焦點弦創(chuàng)設(shè)，最小值求解

摘要：以兩條正交弦（互相垂直的兩條弦）為問題場景的圓錐曲線問題，是解析幾何與函數(shù)、方程、不等式等交匯與綜合應用的一個重要場所．本文借助一道模擬題中橢圓的兩條正交弦的線性關(guān)系式的最值求解，從不同思維視角展開與應用，剖析解題技巧與方法，引領(lǐng)并指導解題研究與復習備考．

關(guān)鍵詞：橢圓；焦點弦；垂直；不等式；最小值

圓錐曲線中焦點弦問題，一直是新高考數(shù)學與競賽中比較常見的問題場景，特別是兩條正交弦（互相垂直的兩條弦）的情況有其自身特殊的意義與應用，是問題創(chuàng)設(shè)與創(chuàng)新應用中的重點與難點之一，倍受關(guān)注．

1問題呈現(xiàn)

【問題】（2023屆浙江省金華十校2022年11月高三模擬考試數(shù)學試卷·16）已知橢圓Г：x24+y2=1，過橢圓右焦點F作互相垂直的兩條弦AB、CD，則|AB|+4|CD|的最小值為．

此題以橢圓中的兩條正交弦為問題背景，進而確定兩弦長的線性關(guān)系式的最值，難度不小，同時也涉及到大量的數(shù)學運算與邏輯推理，需要合理交匯與融合函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識，具有一定的創(chuàng)新性與應用性．

2問題破解

2.1思維視角1：分類討論思維

對于相關(guān)直線的斜率為0，斜率不存在以及一般情況下的直線方程，經(jīng)常要通過分類討論，結(jié)合不同場景下的具體情況來確定與分析．

方法1：分類討論+基本不等式法①

解析：由題意，得a=2，c=3，F(xiàn)（3，0），當AB為橢圓的長軸時，|AB|=4，|CD|=1，可得|AB|+4|CD|=8；當CD為橢圓的長軸時，|AB|=1，|CD|=4，可得|AB|+4|CD|=17；當AB不為橢圓的長軸，且CD不為橢圓的長軸時，設(shè)直線AB的方程為x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+3，

x2+4y2=4，消元整理，得（m2+4）y2+23my－1=0，y1+y2=－23mm2+4，y1y2=－1m2+4，所以|AB|=m2+1|y1－y2|=m2+1·（y1+y2）2－4y1y2=m2+1·－23mm2+42+4×1m2+4=4·m2+1m2+4，用－1m替換m，|CD|=4·1m2+11m2+4=4·m2+14m2+1，|AB|+4|CD|=4·m2+1m2+4+16·m2+14m2+1=4（m2+1）1m2+4+44m2+1=4·8m4+25m2+174m4+17m2+4=42－9·m2－14m4+17m2+4，令m2－1=t，m2－14m4+17m2+4=t4t2+25t+25=14t+25t+25≤124t×25t+25=145，當且僅當4t=25t，t=52.即m2=72時等號成立，所以|AB|+4|CD|=42－9·m2－14m4+17m2+4≥42－9·145=365.

所以|AB|+4|CD|的最小值為365.

解后反思：根據(jù)焦點弦的不同情況加以分類討論，合理設(shè)置對應的直線方程，利用直線與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合函數(shù)與方程思想，并根據(jù)弦長公式，借助代換思維確定另一弦長，再通過兩相互垂直的焦點弦的線性關(guān)系式的構(gòu)建，整體化引入?yún)?shù)，結(jié)合關(guān)系式的變形與基本不等式的應用來確定對應的最值問題．在處理一些高次或復雜關(guān)系式的最值問題時，經(jīng)常借助整體化思維、參數(shù)思維等，合理變形，巧妙轉(zhuǎn)化，利用對應的不等式性質(zhì)來應用．

方法2：分類討論+基本不等式法②

同方法1，得|AB|=4·m2+1m2+4，用－1m替換m，得|CD|=4·1m2+11m2+4=4·m2+14m2+1，所以1|AB|+1|CD|=m2+44m2+4+4m2+14m2+4=5m2+54m2+4=54，由基本不等式，得|AB|+4|CD|=45·1|AB|+1|CD|（|AB|+4|CD|）=45·5+4|CD||AB|+|AB||CD|≥45·5+24|CD||AB|×|AB||CD|=365，當且僅當4|CD||AB|=|AB||CD|，即|AB|=2|CD|時等號成立，此時|AB|+4|CD|的最小值為365.

所以|AB|+4|CD|的最小值為365，故填答案：365．

解后反思：根據(jù)分類討論思想，在確定一般情況下的弦長表達式時，合理觀察兩弦長表達式的結(jié)構(gòu)特征，通過弦長的倒數(shù)之和加以運算，確定其為定值，進而利用常數(shù)的代換處理，并借助基本不等式來確定最值．此方法較方法①更易懂．

2.2思維視角2：極坐標思維

極坐標方程作為選修中的一個基本知識點，熟悉理解與掌握圓錐曲線的極坐標方程，可以合理轉(zhuǎn)化問題，巧妙確定相關(guān)的焦點弦的長．

方法3：極坐標法

解析：由題意，得a=2，c=3，e=32，不妨設(shè)∠AFx=θ.

由極坐標方程下的焦半徑公式，得|AF|=a－ec1+ecosθ=12+3cosθ，所以|AB|=12+3cosθ+12+3cos（θ+π）=12+3cosθ+12－3cosθ=44－3cos2θ，|CD|=12+3cosθ+π2+12+3cosθ+3π2=12－3sinθ+12+3sinθ=44－3sin2θ.

