密鋪數理玩轉串珠編織

串珠編織，顧名思義，是將一顆顆珠子通過某種方式編織、串聯起來形成的一種裝飾品或藝術品。這是一種歷史悠久的手工藝，從史前時代（約200萬年前—公元前21世紀）開始，民間就有制作串珠的傳統，人們將其視為具有祈福和美好寓意的飾品。

串珠編織與密鋪數學理論有極大關聯。密鋪在數學上指的是用一些較小的表面（通常是平面圖形）填滿一個較大的表面而不留任何空隙的方法。密鋪要求圖形之間既沒有空隙也不重疊，且能夠一塊挨著一塊，彼此相鄰地鋪成一片。

串珠編織者通過用針線連接有孔的珠子來創造各種各樣的設計，包括類似機器織物的平織。用綠豆般大小的珠子制成的串珠織物通常用于制作珠寶，尤其是手鏈和項鏈。串珠的數學原理重在珠子之間的數理規律與巧妙組合。出于美觀和實用的考慮，串珠織物通常圖案精美，以周期重復的方式進行編織。然而，雖然數學家和藝術家已經研究密鋪理論幾個世紀，但相對來說，很少有人將其用于珠飾設計。

正多邊形密鋪

正多邊形密鋪通常有正方形、正三角形、正六邊形的密鋪方式。三者可以圍繞一個公共頂點拼接，使得每個頂點的角度之和為360°。拼塊僅在孤立點（3個或更多拼塊相交的地方）或弧線（兩個拼塊相交的地方）相交。這些點和弧線分別稱為密鋪的頂點和邊。人們大多對拼塊是正多邊形的密鋪感興趣，因為這是便于人們用珠子編織的一種方式。最簡單的密鋪方法是用同一種正多邊形密鋪平面。

人們可以通過計算來確定哪些正多邊形能夠密鋪。一個常見的密鋪公式是：1/N1 + 1/N2 + 1/N3 =1/2。其中，N1、N2、N3是正多邊形的邊數。這個公式用于描述在密鋪過程中，不同正多邊形邊數之間的關系。但需要注意的是，這個公式并非普遍適用，它更多地描述了一種特殊情況下的密鋪規律。

正多邊形的內角與密鋪也存在關系，正多邊形的內角和與其邊數的函數公式為（N-2）×180°，其中N為邊數。在密鋪過程中，需要確保在每個拼接點，所有多邊形的內角之和為360°。這是密鋪能夠成功進行的必要條件之一。

星形密鋪

如果嘗試將上述3種正多邊形密鋪做一些變換，形成的編織圖形會更加有趣，比如構造出的星形密鋪。以正三角形、正方形、正六邊形為中心，沿著它們的各條邊向外畫三角形即可得到星形。

為了從起初的正多邊形密鋪創建星形密鋪，在正多邊形的每個頂點放置一顆星。選擇小于多邊形邊長一半的距離D，在距離頂點D處畫垂直于每條邊的線段，其端點與相鄰邊的垂線相交。這些線段將形成頂點在內部的多邊形的邊。然后在每條邊上放置一個三角形來形成一個星形，讓星形的尖角落在起初正多邊形的每條邊的中點上。

同一種正多邊形密鋪可以變換出許多種不同的星形密鋪，這取決于距離D的選擇。選擇盡可能規則的星形，往往會讓編織作品更加美觀。如果起初的多邊形密鋪不局限于正多邊形，那么構造出的星形密鋪會更加多樣。

在創建星形密鋪時，需要考慮圖案的美觀度和對稱性，通過調整星形的大小、形狀和位置，可以優化圖案的整體效果。

在多邊形的每條邊上編織珠子

那么，如何將平面密鋪圖案變成串珠編織作品？最常見的方法是在多邊形的每條邊上放置一顆珠子，那么珠子的孔就與多邊形的邊便會對齊。

編織的方法是將線穿過每顆珠子，使圖案中每個多邊形周圍的珠子都用線連接起來，從而編織成環形，部分平面圖中并沒有暗示穿線路徑，事實上，可以有許多不同的穿線路徑。在實踐中，珠子可能大小不一，或者一條邊上可能有多顆珠子。此外，不同的密鋪結構也可以實現相同的編織。例如，許多不同的四邊形密鋪結構都可以實現正方形編織。

在更復雜的設計中，頂點周圍通常也會編織珠子。這些珠子被編織在邊珠之間，以覆蓋細線、提供裝飾、穩定邊角。這些珠子也被稱為穩定珠、中間珠或覆蓋珠。這就產生了邊角覆蓋編織的概念。圖中正多邊形為灰色，線為黑色，邊珠是較大的灰色圓圈，覆蓋珠是較小的黑色圓圈。

在邊角覆蓋編織中，正多邊形的每條邊上都有一顆珠子，每個角上也有一顆珠子。因此，一個正N邊形對應一個由2N顆珠子組成的環。

星形編織

星形編織是由上述的星形密鋪生成的串珠。星形編織的生成分為兩個步驟。人們從任意一個密鋪開始，按照前文所述將其轉換為星形密鋪。然后，通過在星形編織圖的每條邊和每個頂點上放置一顆或多顆珠子，圖2展示了只在每條邊上有珠子的四角星密鋪（上圖）、在每個頂點和邊上都有珠子的四角星密鋪（中圖）以及只在每個頂點有珠子的四角星密鋪（下圖）。

當用珠子編織時，只在每條邊上放珠子會使織物下垂，露出線和珠子的孔。因此，出于審美的考慮，可以更傾向于在每個頂點和邊上都放置珠子，編織出的織物會更緊密，如圖2（中圖）所示。當然，圖中的珠子是理想化的，實際編織的時候可以用更大、更小或更多的珠子代替。不同尺寸的珠子，沿著每個三角形的兩條邊使用兩個小珠，通過精心選擇珠子顏色，能營造出一種環環相扣的錯覺，進一步增強設計效果。的八面體串珠也是基于四角星形的編織作品。要制作它，首先要編織一個正八面體的內核，然后在外層編織一層四角星形珠子。