等式的綜合應用，切實可行地確定對應多變元代數式的最值問題．

方法3：三角換元法——雙角參

解析：由于正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，

利用三角換元可設x=cosαsinθ，y=sinαsinθ，z=cosθ，其中α，θ∈0，π2.

那么5－8xyz=5－8sinαcosαsin2θcosθ=5－4sin2αsin2θcosθ≥5－4sin2θcosθ=5－4（1－cos2θ）cosθ=1+4cos2θcosθ=1cosθ+4cosθ≥21cosθ×4cosθ=4，當且僅當sin2α=1且1cosθ=4cosθ，即x=y=64，z=12時等號成立.

所以5－8xyz的最小值為4，故選擇答案：C．

解后反思：對三元平方和的關系式通過兩個角參的引入來進行三角換元處理，結合所求代數關系式的三角恒等變換，利用三角函數的圖象性質以及基本不等式來進行合理放縮處理，進而得以確定相應的最值問題．這里利用三角換元法的關鍵就是對三元平方和的關系式的兩角參的換元處理，這也是破解問題的關鍵與重點所在．

3變式拓展

保留題目三元正實數的平方和為確定常數這一條件，結合對不同思維視角變形能力的考查，在原來問題的基礎上，從拓展變形以及綜合變形等多個視角展開，可以得到一些相關的創新性應用問題．

3.1拓展變形

【變式1】已知正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則1x2+2y2+1y2+2z2+1z2+2x2的最小值為．

解析：根據題意，由于正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，分解可得（x2+2y2）+（y2+2z2）+（z2+2x2）=3（x2+y2+z2）=3.

由柯西不等式，得［（x2+2y2）+（y2+2z2）+（z2+2x2）］1x2+2y2+1y2+2z2+1z2+2x2≥

x2+2y2×1x2+2y2+y2+2z2×1y2+2z2

+z2+2x2×1z2+2x22=9，當且僅當x2+2y2=y2+2z2=z2+2x2，即x=y=z=33時等號成立.

變形可得1x2+2y2+1y2+2z2+1z2+2x2≥3，即1x2+2y2+1y2+2z2+1z2+2x2的最小值為3.

故填答案：3．

3.2綜合變形

【變式2】已知正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則S=1+zxy+1z的最小值是（）.

A． 2+32B． 3+22

C． 3+23D． 4+32

解析：由于正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，

由基本不等式，得1－z2=x2+y2≥2xy，當且僅當x=y時等號成立，

則有1－z2≥2xy，即1－z2xy≥2.

又由題意，得0＜z＜1，0＜1－z＜1，則有1+zxy≥21－z，

那么S=1+zxy+1z≥21－z+1z=1+zz（1－z），z∈（0，1）.

令函數f（z）=1+zz（1－z），z∈（0，1），求導可得f′（z）=z2+2z－1（z－z2）2，

令f′（z）=0，解得z=2－1（z=－2－1舍去），

則當z∈（0，2－1）時，f′（z）lt;0，此時函數f（z）單調遞減；當z∈（2－1，1）時，f′（z）gt;0，此時函數f（z）單調遞增.

故f（z）min=f（2－1）=3+22，故選擇答案：B．

4規律總結

保留題目創新情境，將問題中的常數加以一般性處理，在原來特殊數字基礎上，進一步挖掘規律，歸納總結得到更具一般性的創新性結論．

【結論】已知正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則n2+1－2n2xyz（n∈N*）的最小值為2n．

證明：正數x，y，z滿足x2+y2+z2=1，

由基本不等式，得1－z2=x2+y2≥2xy，即－2xy≥z2－1，當且僅當x=y時等號成立，

所以n2+1－2n2xy≥n2+1+n2（z2－1）=n2z2+1.

由基本不等式，得n2+1－2n2xyz≥n2z2+1z=n2z+1z≥2n2z×1z=2n，當且僅當n2z=1z，即x=y=n2－22n，z=1n時等號成立.

所以n2+1－2n2xyz的最小值為2n．

其實，以上結論中，當n=2時，即為問題呈現中的原問題，此時所求的代數關系式的最小值為2n=4．進而，改變該結論中對應的參數值，又可以得到不同的創新應用問題．

5教學啟示

5.1方法歸納，目標轉化

解決三元最值問題，最常用的思維方式就是“降元”處理，將三元問題轉化為雙元問題，具體方法有：消元處理、三角換元、變換主元、整體思維等.總而言之利用“降維”，轉化為雙元最值問題來處理，是處理此類問題時最為常見的基本思維方式．

5.2挖掘內涵，素養提升

解決此類不具有對稱性或輪換性的三元（或三元以上）最值問題，關鍵在于構建題設條件與所求結論之間聯系的橋梁，挖掘條件本質，深入問題實質，合理邏輯推理，巧妙數學運算，整合不同知識點，綜合不同技巧方法，融合不同數學知識點，實現知識、思想、方法與能力等各方面素養全方位的落實與提升，并達到舉一反三、融會貫通．

參考文獻：

［1］ 叢婉瑩.胡永建.一類代數式的最值及相關不等式［J］.數學通報，2014，53（12）：56-58.

［2］ 單墫.數學競賽研究教程［M］.南京：江蘇教育出版社，1993.