由權(quán)方和不等式，得|AB|+4|CD|=44－3cos2θ+164－3sin2θ≥（2+4）24－3cos2θ+4－3sin2θ=365，當且僅當24－3cos2θ=44－3sin2θ，即sin2θ=29時等號成立，所以|AB|+4|CD|的最小值為365.

故填答案：365．

解后反思：根據(jù)極坐標方程下的焦半徑公式，結(jié)合不同焦半徑的關(guān)系確定焦半徑的長，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式的變形與應用，進而利用權(quán)方和不等式來確定對應的最值問題．具體來講引入相應的角參，合理構(gòu)建極坐標方程下的焦半徑公式，進而將弦長問題轉(zhuǎn)化為對應的三角函數(shù)問題，利用重要不等式來分析與求解對應的最值．

2.3思維視角3：性質(zhì)應用思維

圓錐曲線中的一些重要性質(zhì)，可以通過“二級結(jié)論”的形式在一些練習與習題中加以滲透，供一些學生參考與應用，可以簡單快捷地用于一些小題中．

方法4：（性質(zhì)法）

解析：由題意，得a=2，b=1，

根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)，過焦點作互相垂直的兩條弦AB、CD，1|AB|+1|CD|=a2+b22ab2，所以1|AB|+1|CD|=a2+b22ab2=54.

由基本不等式，得|AB|+4|CD|=45·1|AB|+1|CD|（|AB|+4|CD|）=45·5+4|CD||AB|+|AB||CD|≥45·5+24|CD||AB|×|AB||CD|=365，當且僅當4|CD||AB|=|AB||CD|，即|AB|=2|CD|時等號成立，所以|AB|+4|CD|的最小值為365.

解后反思：根據(jù)橢圓中的“二級結(jié)論”——橢圓的基本性質(zhì)：“過橢圓的焦點作互相垂直的兩條弦AB、CD，1|AB|+1|CD|=a2+b22ab2”，正確構(gòu)建兩焦點弦長的倒數(shù)之和為定值，再結(jié)合常數(shù)的代換處理，并借助基本不等式來確定最值．適當掌握一些重要的“二級結(jié)論”，在處理數(shù)學小題中往往有奇效，可以更加簡捷方便地處理問題．

3變式拓展

探究：從橢圓的兩條正交弦的“和”的最值問題，上升為兩條正交弦的“積”的最值問題，通過由這兩條正交弦構(gòu)成的四邊形的面積最值來設(shè)置，得到對應的變式問題．

【變式】已知橢圓Г：x24+y2=1，過橢圓右焦點F作互相垂直的兩條弦AB、CD，則四邊形ACBD面積的最小值為．

解析：由題意，得a=2，c=3，F(xiàn)（3，0），

當AB或CD為橢圓的長軸時，此時兩弦長分別為4，1，可得四邊形ACBD面積S四邊形ACBD=12|AB||CD|=2；當AB不為橢圓的長軸，且CD不為橢圓的長軸時，設(shè)直線AB的方程為x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+3，

x2+4y2=4，消元整理，得（m2+4）y2+23my－1=0，所以y1+y2=－23mm2+4，y1y2=－1m2+4，所以|AB|=m2+1|y1－y2|=m2+1·（y1+y2）2－4y1y2=m2+1·－23mm2+42+4×1m2+4=4·m2+1m2+4，用－1m替換m，|CD|=4·1m2+11m2+4=4·m2+14m2+1，四邊形ACBD面積S四邊形ACBD=12|AB||CD|=12×4·m2+1m2+4×4·m2+14m2+1=8·m4+2m2+14m4+17m2+4=2－18m24m4+17m2+4=2－184m2+17+4m2≥2－1824m2×4m2+17=3225，當且僅當4m2=4m2，即m2=1時等號成立，所以四邊形ACBD面積的最小值為3225.

故填答案：3225．

4教學啟示

4.1發(fā)散數(shù)學思維，拓展數(shù)學應用

隨著新課標高考改革的不斷深入與推進，以及“雙減”政策的全面落實，數(shù)學思維的發(fā)散與靈活是解題的根本所在，根據(jù)數(shù)學問題的不同視角切入，可以借助不同的數(shù)學思維來分析與應用，為問題的破解提供不同的解題方法與技巧策略．

合理發(fā)散數(shù)學思維，可以更加靈活巧妙地應用相關(guān)的數(shù)學基礎(chǔ)知識與數(shù)學思想方法等，正確應用于數(shù)學解題，不斷提升數(shù)學的創(chuàng)新應用與綜合應用．

4.2掌握典型問題，妙用“二級結(jié)論”

通過一些典型問題的應用，借助數(shù)學基礎(chǔ)知識與思想方法的歸納與總結(jié)，往往可以得到一些相關(guān)的“二級結(jié)論”，其是數(shù)學知識、思想方法、解題經(jīng)驗等多方面的深入與升華，具有一定的代表性、應用性等，可以用于處理一些數(shù)學小題等．

特別地，以上模擬題中，巧妙應用圓錐曲線中的“二級結(jié)論”，可以更加簡單快捷地構(gòu)建焦點弦之間的關(guān)系，為問題的進一步分析與應用提供條件．同時，一些具有典型性、代表性的“二級結(jié)論”，也是解題經(jīng)驗的積累，對于數(shù)學解題能力的提升與思維方法的應用，有著很好的應用價值．